吉林大学2013量子试题及答案A
学号 姓名 院（部） 专业 考试时间：2013年06月 28 日
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吉林大学电子科学与工程学院2012-2013学年第二学期期末考试试题
（时间：150分钟 共100分）
课程编号： 课程名称：量子力学 适用年级：2011级 学制:四年 适用专业：微电、电科 试题类别：A
题号 一 二 三 四 总分 阅卷人 得分
考生注意事项
1、所有题目均写在试卷的预留位置。
2、考试结束后，务必将试卷交回。
一、选择题（每题3分，共15分）
1、下列实验中，描述正确的为： （ABCD ）
A 光电效应与compton 散射实验说明了光场的粒子性，
B 黑体辐射实验说明了黑体与辐射场的能量交换是量子化的
C Davission-Germer 实验主要表现了电子的波动性
D 均匀电场作用下原子能级移动现象称为原子的starck 效应
2、总自旋不为零的原子，在外磁场增强到自旋-轨道相互作用可以忽略的情况时，
各激发态所发生的能级劈裂现象为： （ C ） A 正常塞曼效应 B 反常塞曼效应 C 帕刑巴克效应 D 原子光谱的精细结构
3、下列算符中为厄密算符的有： （ C ）
A i
B i -
C x i ??-
D x
??
4、在动量表象中，算符p
?的本征值'
p
对应的本征函数表示为： （ B ）
A p
B ()
'p p -δ
C
??
?
??x p i x exp 21π D ()
'p δ
5、电子的自旋角动量S
?在任何方向上的投影为： （ D ）
A
2
1
B ± C
2
1 D 2
1±
二、判断对错，并说明理由（每题5分，共20分）
1、两幺正算符的乘积仍是幺正算符。
对。
证明：，则、若11-+-+==B B A A ()()1
11---+++
===AB A B A B AB
2、希尔伯特空间中本征函数的正交归一性与封闭性表示的意义相同。
错。
理由要点：求和或积分对象不同，正交归一性的表示式是对坐标的积分，封闭性表示
式是对本征值求和或积分，是本征函数完备性的表示。如在坐标表象中，
本征函数的正交归一性表示为：??
???=-=??nm m n q q dx x u x u q q dx x u x u δδ)()(*)
'()()(*' 本征函数的封闭性表示为：
)'()()'(*)()'(*|x x dq x u x u x u x u x x q q n n n -=??
???
?????>='
{}{}vu mn F F 、的变换矩阵，则幺正变换∑=n
n
n u
S ψ?μ的物理意义
是概率守恒。
对。
理由要点：若粒子在态μ?的概率为1，由∑=n
n n u S ψ?μ知，在n ψ中发现的概
率为2
n S μ，则是粒子在表象A 中对应各基矢的概率分布为2
2221n S S S μμμ，，， ，从而
必有
1
2
==∑∑*n
n n n
n S S S μμμ。
4、类氢原子体系中电子的状态在耦合表象中由
s l m m l n ,,,四个量子数确定。
错。 理由要点：
m J l n ,,,
得分 阅卷人
得分
阅卷人
得分 阅卷人
三、简答题（每题5分，共20分）
1.结合电子的衍射实验，简要说明微观粒子与经典粒子和经典波动的区别，并谈谈
你对微观粒子波粒二象性的理解。
答题要点：经典粒子非相干叠加，主要表现粒子性
经典波动相干叠加
微观粒子
观测结果中反应出的波粒二象性：少量电子显示电子的“粒子性”，大量电子形成干涉条纹，显示电子的“波动性”。
行为过程中反应出的波粒二象性；以概率统计的观点、不确定性的观点去分析，指出衍射图样并非大量电子相互作用的结果，波动性是电子本身的固有属性，电子的干涉是自身概率幅间的干涉，而不是电子间的干涉，波动性和粒子性一样是每个单电子的属性，而不是大量电子在一起时才有的属性。
微观粒子的通过狭缝的方式既根本不同于经典的粒子，也不完全和经典波相同：每个电子在其传播途径上的任一点以一定的概率被探测到，一旦被探测到，总会以一个完整的粒子形象出现。
粒子穿过狭缝时表现出其波动性的一面，在某位置被探测到时，则表现出粒子的图像，微观粒子的图像依赖于外部所采取的观测方式，微观粒子既不是经典的粒子，也不是经典的波，只能借用经典的描述语言简单地称之为具有波粒二象性。
2、量子力学中怎样描述微观粒子的运动状态？如何理解这种描述方式？并详述其具
体内容。
答题要点：波函数假设的具体内容及其理解
按照哥本哈根派的观点，一个微观粒子的状态用一个波函数完全描述。对波函数的理解，主要应该答出波函数假设的主要内容以及相关要求等。酌情给分3、简要说明量子力学中力学量与描述力学量的算符之间的关系，并给出算符与算符
之间关系的物理意义。
答题要点：涉及算符的两假设的具体内容及其理解；对易与否和同时测量间的关系。涉及有关算符的两个量子力学假设。物理意义侧重是否同时测量以及不确定原理。酌情给分
4、以α和β分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出不考虑自旋相互作
用时两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）
答题要点：参考教材
()()()()()()()()
[]
()()()()
[]1
2
-
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
β
α
β
α
β
α
β
α
β
β
α
α+
，
，
具体表示式不做强调，但要能反映三重态和单态分别对应的对称和反对称波函数
得分阅卷人
学号 姓名 院（部） 专业 考试时间：2013年06月28日
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四、证明题（每题5分，共15分）
1. 证明：()][()()[]x x x x p x f x f p i p x f p x
????,?+= 。 基本对易应用
()][][()()][][()()][()][()][()()][()()[]x x x x x x x x x x x x x x x x x p x f x f p
i p x x f p p x f p x p x x f p x f x p p
x f p x
p x f x p p x f p x
p x f p x
???,??0??,??,??,????,??,????,???,?+=++=++=+=
2、设粒子的束缚定态能量为n E ，相应的归一化波函数为n ?，λ为哈密顿算符中H
?任一参数，证明：n n n E ?λ
?λ?H
?=??? 证明要点：S-方程及其共轭
()0?=-H
n
n
E ?对λ求导并左乘|n ?<，
0|)?(||)?(|
>=??-<+>-?? n n n n n E H E H ?λ ??λ? 由0)?(|=-H n E ?可知 0|)? (| >=-?? | | 由本征函数的正交归一性可知1|>= 得到n n n E ?λ ?λ?H ?=??? 3、证明在 L Z 本征态 Y lm 下， 证明：由角动量对易关系： [][] ] ????[1?,?1???,?y z z y z y x x z y L L L L i L L i L L i L L -==? = 代入平均值公式： ?Ω->= y z z y lm x ]????[1* ??Ω-Ω=d Y L L Y i d Y L L Y i lm y z lm lm z y lm ??1??1** ??Ω-Ω=d Y L Y L i d Y L L Y i lm y lm z lm z y lm ?)?(1)?(?1** ??Ω-Ω= d Y L Y m i d Y L Y m i lm y lm lm y lm ?1?1** 0>=<-><= y y L i m L i m 同理： >= 五、计算题（每题10分，共30分） 1. 一电子处在宽度a 的无限深方势阱的第一激发态上，阱的两壁突然反向运动，使阱 宽变为2a 。试求电子留在第一激发态的概率。 答题要点：参考教材第二章例2 解：坐标原点仿照教材选取，原点在阱，则宽度a 的阱的本征函数为 ()??? ??+= n a x n a x n 2sin 2ππ? 同理宽度2a 的阱的本征函数为 ()??? ??+=n a x n a x n 22sin 1' ππ? ()x n ?的第一激发态波函数()x 2?用()x n ' ?展开()()x C x n n n ∑='2??，则得到 ()()πππππ??3242sin 2sin 12 2 2 2 2' 2 2=???? ????? ??+??? ??+==?? --* dx a x a a x a dx x x C a a a a 留在第一激发态的概率22 292 3π= C 得分 阅卷人 得分 阅卷人 2、设有二维空间中的矩阵??? ? ??+-=0112i i A 。 （1）考察A 的厄密性。 （2）写出A 用展开的表达式，其中z y x σσσ,,为pauli 矩阵。 （3）求解A 的本征方程，得出本征值和本征函数。 解： （1）A i i i i A A =??? ? ??+-=???? ??-+==* *+01120112~ （2）由???? ??-=???? ??-=???? ??=???? ??=1001,00,0110,1001z y x i i I σσσ知z y x I A σσσ+++= （3）由A 的形式可知本征向量形式为二维列向量2,1=? ?? ? ??=n b a n ?，令本征值为λ本 征方程则为 ??? ? ??=???? ?????? ??+-b a b a i i λ0112， 解之得 λ ，利用本征函数的正交归一性可 以得到两本征函数 ()()()()???? ? ??--??? ??-???? ??++-??? ??+????? ??-+??? ??+???? ??+-??? ??-1123133121313311213331213133i i i i 或或。 3. 设Hamilton 量的矩阵形式为：??? ? ? ??-=20003 01c c c H ，求 (1)设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似； (2)求H 的精确本征值； (3)在怎样条件下，上面二结果一致。（利用当1< 2112 x x x ） 解：（1）c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为： H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为： E 1(0) = 1 E 2(0) = 3 E 3(0) = -2 由非简并微扰公式 ?? ? ??-'='=∑≠) 0()0(2)2()1(||k n kn n k n nn n E E H E H E 得能量一级修正： ?????='=='=='=c H E H E H E 33 ) 1(322 ) 1(211)1(100 能量二级修正为： 2 21) 0(3 )0(1231)0(2)0(1221)0()0(121) 2(1 ||||||c E E H E E H E E H E k k n k -=-'+-'=-'=∑ ≠ 2 21) 0(3 )0(2232)0(1)0(2212)0()0(222) 2(2 ||||||c E E H E E H E E H E k k n k =-'+-'=-'=∑ ≠ 0||||||) 0(2 )0(3223 )0(1)0(3213)0()0(323) 2(3 =-'+-'=-'=∑ ≠E E H E E H E E H E k k n k 准确到二级近似的能量本征值为： ?????+-=+=-=c E c E c E 2313 2 2122 21 1 （2）精确解：设 H 的本征值是E ，由久期方程可解得： 0200030 1=----E c E c c E 0)34()2(22=-+---c E E E c ? ??? ?='???? ?=c c H H 00000300010 院（部） 专业 考试时间：2013年06月28日 ----------封----------------------线----------------------------------------------------------------- 解得：???? ???+-=++=+-=c E c E c E 2121232221 (3) 将准确解按 c (<< 1)展开： ??? ????+-=++=+-=c E c E c E 212123222 1 ??? ????+-=+-+=++=++-=+-=c E c c c E c c c E 231211234 812212248 122121 比较（1）和（2）之解，可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c4及以后高阶项的结果相同。