点到直线距离2

太师庄中学高一数学必修2 导学案 编号： 编制：崔永学 审核： 时间：2012/4/22

《点到直线的距离》第二课时

班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：

学习目标：

掌握平行线间距离的两种计算方法:(1)转化为点到直线距离计算

(2)利用平行线间距离公式计算;

掌握待定系数法求直线方程(1)点斜式 (2)斜截式

教学重点：平行线间距离计算，待定系数法求直线方程

教学难点：待定系数法表示直线方程

学法指导：待定系数法求直线方程时，一般给点设点斜(若无斜率需讨论),给斜设斜截.

一、梳理导学:

1.若111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,12//,l l 则满足条件是______________.

2.直线方程的点斜式:_________________;斜截式:____________________.

3.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =_________________.

4.(1,2)0P x y m ++=点到m =______.

5.原点到直线3y kx k =+-.k

6.若求两条平行线间的距离是否需要求出一条直线上所有点到另一条直线间的距离？

二、例题讲解：

问题1:求10x y +-=与2230x y +-=之间的距离.

一般推广: 证明10Ax By C ++=与2120(,0,)Ax By C A B C C ++=≠不全为之间的距离

d =

三、合作探究

问题3：直线l 与1:10l x y +-=平行，l 与1l l 的方程. (我们学过几种常见的待定系数法求直线方程？选择哪种合适?)

问题4：直线l 经过点(1,2)P ，原点O 到直线l 的距离是1,求直线l 的方程.

四、基础训练:

1.直线21y x =+与2-30x y -=之间的距离是___________.

2.直线l 到21y x =+l 方程.

五、课堂检测:

六、归纳总结：

点到直线距离公式的七种推导方法

点到直线距离公式的七种推导方法 湖南省 黄爱民 赵长春 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A ' l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 222 2 2 0000002222222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx B C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式：222222000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d =

空间点到直线的距离公式

空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页

点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离

3.3.3 点到直线的距离公式--3.3.4两条平行线之间的距离 三维目标： 知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式 教具：多媒体、实物投影仪王新敞 教学过程 一、情境设置，导入新课： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l 的距离。 用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否

用两点间距离公式进行推导？ 两条直线方程如下： ?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课： 1．点到直线距离公式： 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 200B A C By Ax d +++=王新敞 （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢? 学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 方案一：

点到直线的距离公式

§7向量应用举例 7．1点到直线的距离公式 7．2向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .

点到直线的距离公式

课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A

点到直线的距离和两直线的距离

点到直线的距离和两直线的距离 【学习目标】1.掌握点到直线的距离公式 2.掌握两平行线的距离公式 3.进一步研究对称问题 【学习过程】 反馈练习 1.已知点)3,(a A 与点)33,3(+a B 的距离为5，则=a . 2.已知动点P 的坐标为))(1,(R x x x ∈-，则动点P 到原点的最小值等于 . 3.求点)2,1(A 关于直线033=+-y x 的对称点. 4.求直线01=++y x 关于直线033=+-y x 对称的直线方程. 活动一、新课预习 1．已知点),,(00y x P 直线),0,0(0:≠≠=++B A C By Ax l 求出点P 到直线l 的距离. 在上述问题中，若0=A 或0=B 结果又如何？ 2. 如何求两平行线),,(00212:21:1C C B A C By Ax l C By Ax l ≠=++=++不同时为零与 间的距离？

活动二、简单应用 1.求点)2,1(-P 到下列直线的距离： （1）;0102=-+y x （2）23=x 2..若点)2,2(-到直线043=++c y x 的距离为3，求c 的值. 3.求两条平行线06430143=--=--y x y x 与之间的距离. 活动三、课堂活动 例1.求两条平行直线0962043=-+=-+y x y x 与之间的距离. 例2.求与直线06125:1=+-y x l 平行且与直线1l 的距离为2的直线的方程.

例3.已知两平行直线,01586:,0543:21=-+=++y x l y x l 求与21l l 和的距离相等的直 线l 的方程. 小结：点),(00y x P 到直线),(0:不同时为零B A C By Ax l =++的距离为 . 两平行线),,(002121C C B A C By Ax C By Ax ≠=++=++不同时为零与间的距 离为 .用此公式时应注意： . 活动四、思考 1.已知),2,6(),3,1(N M -点P 在x 轴上，且使PN PM +取最小值，求点P 的坐标. 2.已知),2,6(),4,1(N M --点P 在x 轴上，且使PN PM -取最大值，求点P 的坐标. 小结：若点N M ,在直线l 同侧，如何找出直线l 上使得PN PM +取最小值的点P ? 若点N M ,在直线l 异侧，如何找出直线l 上使得PN PM -取最大值的点P ? 自我检测： 1. 求下列点P 到直线l 的距离： （1）;02543:),2,3(=-+-y x l P （2）.053:),1,2(=+-y l P

点到直线地距离公式

§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式 7．2 向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .

点到直线的距离教学反思

点到直线的距离教学反思 本节课的教学内容是在学生认识了两条直线的垂直关系的基础上教学的。教材在例题中呈现了从一点向已知直线所画的一条垂直线段和几条不垂直的线段，让学生通过度量，发现在这几条线段中垂直的线段最短，这就是垂直线段的性质。为了让学生更能深刻地理解这个性质，我先让学生从直线外点画已知直线的垂线，然后擦去点外的线，让学生感受到这一点到垂足之间是一条垂线段。接着出示学习单，让学生自主探究： 1.测量：测量A点到已知直线各线段长度（量点与点之间的距离），比一比哪条最短。 2.先画后测：你可以仿照图中再画几条A点到已知直线的不垂直的线段，比一比，第1题的结论是否不变？ 3.思考：什么是点到直线的距离？A点到已知直线的距离是图中的哪条线段？其他线段是不是，为什么？ 学生通过亲身实践量得垂线段是最短的这个性质。 教材是这样揭示点到直线的距离的概念：从直线外一点到这条直线所画得垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。到直线的距离既是本节课的重点，也是本节课的难点。但这句话对学生来说难以理解，于是，在教学过程中，我告诉学生：距离是一个长度，是点到直线垂直线段的长度，其他不垂直的线段的长度不是它的距离。 对于练习题的安排，我先巩固学生对距离的理解，通过第1题的练习，学生明白，要求点到直线的距离，必须先画出点到直线的垂线段，再测量它的长度。第2题的练习，让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量出这些线段的长度，发现它们的长度相等，得出这样的结论：平行线间的垂线段都相等。接着，介绍点到直线的距离这个知识在生活中应用。我出示过马路的多条线段图，让学生找出最短的一条。学生比较轻松的解决了。初步感受到数学与生活是密切相联的。然后从生活中再找一些实例，进一步让学生体会数学在生活中的应用价值。这样可以潜移默化地引导学生用数学的眼光观察分析问题，进而解决问题。学生的能力得到提升。 但是，也有一些不足的地方： 1.学习单的内容较多，学生自主学习花费的时间较多。 2.学生对学习单的理解有误，有的没有测量线段的长度而是测量角的大小。说 明他还没有养成仔细阅读学习单要求的习惯。 3.集体交流的时候，学生的语言组织能力还有待提高，不能很好地表达所想的 内容。 在“学程导航”的路上继续前行……

2011中考数学真题解析64 两点之间距离,点到直线距离,两平行线的距离(含答案)

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编两点之间距离，点到直线距离，两平行线的距离 一、选择题 1.（2011湖北荆州，14，3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为13cm． 考点：平面展开-最短路径问题． 专题：几何图形问题． 分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解答：解： ∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13． 故答案为：13． 点评：本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形． 2.（2011，台湾省，11,5分）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a公尺，宽度均为b公尺（a≠b）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺？（）

A、20a B、20b C、×20 D、×20 考点：平行线之间的距离。 专题：计算题。 分析：根据两并行线间的距离即为两并行线间的垂直线段长，即全部台阶的高度总和； 解答：解：∵一楼地面与二楼地面的距离=全部台阶的高度总和， ∴一楼地面与二楼地面的距离为：a×20=20a（公尺）； 故选A． 点评：本题考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离，注意防止无用条件的干扰．

4.（2011浙江衢州，6，3分）如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则P Q的最小值为（） A、1 B、2 C、3 D、4 考点：角平分线的性质；垂线段最短。 分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求P Q的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作P Q垂直OM，此时的P Q最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得P A=P Q，利用已知的P A的值即可求出P Q的最小值．

《点到直线的距离公式》教案(公开课)

《点到直线的距离公式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：

方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|， 比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？ 思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)． 思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．

点到直线的距离-初三点到直线距离公式

点到直线的距离|初三点到直线距离公式 点到直线的距离课题点到直线的距离课型新授课设计说明点到直线的距离不仅是学习垂直的重要内容之一，而且在生活中有着广泛的应用。教学中应注意贯通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。 1.创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力。 2.思索探究，交流共享。在轻松愉悦的氛围中自主探究点到直线的距离以及与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等，在交流中达到共识，在此过程中共享学习的乐趣。让学生在学习中学会自学，独立思考，真正成为学习的主人。 学习目标 1.知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离； 会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 2.学生在学习的过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数和形的联系，发展空间观念。 3.学生进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应

用意识和学习数学的积极情感。 学习重点画出点到直线的垂线段，认识点到直线的距离。 学习难点画出点到直线的垂线段，运用所学知识解释相关现象。 学习准备教具准备：PPT课件三角板直尺学具准备：三角板直尺课时安排 1课时教学环节导案学案达标检测一、情境导入。 1.提问：在同一个平面内两条直线的位置关系有哪几种特殊情况？特殊在哪儿？ 1.自由交流（5分钟） 2.谈话：请大家在白纸上画一条直线，在较远处画一个点A，并利用工具经过A点画出已知直线的垂线。 学生画图，指名到黑板上板演，指出垂足。 3.谈话：同学们都知道了什么是垂直，掌握了经过直线外一点向已知直线作垂线的方法，这节课我们在此基础上，继续学习有关垂直的很重要的知识：点到直线的距离。（板书课题） 2.经过一点画已知直线的垂线，指出垂足。 3.了解本节课的学习内容。 二、思索探究，交流共享。 （22分钟） 1.探究“点到直线的距离”。 课件出示例3（1）（1）画一画，想一想，过直线外一点向这条直线画线段，你能画多少条？（2）这些线段中有没有最短的？哪一条最短呢？全班展开讨论。

(2)点到直线的距离公式

备课组 组长 王亚中编写人屈存香审核人王亚中教学课时 1 教学课题§1.5 平面直角坐标系中的距离公式 （2）点到直线的距离公式 个人修订 教学目标知识与 技能 理解点到直线距离公式的推导， 熟练掌握点到直线的距离公式； 过程与 方法 通过实例推出点到直线的距离公式并能利用公式求点到直线的距离。 情感态 度与价 值观 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞 教学 重点 运用点到直线的距离公式解题 教学 难点 点到直线距离公式的理解与应用. 教学过程（一）、情境设置，导入新课 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离。（二）、研探新课 1．点到直线距离公式： （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为) , ( y x，直线＝0或B＝0时，以上公式0 := + +C By Ax l，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢? 学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决

过的问题，一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 （3）得出结论：点),(00y x P 到直线0: =++C By Ax l 的距离 为：2 200B A C By Ax d +++= 王新敞 （三）、例题应用，解决问题。 例1 求点P （-1，2）到直线 3x=2的距离。 解：d= ()22 3125 3 30?--= + 例2 已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积。 解：设AB 边上的高为h ，则S ABC = 1 2 AB h ? ()() 22 311322AB = -+-=， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离。 AB 边所在直线方程为31 1331 y X --=--，即x+y-4=0。点C 到X+Y-4=0的距离为h h= 2 10452 11 -+-= +，因此，S ABC = 1522522 ??= 同步练习：78页第1题。 （四）、拓展延伸，评价反思 1、应用推导两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 1 l 和 2 l 的一般式方程为 1 l ： 01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2 22 1B A C C d +-= 王新敞 证明：设),(000y x P 是直线02=++ C By Ax 上任一点，则

向量与点到直线的距离公式的证明

向量与点到直线的距离公式的证明 安金龙 （苏州工业园区第二高级中学,江苏 苏州 215006) 摘 要: 关键词: 点到直线距离公式是解析几何中的一个很重要的的公式，应用它可使很多求解面积问题得以简化，因此很多老师和学生更多的是重视它的应用，而对于公式本身的证明却未引起足够的重视，尽管教材中有“请研究一下如何用其他方法推导点到直线的距离公式。”提示语，但依然不能引起广大师生的足够重视，笔者以为：运用教材中知识推导课本上的基本公式，本身就是在做一道很典型的例题。因为对于一个公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对我们的思维来讲更具有价值。 对于点到直线距离公式的推导，课本上是通过构造直角三角形利用三角形面积公式推导，这种证明方法的优点是容易想到，但在构造直角三角形需对直线的斜率进行讨论，下面笔者就把自己用平面向量知识推导点到直线距离公式的方法介绍给各位同仁，并列举几种其他的推导方法，供各位同仁参考。 求证：点00(,):0,(,0P x y l Ax By C A B ++=到直线不能同时为）的距离为 ： d = . 1 由向量方法推导点到直线的距离公式 证明：由直线l 的方程： 0,(,0Ax By C A B ++=不能同时为） ，可得直线l 的方向量为n =(A,B)，设过点00(,)P x y 作直线 l 的 垂线，垂足为 ''' (,)P x y ，则向量 'PP λ =u u u r n ，即 ''00(,)(,) x x y y A B λ--=，所 以 '0, x x A λ=+'y y B λ-= 且 'PP λ ==u u u r 又因为点' ' ' (,)P x y 在直线l 上，所以就有： ''000,)()0Ax By C A x A B y B C λλ++=++++=即（， 200()A x By C λ∴++2+B )=-(A ，又因为A,B 不同时为0， 002)x By C A λ++∴=2 -(A = +B 'PP ∴= == u u u r 即 ： 'd PP == u u u r .

(典型题)——点到直线的距离

1. 2. 3. 若点（2，k）到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是多少？ 点到直线的距离公式, 代入公式 |5*2 - 12*k +6|/√(5*5 + 12*12) =|16-12k|/13 = 4 => k=-3或17/3 4. 点P(2,3)到直线:ax+(a-1)y+3=0的距离d为最大时,d与a的值为? ax+(a-1)y+3=0 (x+y)a=y-3 则x=-3,y=3恒成立 所以直线过A(-3,3) 则距离最大时直线和PA垂直 此时d=PA=5 此时PA垂直y，所以直线垂直x 则y系数为0

a=1 法2：分析：根据题意，将直线方程整理为a（x+y）+（3-y）=0，可得直线ax+（a-1）y+3=0经过定点Q（-3，3），由此可得当直线ax+（a-1）y+3=0与PQ垂直时，距离为PQ的长，并且此时点P到直线的距离达到最大值，由此不难得到本题的答案． 解答：∵直线ax+（a-1）y+3=0即a（x+y）+（3-y）=0 ∴令x+y=3-y=0，得x=-3，y=3．可得直线ax+（a-1）y+3=0经过定点Q（-3，3） 因此，当直线ax+（a-1）y+3=0与PQ垂直时，点P（2，3）到直线：ax+（a-1）y+3=0的距离最大 ∴d的最大值为|PQ|==5 5. 在直角坐标系中,坐标原点为O,已知A(-2,4),B(4,2). (1)求△AOB的面积; 在直角坐标系中,坐标原点为O,已知A(-2,4),B(4,2). (1)求△AOB的面积; (2)在x轴上找点P，使PA+PB的值最小，求P点的坐标． 6、两平行线3x+4y+5=0与6x+8y+30=0间的距离为d，则d=________． 答案 2 解析 分析：化简直线方程，利用平行线之间的距离公式求出，它们的距离． 解答：6x+8y+30=0化为3x+4y+15=0，

点到直线的距离定律

点与直线 直线方程 一. 教学内容： 点到直线的距离； 点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习； 二. 知识点： 1. 点到直线距离公式及证明 d Ax By C A B = +++|| 0022 关于证明： 根据点斜式，直线PQ 的方程为（不妨设A ≠0） y y B A x x -= -00(), 即，Bx Ay Bx Ay -=-00 解方程组 Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-?? ? 00， 得，x B x ABy AC A B =--+20022 这就是点Q 的横坐标，又可得

x x B x ABy AC A x B x A B -= ----+02002020 22 =- +++A Ax By C A B () 0022 ， y y B A x x B Ax By C A B -=-=-+++000022 ()()， 所以， d x x y y Ax By C A B =-+-= +++()()()0202 00222 = +++|| Ax By C A B 0022 。 这就推导得到点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式。 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。 下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。 设点Q 的坐标为（x 1，y 1），则 Ax By C y y x x B A A 11101000++=--=??? ??, ()≠， 把方程组作变形， A x x B y y Ax By C B x x A y y ()()()()()10100010100-+-=-++---=?? ? ，①② 把①，②两边分别平方后相加，得 ()()()()A B x x B A y y 2210222102+-++- =++()Ax By C 002 ， 所以，

点到直线的距离公式

教学设计：点到直线的距离公式 一、教材分析 点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一，它是解决点与直线、直线与直线位置关系的基础，也是研究直线与圆、圆与圆的位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法；逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题；充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。 二、学情分析 我上课的班级是淮北一中的实验班，从总体上看，本班学生的数学基础比较好，平时肯思考问题，钻研精神强，有较好的自主学习和探究学习能力，同时，学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式，具备了探讨新问题的一定的基础知识。但学生大容量的自主探究，对课堂教学过程的控制带来一定的难度。 三、教学目标 (1)经历点到直线的距离公式探索过程，抽象出求点到直线距离的步骤；理解用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法； (2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。 (3)通过自主探究、合作交流等方式，培养学生勇于探索、自主探究和发散思维能力和合作互助的团队精神。 （4）通过解题方法的多样性，展现数学思维的灵活性和开阔性，使学生体会解析几何的魅力。 四、教学重点

点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。 五、教学难点 点到直线的距离公式的探究。 六、教学方法 以“学生为主体，教师为主导，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想为指导，采用“问题探究”的教学方法。通过创设问题情景，引导学生在自主探究与合作交流中构建新知识。 课堂实录： 师：同学们！我们知道，数学像文学作品一样，来源于生活，高于生活，并指导生活。那么，在你的生活中，听说过以下问题吗？它们又是怎样的数学问题？ （多媒体演示） 如图，在铁路的附近，有一座仓库，现要修建一条公路使之 连接起来，那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少? 生1：我们可以从仓库向铁路做垂线，沿垂线段铺设公路可使 其最短。 师：很好！将来你肯定是一个合格的工程师。再来看下一个： （多媒体演示） 报道：9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近 直线型路线运动，如图，台风波及区域约直径100海里， 请预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作？ （左图，黑色线代表台风路线，右上角紫色区域代表台北市）

高中数学人教版必修点到直线的距离两平行直线间的距离作业(系列三)

3.3.3点到直线的距离&3.3.4两条平行直线间的距离 目标1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题． 点到直线的距离两条平行直线间的距离定义 点到直线的垂 线段的长度 夹在两条平行直 线间____________的长图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋ C＝0的距离d＝ ________________ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1 ＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间 的距离d＝ __________________ 一、选择题 1．点(2,3)到直线y＝1的距离为() A．1 B．－1 C．0 D．2 2．原点到直线3x＋4y－26＝0的距离是() A． 267 7B． 26 5C． 24 5D． 27 5 3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是() A．10 B．2 2 C． 6 D．2 4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为() A． 9 5B． 18 5C．3 D．6 5．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是() A．y＝1 B．2x＋y－1＝0

C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0,5] C ．(0,5] D ．[0，17] 二、填空题 7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________． 9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 三、解答题 10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34． (1)求直线l 的方程； (2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．

点到直线的距离公式

§ 7向量应用举例 7. 1点到直线的距离公式 7. 2向量的应用举例 ［学习目标］1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. r预习导学聾挑战自我，点.去落实 ［知识链接］ 1.向量可以解决哪些常见的几何问题? 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系. (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题. 2?用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的? 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题; ⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. ［预习导引］ 1.直线的法向量 (1)直线y= kx+ b的方向向量为(1, k)，法向量为(k,— 1), ⑵直线Ax+ By + C= 0(A2 + B2丰0)的方向向量为(B，— A)，法向量为(A, B). 2.点到直线的距离公式 设点 M(X0, y0)为平面上任一定点，则点M到直线 Ax+By+ C= 0(A2 + B2M 0)的距离d = |Ax0 + By o + C| 3.向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a// b(b工0)? a = to ? X丄y2— x g y i = 0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a, b, a丄b? a ? =0? X1X2+ y1y2= 0. ⑶求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos e=爺=寸屈」如2 . X1X2 + y1y2

点到直线的距离公式

点到直线的距离公式Revised on November 25, 2020

§7向量应用举例 7．1点到直线的距离公式 7．2向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)a＝λb x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋y2. 4．向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是向量． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量

点到直线的距离公式应用(新、选)

点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--==+例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= --即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|112 h -+-==+， 因此，1225 22S ABC =??=V 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 2221313 23 d ==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程

高中数学必修四点到直线的距离公式教案北师大版Word版

教学设计 7.1 点到直线的距离公式 整体设计 教学分析 1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用. 2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为: 则向量方法的流程图可以简单地表述为: 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点. 3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新. 有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化. 三维目标 1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用. 3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 重点难点 教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法. 思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积