2008年高考数学试题分类汇编

概率与统计

一． 选择题：

1.（安徽卷10）．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2

222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如

图所示。则有（ A ）

A ．1212,μμσσ<<

B ．1212,μμσσ<>

C ．1212,μμσσ><

D ．1212,μμσσ>>

2.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B

（A ）

511 （B ）681

（C ）3061 （D ）408

1

3.（山东卷8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 （A ）30

4.6

（B ）303.6 (C)302.6 (D)301.6

4.（江西卷11）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为C A ．

1180 B ．1288 C ．1360 D ．1

480

5.（湖南卷4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B )

A.1

B.2

C.3

D.4

6.（重庆卷5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝D

(A)1

5

(B)

14

(C)13

(D)

12

7.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4

5

,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是B

A.

16

625

B.

96625

C.

192

625

D.

256

625

8.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11

2

a =

，420S =，则6S =（ D ） A ．16

B ．24

C ．36

D ．48

9.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）

A ．13

B ．

12

C ．

23

D ．

34

二． 填空题：

1.（天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．10

2.（上海卷7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 3

4

（结果用分数表示）

3.（上海卷9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 10.5和10.5;

4.（江苏卷2）一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ．

1

12

5.（江苏卷6）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．

16

π

6.（湖南卷15）对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体

{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随

机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，

则1n P = ; 所有ij P (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 .

4

()

m n m - ,6

三． 解答题：

1.（全国一20）．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 解：（Ⅰ）对于甲：

对于乙：

0.20.40.2?+?．

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=?+?+?=． 2.（全国二18）．（本小题满分12分）

购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为4

1010.999-．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 解：

各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4

~(10)B p ξ，．

（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，

2分

()1()P A P A =-

1(0)P ξ=-=

4

101(1)p =--，

又4

10()10.999P A =-，

故0.001p =． ······························································································· 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000ξ+，

盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，

盈利的期望为 1000010000500E a E ηξ=--， ·········································· 9分

由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=?，

4441010510E a E ηξ=--?

4443410101010510a -=-??-?．

0E η≥4441010105100a ?-?-?≥

1050a ?--≥ 15a ?≥（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ························································· 12分 3.（北京卷17）．（本小题共13分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．

解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3

324541

()40

A A P E C A ==，

即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是

140

． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541

()10

A P E C A ==，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10

P E P E =-=

． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，

则23

5334541

(2)4

C A P C A ξ===．

所以3

(1)1(2)4

P P ξξ==-==

，ξ的分布列是

4.（四川卷18）．（本小题满分12分）

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。 【解】：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种， （Ⅰ）C A B A B =?+?

()(

)P C P A

B A B =?+?()()

P A B P A B =?+?

()()()()

P A P B P A P B =?+?

0.50.40.50.6=?+?

0.5=

（Ⅱ）D A B =?

()()P D P A B =?()()

P A P B =?0.50.4=?0.2=

()()

10.8P D P D =-= （Ⅲ）()3,0.8B ξ ，故ξ的分布列

()300.20.008P ξ=== ()1

2310.80.20.096P C ξ==??= ()22320.80.20.384P C ξ==??= ()330.80.512

P ξ=== 所以30.8 2.4E ξ=?=

5.（天津卷18）（本小题满分12分）

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2

1

与p ，且乙投球2次均未命中的概率为

16

1． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；

（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．

解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得()()()16

1

112

2

=

-=-p B P 解得43=

p 或4

5

（舍去），所以乙投球的命中率为43．

解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．

由题意得1()()16P B P B =

，于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故3

1()4p P B =-=． 所以乙投球的命中率为3

4

．

（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知()()2

1,21==

A P A P ． 故甲投球2次至少命中1次的概率为(

)

4

3

1=?-A A P

解法二：

由题设和（Ⅰ）知()()

2

1,21==

A P A P 故甲投球2次至少命中1次的概率为()()

()()4

3

1

2=

+A P A P A P A P C （Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，()()()()

4

1

,43,21,21====B P B P A P A P

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两

次均不中，乙中2次。概率分别为

()()()()

16

3

1212=

?B P B P C A P A P C ， ()(

)641=

??B B P A A P ， ()

()64

9=??B B P A A P 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为3211649641163=++． 6.（安徽卷19)．（本小题满分12分）

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n 株沙柳，各株沙

柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望3E ξ=，标准差σξ （Ⅰ）求n,p 的值并写出ξ的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 解：(1)由2

33,()(1),2E np np p ξσξ===-=得112

p -=, 从而1

6,2

n p ==

ξ的分布列为

(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤ 得 1615

2021(),64

32P A +++=

=

或 156121()1(3)16432

P A P ξ++=->=-= 7.（山东卷18）（本小题满分12分）

甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，

答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为

32，乙队中3人答对的概率分别为2

1

,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. （Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；

(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).

(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

所以ε的分布列为

ε E ε=.227

839429212710=?+?+?+? 解法二：根据题设可知)3

2

,3(B ～ε

因此ε的分布列为

2

3

2

3),32,3(.

3,2,1,0,32)321()32()(3323=?==?=-??==-εεεE B k C C k P k k

k k k

所以～因为

（Ⅱ）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，

所以AB =C ∪D ,且C 、D 互斥，又

,

3

4

)213131()32()(,3

10213132213231213132)321()3

2

()(52324232=????==?

???????+??+???-??=C D P C C P 由互斥事件的概率公式得

24334

3343543

10)()()(54

==+=

+=D P C P AB P .

解法二：用A k 表示“甲队得k 分”这一事件，用B k 表示“已队得k 分”这一事件，k =0,1,2,3由于事件

A 3

B 0,A 2B 1为互斥事件，故事

P (AB )=P (A 3B 0∪A 2B 1)=P (A 3B 0)+P (A 2B 1).

=.243

34)32213121(32)2131()32(221232

3223=??+??+??C C 8.（江西卷18）．（本小题满分12分）

某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两

.

27

8

)32()3(,94)321()32()2(,

92)321(32)1(,271)321()0(3333232231

330

=?===-??===-??===-?==C P C P C P C P εεεε

年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令(1,2)i i ξ=表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）．写出12ξξ、的分布列；

（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？

解：（1）1ξ的所有取值为0.8 0.9 1.0 1.125 1.25、

、、、 2ξ的所有取值为0.8 0.96 1.0 1.2 1.44、

、、、, 1ξ、2ξ的分布列分别为：

（2）令A 、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，

()0.150.150.3P A =+=, ()0.240.080.32P B =+=

可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 （3）令i η表示方案i 所带来的效益，则

所以1214.75,14.1E E ηη==

可见，方案一所带来的平均效益更大。

9.（湖北卷17）.（本小题满分12分）

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.

（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若a b ηξ=+, 1E η=,11D η=,试求a,b 的值.

解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）ξ的分布列为：

∴01234 1.5.22010205

E ξ=?+?

+?+?+?= 2222211131

(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205

ξ=-?+-?+-?+-?+-?=（Ⅱ）由

D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,

E aE b η=ξ+所以

当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.

∴2,2a b =??=-?或2,4a b =-??=?

即为所求.

10.（湖南卷16）.（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试

合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是

1

2

，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.

解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，

且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝

12

. （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

317

1()1()()()1().28

P ABC P A P B P C -=-=-=

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3. (0)()()()P P AB C P A BC P A B C

ξ==++

＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝3

2

3

1113()()().2

2

2

8

++=

(1)()()()P P A BC P A B C P A B C

ξ==++

=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ =3

3

3

1

113()()().2

2

2

8

++=

1(2)()()()().8P P A B C P A P B P C ξ====

1(3)()()()().

8P P A B C P A P B P C ξ==== 所以， ξ的分布列是

ξ的期望0123 1.8888

E ξ=?+?+?+?=

11.（陕西卷18）．（本小题满分12分）

某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得1~i (1

23)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响． （Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

解：（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，，

()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==?=．

（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3．

ξ的分布列为

00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=?+?+?+?=.

12.（重庆卷18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问

5分，（Ⅱ）小问8分.）

甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6

局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为

1

2

，且各局胜负相互独立.求： （Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；

（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望E ξ. 解：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.

（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比

赛还未停止的概率为 12312333111

()().224

P AC B P B C A +=

+= （Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且 12122

2111(2)()(),222

P P A A P B B ξ==+=+= 1231233

3111

(3)()().224

P P AC C P B C C ξ==+=+= 12341234

44111

(4)()().228

P P AC B B P B C A A ξ==+=+= 1234512345

55111

(5)()(),2216P P AC B A A P B C A B B ξ==+=+=

123451234555

111

(6)()(),2216

P P AC B A C P B C A B C ξ==+=+= 故有分布列

从而111114723456248161616

E ξ=?

+?+?+?+?=（局）. 13.（福建卷20）（本小题满分12分）

某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科 目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2

3

，科目B 每次考试 成绩合格的概率均为

1

2

.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期

望E ξ.

本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分. 解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A ，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”

为事件B ，“科目B 补考合格”为事件B .

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，

则1111211()()()323

P A B P A P B =?=

?= .

答：该考生不需要补考就获得证书的概率为

13

. (Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

1112(2)()()P P A B P A A ξ==+

2111114.3233399

=

?+?=+= 112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++

2112111211114,3223223326693

=

??+??+??=++= 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+

12111211111,3322332218189=

???+???=+= 故4418

234.9993

E ξ=?+?+?=

答：该考生参加考试次数的数学期望为8

3

.

14.（广东卷17）．（本小题满分13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．

（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ==

=，50

(2)0.25200

P ξ=== 20(1)0.1200P ξ==

=，4

(2)0.02200

P ξ=-== 故ξ的分布列为：

（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为

()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤

依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3%

15.（浙江卷19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1

个球，得到黑球的概率是

52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是9

7。 （Ⅰ）若袋中共有10个球，

（i ）求白球的个数；

（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望ξE 。 （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于

10

7

。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则

2

102107

()19

x C P A C -=-=，

得到5x =．

故白球有5个．

（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是

ξ的数学期望

155130123121212122

E ξ=

?+?+?+?=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得2

5

y n =， 所以2y n <，21y n -≤，故

112

y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则

23()551y P B n =

+?-231755210

+?=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n

．

故袋中红球个数最少．

16.（辽宁卷18）．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量 2 3 4 频数

20

50

30

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

解：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．······················3分

（Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且

P（ξ=8）=0.22=0.04，

P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2，

P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，

P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3，

P（ξ=16）=0.32=0.09．

ξ的分布列为

·········9分Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ···························· 12分