5.2圆的对称性(二)
九年级数学5.2 圆的对称性（二）
班级 姓名 学号 学习目标
1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设
（1）什么是轴对称图形？
（2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试
（1） 在圆形纸片上任意画一条直径.
（2） 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： _______________________________________________________________. 2.探索
如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ；将圆形纸片沿AB 对折.
通过折叠活动，你发现了什么？
__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 3.总结
垂径定理：_________________________________________________________。 4.典型例题
例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？
例2.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。 （1）求的半径；
（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
5.巩固练习
（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
① ② ③
④ ⑤
D
D
B
B
（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.
（3）如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.
（4）如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？
（5）在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.
（6）设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结
1．圆的轴对称性及有关性质.
2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.
【课后作业】
班级 姓名 学号
1． 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ 2．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ， ____= ．
3. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.
4. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___
5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.
6.已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．
7.已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。 8.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：
(1)桥拱半径,(2)若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？
B
二次函数增减性与对称性(可编辑修改word版)
1 建桥初四 9 月 11 日数学《二次函数对称性增减性练习》课堂学案 【典例】抛物线 y = ax 2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应如下，从表可知： x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 6 6 4 … 下列说法: ①抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）， ②函数的最大值为 6 ③抛物线 1 的对称轴是直线 x= ，④在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，正确的有 2 【跟踪训练】、1、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 y 与 x 的部分对应值如下表： x … - 1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … 则下列判断:①抛物线开口向上， ②抛物线与 y 轴交于负半轴， ③当 x ＝4 时， y ＞ 0 ， ④方程 ax 2 + bx + c = 0 的正根在 3 与 4 之间. 其中正确的是 （只填写序号） 2、二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）中，自变量 x 与函数 y 的对应值如下表： 请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 【巩固练习】 1、已知抛物线 y = a (x -1)2 + h (a ≠ 0) 与 x 轴交于 A (x ，0)，B (3，0) 两点，则线段 AB 的长 度为（ ） 2、抛物线 y = a (x + 1) 2 + 2 的一部分如图所示，该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴交点的坐标 是( ) 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3、抛物线 y = -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示，若 y > 0 ，则的取值范围是（ ） A . - 4 < x < 1 B . - 3 < x < 1 C . x < -4 或 x > 1 D . x < -3 或 x > 1 4、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 x … 0 1 2 3 2 5 2 … y … 1 7 4 7 4 - 1 4 …
轴对称图形知识点归纳
轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
《圆的对称性》教学设计
3．2圆的对称性学案 学习目标： 1．理解圆的轴对称性； 2．理解垂径定理及逆定理的的推导过程，并能初步应用。 一、课前预习 自学课本P96，回答下列问题： 1.平面上，到的距离等于的所有点组成的图形叫做。 2.点与圆的位置关系有三种：点在、点在、点在。 3.连接圆上任意两点间的线段叫做__________,经过圆心的弦叫做_________。 4.圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 .如图，以A、B为端点的弧记作，读作“”或“”。 5.弧包括和，大于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为。半圆既不是，也不是。优弧一般用个大写字母来表示，劣弧一般用个大写字母来表示，如图，以A、D为端点的弧有两条，优弧ACD(记作 )劣弧ABD(记作 )。 二、合作探究 【自主学习】 1．圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2．你是用什么方法解决上述问题的? 3．右图还是轴对称图形吗？如果是你能找出它的对称轴吗？ 【小组讨论】 4．如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD, CD⊥AB,垂足为M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系吗？说一说你的理由。 垂径定理：。 用几何语言表达：∵∴ 在下列图形中，哪些符合垂径定理的条件？ 三、典型例题
E O B A E O B A E O B A E O B A D O B A 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，（即图中 CD，点O是CD的圆心），其中CD =600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m。求这段弯路的半径。 四．练习： 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。 （1）题（2）题（3）题（4）题（5）题 4.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E， 且AB=8cm,AC=6cm,那么的⊙O的半径OA长为。 5.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为 _____ 6．已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 五．小结感悟 学了本节课你有哪些收获？ 六．作业《分层作业B本》第21-22面，17题选做
轴对称图形
轴对称图形 教学目标：1、结合欣赏民间艺术的剪纸图案，以及服饰、工艺品与建筑等图案，感知现实世界中普遍存在的对称现象。 2、通过折纸、剪纸、画图、图形分类等操作活动，体会对称图形的 特征，能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。 教学重点：结合欣赏民间艺术的剪纸图案，以及服饰、工艺品与建筑等图案，感知现实世界中普遍存在的对称现象。 教学难点：通过折纸、剪纸、画图、图形分类等操作活动，体会对称图形的特征，能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。 教学用具：电脑课件，彩色图片，彩色卡片，衣服和瓶子的图片。 教材分析：本课是学生学习空间与图形知识的基础，这部分内容对于帮助学生建立空间观念，培养学生的空间想像力有着重要的作用。对称是现实世界中普遍存在的一种现象，这一课时的内容是认识对称图形，让学生通过观察、探索、动手操作，了解“对称”“对称轴”等概念，并且初步体会对称图形的性质。教学设计： 一、创设情境 师：同学们，你们看看画片上画的是什么？（天安门、蝴蝶、蜻 蜓、树叶）
师：你们看这些图形漂亮吗？在生活中有很多这样的图形，今天，我们来研究这些图形有什么特点。 二、引导探索 1、剪一剪 师：请同学们看这个图形只画了一半，如果它的另一半也完全相同，你们猜猜这是什么？（瓶子）这个呢？（衣服）请你设法把这个瓶子剪下来。 （操作时，有的学生画出瓶子的另一半，再沿着外轮廓剪下来，但还是不太像瓶子；有的学生先对折，再沿着外轮廓剪，打开后，就是一个瓶子。先在小组内交流，再在全班交流。） 师：说一说你是怎样剪的，你喜欢哪种方法，用你喜欢的方法把衣服剪下来。 师：刚才你们剪瓶子、衣服时，发现这些图形有什么共同的地方？（小组讨论，全班交流。） 师：谁能解释一下什么叫“两边完全重合”。 师：像这样队长后完全重合的图形，我们叫它轴对称图形，这条折痕叫做对称轴。（板书课题：轴对称图形。） 师：这节课一开始我们看到的图片，天安门、蝴 蝶、蜻蜓、树叶是不是轴对称图形，你是怎样判断的？对称轴在哪里？
27.1 圆的认识 第二课时 圆的对称性(一)
课题：27.1圆的认识 第二课时圆的对称性（一） ＆.教学目标： 1、理解并掌握圆的对称性，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦心距之间的关系。 2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学方法。 ＆.教学重点、难点： 重点：由实验得到在同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系。 难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系解决问题。 ＆.教学过程： 一、情景导入 1、我们中国的建筑最讲究的是对称美，能举出我们所学过的轴对称、中心对称和旋转对称的例子吗？ 2、轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形是怎样定义的？ 3、圆是否为对称图形？是哪种对称图形，又有哪些性质呢？ 二、探究新知 §.探究圆的对称性 问题1：请同学们思考并解答下列各题： （1）圆是对称图形吗？它有哪些对称性？
图 1 ′ 图 2 图 3 （2）能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢？ （3）圆的对称轴在哪里？对称中心和旋转中心在哪里？ 活动1：让学生画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 ＆.圆的对称性： 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，也是旋转对称图形。对称轴是过圆心的任意一条直线，对称中心和旋转中心都是圆心，旋转角度可以是任意角度。 思考：如何将圆两等分？四等分？八等分？还可以将圆多少等分？ §.探究：同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系（圆心角定理）. 问题2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？ 活动2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图2中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现 B O A AOB ''∠=∠，⌒ ⌒B A AB ''=，B A AB ''=.实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，
二次函数的对称轴(学练结合)
二次函数的对称轴 二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线，这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴，直线x=-b/2a，有图像可知，当二次函数图像上两点的纵坐标相等时，那么这两点必然关于对称轴对称，且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如：点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数的图像上，若y1=y2，那么图像的对称轴为 (x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为（x1，y1），那么二次函数的对称轴为直线x=x1。 在平面直角坐标坐标系中，已知两点坐标便可求其连线的中点坐标，例如：已知点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则两点连线的中点为 C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况，出题者会结合一次函数，中垂线，三角形，二次函数进行综合考查。
例题演练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（） A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴 C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2、已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 3、如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b． （1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
轴对称图形基本念
【本讲教育信息】 一、教学内容： 1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质。 3. 线段的垂直平分线的性质及判定 4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线 5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。 二、知识要点： 1. 基本概念 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 （3）轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 （4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。 轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。）
3. 线段的垂直平分线的性质及判定 （1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 尺规作图 （1）如何作轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点 （2）作线段的垂直平分线 ①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点， ②作直线CD。 CD就是线段AB的垂直平分线。 5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点
超经典二次函数图象的平移和对称变换总结
二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变
初三数学基本图形的对称性复习
图形的对称性复习 一、题型特点 1、涉及主要知识点 涉及到的几何变换：轴对称、中心对称。 轴对称基本知识点： 1）主要概念 (1) 轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图 形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段 叫做对称线段． (2) 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （3）两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系． 2）主要性质 轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那以对应线段相等，对应角相 等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 3) 简单的轴对称图形： 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形 ①线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． ②角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线 ③等腰(非等边）三角形是轴对称图形：有一条对称轴，底边中垂线． 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等． ④等边三角形是轴对称图形：有三条对称轴：每条边的中垂线 中心对称基本知识点 1）主要概念 （1）中心对称图形定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180○，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． （2）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180○，如果它能够与另一个图形 完全重合，那么就说这两个图形关于这个点是对称的，这个点叫做对称中心． 2）主要性质
北师大版小学数学三年级下册教学设计 第二单元 图形的运动第2课时 轴对称(二)教案
北师大版小学数学三年级下册教学设计 第2课时 教学内容：轴对称(二)（教材第25、26页内容） 学习目标 1.结合操作活动，经历得到轴对称图形的过程，加深对轴对称图形特点的体会。 2.给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半，进一步体会轴对称图形的特点并发展空间想象能力。 教学重点：给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半。 教学难点：给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半。 教具准备：课件 教学过程 一、复习导学 轴对称图形的特征是什么？ 沿对称轴对折，左右或上下两边是一样的。 二、展示新知 1．拿出课前准备的一张正方形或长方形，按照下面的做法，做一做，你有什么发现。 思考：得到对称图案的关键是什么？ （1）：先把纸对折。 （2）：对折后只做出图形的一半就可以了。 2.下面是轴对称图形的一半，想一想，整个图形是什么？
明确：轴对称图形对折后，对称轴的左右两边应该完全重合，所以右边的半个图形应该和左边相同。 实际操作： 沿对称轴对折后，再沿给定图形的边线剪下、打开，验证。 3.将一张纸对折后剪去两个圆，展开后是哪一个？ 学生独立思考，然后和同伴交流自己的想法，充分地说一说自己是如何进行判断和选择的。 生：观察洞和对称轴间的距离。 三、精讲点拨： 下面的圆距离对称轴近，那么和它对称的那个圆也应该是靠近对称轴的一边的。反之则远。 四、巩固练习 1、完成课本练一练第1题。 2.完成课本练一练第3题。
五、课堂小结 这节课你学到了什么？ 六、布置作业 1.课堂作业：教材“练一练”的5题。 2.课后作业：练习册 七、板书设计 对称轴（二） 对称点到对称轴的距离是相等的。 教学反思：学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现的，因为这种发现理解最深，也是最容易掌握其中的规律、性质、和联系。
二次函数的对称变换
二次函数的对称变换 学习目标：1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。 2.会研究二次函数关于某条直线，某个点的对称变换。 一、课前练习 1.点（1，-4）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 2.点（x,y）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 二、新课探究 类型一：二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换 问题一：画出y=x2-2x-3的草图方法： 问题二：画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像 方法： 问题三：请确定新抛物线的解析式 方法一：一般式 方法二：顶点式 问题四：观察两个解析式的区别与联系 角度一：一般式 角度二：顶点式
问题五：请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换 总结：一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 练习：1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为, 2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为, 3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称，则a= b= c= 类型二：二次函数关于某条直线或某个点的对称变换（给个开口向上的图像） 问题一：选取关于某条直线对称 问题二：选取关于某一点对称
总结：研究对称变换的方法 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
轴对称图形基本练习
5.1 轴对称现象 【主要问题】：什么是轴对称图形？什么是成轴对称图形？ 1、全等图形是指： . 2、如图(1)，AC 平分∠DAE ，且AD = AE ，B 为AC 上一点，求证：△CBD ≌△CBE. 3、如图(2)， AO 平分∠EAD 和∠EOD.求证：① △AOE ≌△AOD ；②EB=DC 共同点 不同点 轴对称图形 两个图形成轴对称 注意：对于平面图形，当把直线（对称轴）两旁的部分看成一个图形时，它便是 图形。 当把直线（对称轴）两旁的部分看成两个图形时，它便是两个图形成 ， 两者并非能够严格的区分. 巩固练习： 5、下列平面图形中，不是轴对称图形的是： （ ）. 6、（1）请完成下表： 图形 …… 名称 对称轴条数 （2）请你就正n 边形的对称轴条数做一个猜想 5.2 探索轴对称的性质 轴对称图形和两个图形成轴对称有哪些性质？ 1、判断题： （1）轴对称图形只有一条对称轴（ ） （2）轴对称图形的对称轴是一条线段（ ） 图(2) 4 32 1E D C B A 图（1）
（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形（ ） （4）轴对称图形指两个图形（ ） 2．下面图形是轴对称图形的有（ ） A ．角 B ．线段 C ．太极图 E ．等腰三角形 D ．香港特别行政区区旗上的紫荆花 F ．五角星 3、 4、如图（4）是轴对称图形，则相等的线段 有 ，相等的角是 5．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的部分( ) A ．完全重合 B ．不完全重合 C ．两者都有 6. 如图(5)，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线对称， 则∠B 的度数为 。 7、如图（6），△ABC 与△DEF 关于直线l 成轴对称 ①请写出其中相等的线段； ②如果△ABC 的面积为6cm,且DE=3cm ，求△ABC 中AB 边上的高h 。 5.3 简单的轴对称图形（1）（P121-122页） 评价： 【学习目标】：1、经历探索等腰三角形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念； 2、探索并了解等腰三角形的轴对称性及其相关性质； 【主要问题】：等腰三角形有哪些性质？等边三角形有哪些性质？ 一、基础知识回顾 1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）A 、圆 B 、长方形 C 、线段 D 、三角形 2、以下结论正确的是（ ）． A ．两个全等的图形一定成轴对称 B ．两个全等的图形一定是轴对称图形 C ．两个成轴对称的图形一定全等 D 3、轴对称图形对应点连线被 ，对应角对应线段都 ．图（4） 图（5） A B C F D E l
二次函数对称性的专题复习
二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论： 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。 5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。 二、在解题中的应用： 例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足 . （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。 例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 （1）求抛物线顶点的坐标； （2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求?ABC的外接圆的面积。
y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则 当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（ 2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4- 专题复习图形变换中的轴对称变换 左权二中徐旭芳 学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在生活中已经对轴对称现象不陌生了，在本章前面两节课中，认识了轴对称的现象，加强了对图形的理解和认识，初步探索并了解了概念，为接下来的学习奠定了基础。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生通过想象，再动手操作验证自己的想象，解决了一些简单的现实问题，感受到了充分观察、操作的必要性和作用，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 一、教学任务分析 教科书基于学生对轴对称图形的认识，提出了本课的具体学习任务，认识等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质。本节课的教学目标是： 1. 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。 二、教学设计分析 按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以实验发现法为主，直观演示法为辅。教学中，精心设计了一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考、操作，教师适时地演示，并用电教媒体化静为动，激发学生探求知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，从而培养学生的思维能力。 本节课设计了如下教学环节： 第一环节知识回顾 内容：观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形, 能找出对称轴吗？ (一)、教学内容 1.二次函数得解析式六种形式 ①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0) ②顶点式（a≠０已知顶点) ③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点） ④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点） ⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上) ⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点) 2.二次函数图像与性质 对称轴: 顶点坐标: 与y轴交点坐标(0,c) 增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大 ?当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小 ☆二次函数得对称性 二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴: 与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0) 与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0） 当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大； 当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数得对称轴 1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。 2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D) 3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。 4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求 它与x轴得另一个交点得坐标( , ) 5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( ) A、 B、 C、或 D、或 6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ） A、0 B、－1 C、 1 D、２ 题型2 比较二次函数得函数值大小 1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为 ( ) (A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ 2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物 线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y 1 与ｙ ２ 得大小关系就是( ) Ａ．y 1 <ｙ 2 Ｂ、 y １ =y ２ Ｃ、 y 1 ＞y ２ Ｄ、不确定 点拨:本题可用两种解法y x O –1 1 3 O –1 3 3 1 北师大版九年级数学下册精编教学设计系列 圆的对称性 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学任务分析 知识与技能 通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣． （2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业. 数学活动一：认识圆的对称性 提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？ 提问二：圆是对称图形吗？ （1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠 （2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? 现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将 轴对称图形基本念 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 【本讲教育信息】 一、教学内容： 1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质。 3. 线段的垂直平分线的性质及判定 4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线 5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。 二、知识要点： 1. 基本概念 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 （3）轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 （4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。 轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。） 求二次函数解析式之对称式 用“对称式”求抛物线解析式分为下面几种情况： 1.抛物线关于x 轴对称.抓住关于抛物线关于x 轴对称其对应点横坐标相同，而纵坐标互为 相反数.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于x 轴对称的图象为 ()'2y y ax bx c a 0=-=++≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=---≠. 结论：抛物线关于x 轴对称各项系数及常数项均互为相反数. 2.抛物线关于y 轴对称.抓住关于抛物线关于y 轴对称其对应点横坐标互为相反数，而纵坐 标相同.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为 ()()()'2 y a x b x c a 0=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+≠. 结论：抛物线关于y 轴对称二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. 3.抛物线关于原点对称.抓住关于抛物线关于原点对称其对应点横纵坐标均互为相反数，. 也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为()()()'2 y y a x b x c a 0=-=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+-≠. 结论：抛物线关于原点对称二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同. 例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线2y x 2x 3=--自动生成的对称抛物线（红 色）： 4.关于直线x k =（k 是常数）和关于直线y h =（h 是常数）对称. ①.关于直线x k =（k 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的横坐标和的一半等于k ，即，对称点的横坐标之和 =2k .若原抛物线配方成()()2 y a x m n a 0=++≠，则其关于直线x k =（k 是常数）对称的抛物线应表示为()()'2 y a 2k x m n a 0=-++≠，即()()'2 y a x 2k m n a 0=--+≠ （注意k 和m 都要变号,n 不变号） ②. 关于直线y h =（h 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的纵坐标和的一半等于h ， 正方形的典型基本图形（1） 1、知识回顾： ?? ?＿＿＿＿为对称中心中心对称性：＿＿＿＿ 轴轴对称性：＿＿条对称 正方形的对称性 2、如图，正方形ABCD 中，点E 在AC 上，求证：BE=DE 3、将上题用文字概括为一个命题： 例1、如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上一点，PE ⊥AD ，垂足为E ， PF ⊥CD ， 垂足为F ，求证：EF ＝BP 例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边的中点，AC 与BE 相交于点F ，连接DF 。 （1）在不添加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形； （2）连接AE ，试判断AE 、DF 的位置关系，并证明你的结论； （3）延长DF 交BC 于点M ，试判断BM 与MC 的数量关系。 N C B A 变式1：如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接BE 并延长BE 交AD 于点F ，若o BEC 60=∠，求∠DFB 的度数。 变式2：在正方形ABCD 中，点M 、N 在分别在AB 、BC 边上，交对角线于点E 、F ，若∠MDN=600 ， 求：∠BEM+∠BFN 的度数。 中考题型： 3、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点上任意一 点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM 的最小值为 13+时，求正方形的边长．图形变换中的轴对称变换
二次函数的对称性
【北师大版教材适用】九年级数学下册《圆的对称性》教案
轴对称图形基本念
求二次函数解析式之对称式
正方形的典型基本图形
- 27.1.2圆的对称性(教学设计)
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- 青岛版-数学-九年级上册-圆的对称性(第二课时)教案
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