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调研考试数学参考答案及评分标准

2007级调研考试数学参考答案及评分标准

说明:

1、 本解答仅给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要

考查内容对照评分标准制定相应的评分细则。

2、 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评

阅,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半,如果后续部分的解答有较严重的错误,就不给分。

3、 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4、 给分或扣分以1分为单位,选择题和填空题不给中间分。

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。

1.A 2.D 3.C 4.A 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分30分。

11.- 12.1200; 13.5π

3

; 14.2; 15.12-; 16.(1,1)-

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三、解答题

17.(Ⅰ)记“甲两次罚球恰好命中一球”为事件A ,“乙两次罚球恰好命中一球”为事件

B ,则P (A ) =12

C 0.5(10.5)0.50??-=, …………………………………… 2分

12()C 0.6(10.6)0.48P B =??-=, …………………………………… 4分

由题意知,事件A 、B 相互独立,故

()()()0.500.480.24P AB P A P B ==?=.

答:甲、乙都恰好命中一球的概率为0.24. …………………………………… 6分 (Ⅱ)记“甲获胜”为事件C ,“甲得2分且乙得1分”为事件D ,“甲得2分且乙得0分”为事件E ,“甲得1分且乙得0分”为事件F , ……………………………… 7分

则P (D ) =221

22(C 0.5)(C 0.60.4)0.12???=,

P (E ) =2202

22(C 0.5)(C 0.4)0.04??=,

P (F ) =10222(C 0.50.5)(C 0.4)0.08???=. ………………………………… 10分

由于事件D 、E 、F 是互斥事件,故

P (C )=()()()0.120.040.08P D P E P F ++=++=0.24.

答:甲获胜的概率为0.24. …………………………………… 12分 18. (Ⅰ) 设点P (x,y ),则(1,)PA x y =---,(1,)PB x y =--, 由2

2PA PB m(|OP OA |OB )?=?-得,x 2+y 2-1=m (x 2-1),

即(1-m )x 2+y 2=1-m ……………………4分 (1)若1-m =0,即m =1,则方程可化为y =0,P 的轨迹是直线y =0;……………………5分 (2)若1-m =1,即m =0,则方程可化为x 2+y 2=1,P 的轨迹是单位圆;…………………6分 (3)若1-m >0且1-m ≠1,即m <1且m ≠0,方程可化为

2

2

11y x m

+=- ,P 的轨迹是椭圆; ………………………7分

(4)若1-m <0,即m >1, 方程可化为

2

2

11

y x m -=-,P 的轨迹是双曲线. ………………………8分

(Ⅱ) 当动点P 的轨迹表示椭圆时,则1-m >0且1-m ≠1,即m <1且m ≠0,由

22(1)1,

2

m x y m y x ?-+=-?

=+?得,(2-m )x 2+4x +m +3=0. ………………………10分 ∵该椭圆与直线l :y =x +2交于不同两点, ∴?>0,即m 2+m -2>0, ∴m >1或m <-2. ∵m <1且m ≠0, ∴m <-2. ………………………12分

∵该椭圆方程为22

11y x m

+=-,

∴e 2=111211113m m m m m --==+>---,

1e <<. ………………………14分

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19.(Ⅰ)连结BD , AC ,设他们交于点O ,连结EO ,FO ,

∵ABCD 是正方形,∴OD ⊥AC .

又∵ED ⊥平面ABCD ,且OD 为ED 在平面ABCD

内的射影 ∴EO ⊥AC . 同理FO ⊥AC ,

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∴∠EO F 就是二面角E —AC —F 的平面角………2分 设DE =a , ∵AB =BF =2DE 2a =, ∴OE ,OF ,EF =3a . ∴EO 2

+FO 2

=EF 2

,即90EOF ∠=?,

∴平面AEC ⊥平面AFC . …………………4分

(Ⅱ) 过点C 作CP ⊥平面AC ,且使CP =DE ,连结EP ,则四边形CDEP 是矩形,且CP 在平面FBC 内,

∵DC ⊥平面FBC ,EP ∥DC ,∴EP ⊥平面FBC ,

(第19题答案图)

A

B

C

D

E

F

O

N M P

∴∠ECP 就是EC 与平面FBC 所成的角, …………………6分 在Rt △ECP 中,EP =2a ,CP =a , ∴tan ∠ECP =2,

∴EC 与平面FBC 所成的角为arctan2. …………………8分 (Ⅲ)在EF 上存在满足FM =2ME 一点M ,使三棱锥M-ACF 是正三棱锥.………10分 作法:由题意知△ACF 是等边三角形,顶点M 在底面ACF 上的射影是△ACF 的中心,记作点N ,则点N 一定在OF 上,且FN =2ON ,在平面EOF 中过N 作NM ∥OE 交EF 于点M ,则该点就是所求的点M . …………………12分 证明:∵平面AEC ⊥平面AFC ,EO ⊥AC , 且EO ?平面AEC ∴EO ⊥平面AFC , ∵EO ∥MN , ∴MN ⊥平面AFC ,

∵点N 是等边三角形△ACF 的中心,

∴三棱锥M-ACF 是正三棱锥. ……………………14分 20. (Ⅰ) 由()G x a <得

221x a a x -<+,即222

x

a x >

+. ∵2

22

x

a x >

+在x ∈[-1,1]时恒成立, ………………………………………2分 由于当x = 0时,222x x +=0;当[1,0)x ∈-时,222x x +<0;当(0,1]x ∈时,222x

x +>0.

故求函数y =222x

x +在x ∈[-1,1]上的最大值,

只需求y =222

x

x +在(0,1]x ∈上的最大值. ………………………………………4分

∵22222x y x x x

==

++,令2

()M x x x

=+, 设1201x x <<≤ 则12121212

()(2)

()()0x x x x M x M x x x ---=>,

∴()M x 在(0,1]上是减函数. ………………………………………6分 ∴当x =1时,y =

222x x +的最大值为2

3

. ∴所求a 的取值范围是2

3

a >. ………………………………………8分

(Ⅱ) 232()(2)(1)22H x x a x x ax x a =-+=-+-,

22()6222(31)H x x ax x ax '=-+=-+,

由,αβ是方程2310x ax -+=的两根,可知,αβ是方程()0H x '=的两根. 故当(,)x αβ∈时,有()0H x '<,从而()H x 在[,]αβ上是减函数. 所以max [()]()H x H α=,min [()]()H x H β=,

由题意,可得()()8H H αβ-=. …………………………………… 11分

∵3a αβ+=,13

αβ=

,3βα-==,

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∴3232()()(22)(22)H H a a a a αβαααβββ-=-+---+-

33222()()2()a αβαβαβ=---+-

2()[2()2()2]a αβαβαβαβ=-+--++

222[2()2]

333a a =--+

=3

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∴3

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=8,解得所求a 的值为± …………………………… 14分 21.(Ⅰ)由2

10n n a b n

++=(n =1,2,3, …),

可得2n n a nb n =--(n =1,2,3, …) ① ∴112(1)(1)n n a n b n ++=-+-+ ②

①-②,可得112()(1)1n n n n a a n b nb ++-=+-+,又1n n n a a b +-=,

∴12(1)1n n n b n b nb +=+-+, ……………………………………4分 即1(1)(2)10n n n b n b ++-++=(n =1,2,3, …) ③ ∴21(2)(3)10n n n b n b +++-++= ④

④-③,可得21(2)(24)(2)0n n n n b n b n b +++-+++=,即2120n n n b b b ++-+=, ∴211n n n n b b b b +++-=-(n =1,2,3, …),

∴数列{}n b 是等差数列. ……………………………………8分 (Ⅱ)由(1)可知数列{}n b 是等差数列,设其公差为d ,则212d b b =-=-, ∴11(1)2(1)n b b n d n b =+-=--+, ∴1(1)(23)2

2n n n

n

a b n b =-+=

--, 又13b ≤-,∴21(23)(233)22n n n

a n

b n n =--≥-+=(n =1,2,3, …),

∴1211a a ++…+

1n a ≤222111123

+++…+21

n , ……………………………………12分 记n T =222111123

+++…+21

n ,

当1n =时,215

113

n T ==<;

当2n =时,221155

1243n T =+=<; 当3n ≥时,∵22111111

()1(1)(1)211

n n n n n n <==---+-+,

∴22221111(1234n T =++++ (21)

)n +

511111[()()422435<+-+-+…1111()()]211n n n n +-+---+ 511111()42231n n <++--+ 51115()42233

<++=. 故对一切n *∈N ,都有5

3

n T <.

所以对一切n *∈N ,都有

123111a a a +++…+1n a <5

3

. ……………………………16分 (本题方法较多,其它方法从略)