浙江版2018年高考数学一轮复习专题1.1集合的概念及其基本运算讲

专题1.1 集合的概念及其基本运算

【考纲解读】

【知识清单】

1．元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ?． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示

对点练习：

【2017浙江嘉兴一中模拟】若集合{}1,2,3A =， (){},40,,B x y x y x y A =

+-∈，则集合

B 中的元素个数为（ ）

A. 9

B. 6

C. 4

D. 3

2．集合间的基本关系

（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。记为A B ?或B A ?． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。记为A B ?≠．

（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．

（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n

-． 对点练习：

【2017辽宁锦州质检（一）】集合{|3,}n

M x x n N ==∈，集合{|3,}N x x n n N ==∈，则集合M 与集合N 的关系（ ）

A. M N ?

B. N M ?

C. M N φ?=

D. M ?N 且N ?M 【答案】D

【解析】因为1,1;6,6M N N M ∈?∈? ,所以M ?N 且N ?M ,选D. 3．集合的运算

(1)三种基本运算的概念及表示

名称

交集

并集

补集

数学 语言 A∩B={x|x∈A ,且x∈B} A∪B={x|x∈A ,或x∈B}

C U A={x|x ∈U,且xA}

图形 语言

（2）三种运算的常见性质

A A A =， A ?=? ， A

B B A = ， A A A =， A A ?=， A B B A =．

(C A)A U U C =，U C U =?，U C U ?=．

A B A A B =??, A B A B A =??, ()U U U C A B C A C B =,

()U U U C A B C A C B =．

【2017浙江卷】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P

A ．)2,1(-

B ．)1,0(

C ．)0,1(-

D ．)2,1(

【答案】A

【考点深度剖析】

高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识，集合的基本运算．纵观近5年的高考试题，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现，元素的性质以不等式为主，偶有离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．

【重点难点突破】

考点1 集合的概念

【1-1】若a b R ∈，，集合,{10,,a b a b b

a

}={+}，，求b a -的值________． 【答案】2

【解析】由,{10,

,a b a b b

a

}={+}，可知0a ≠，则只能0a b ＋＝，则有以下对应关系： 0,,1,

a b b a a b +=???

=?

?=??① 或0,,1,a b b a b a

?

?+=?=???=? ② 由①得1,

1,

a b =-??

=?符合题意；②无解．

∴2b a －＝．

【1-2】集合2

*

{|70,}A x x x x N =-<∈，则*6

{|

,}B y N y A y

=∈∈中元素的个数为（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D 【解析】

试题分析：2*

{|70,}A x x x x N =-<∈}6,5,4,3,2,1{=，}6,3,2,1{B =，因为B B A = ，∴集合2

*

{|70,}A x x x x N =-<∈，则*6

{|,}B y N y A y

=∈∈中元素的个数为个． 【领悟技法】

与集合元素有关问题的思路：

(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】

【变式一】【2017河北唐山期末】已知集合{}{}

22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则

A B 中元素的个数是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】B

【变式二】设P 、Q 为两个非空集合，定义集合{|}P Q a b a P b Q ∈∈＋＝＋，．若

{}{}0,2,51,2,6P Q ＝，＝，则P Q ＋中元素的个数是( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6 【答案】B

【解析】P Q ＋＝{}1,2,3,4,6,7,8,11，故P Q ＋中元素的个数是8． 考点2 集合间的基本关系

【2-1】【2017四川适应性测试】设集合{}1 1A =-，，集合{}1 B x ax a R ==∈，，则使得B A ?的的所有取值构成的集合是（ ）

A ．{}0 1，

B ．{} 1-0 ，

C ．{}1 1-，

D ．{}1 0 1-，， 【答案】D

【解析】：因为B A ?，所以,{1},{1}B =?-，因此0,1,1a =-，选D.

【2-2】已知集合2{|()}A x y lg x x ＝

＝－，2

{|00}B x x cx c <>＝－，，若A B ?，则实数的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)

【答案】 B

【领悟技法】

1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【触类旁通】

【变式1】设集合10{|}P m m <<＝－，2

4{4|0Q m mx mx <＝＋－对任意实数x 恒成立，且

}m R ∈，则下列关系中成立的是( )

A ．P Q ?≠

B ．Q P ?≠

C ．P Q ＝

D ．P

Q ?＝

【答案】A

【解析】10{|}P m m <<＝－，2

0,:16160,

m Q m m

+∈????，集合,84k N x x k Z ππ??

==-∈????

，

则( ) A. M N =? B. M N ? C. N M ? D. M

N N =

【答案】B 【

解

析

】

(22)2,,8484k n M x x k Z x x k Z ππππ?+???==-∈==-∈????????,284k N x x ππ

?==-

??

或(21),84k k Z ππ-?

-∈??

，所以M N ?． 考点3 集合的基本运算

【3-1】【2017新课标1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则

A ．A

B =3|2x x ??

B ．A B =?

C ．A

B 3|2x x ?

?=

?

D ．A

B=R

【解析】由320x ->得32x <

，所以33

{|2}{|}{|}22

A B x x x x x x ?=

()U C A B ?= （ ）

A. {|03}x x <<

B. {|03}x x ≤≤

C. {|03}x x <≤

D. {|03}x x ≤< 【答案】D

【3-3】【2017浙江台州一模】若集合

，则

（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】，所以

或

，故选C.

【领悟技法】

1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。

2. 涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． 【触类旁通】

【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知集合{|2}P x R

x =∈<‖， {|13}Q x R x =∈-≤≤则P Q ?=( )

A. -1，2）

B. （-2,2）

C. （-2，3]

D. -1,3] 【答案】A

【解析】{|22}P x x =-<<，所以{|12}P Q x x ?=-≤<，故选A ．

【变式2】【2017浙江杭州二模】设{}1,0,1,2U =-，集合2

{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =

A. {}0,1,2

B. {}1,1,2-

C. {}1,0,2-

D. {}1,0,1- 【答案】B

【易错试题常警惕】

易错典例1：设集合{|}1||A x x a x R <∈＝－，，1{}5|B x x x R <<∈＝，，若A B ?≠，则的取值范围为________． 易错分析：忽视端点．

正确解析：由||1x a <－得11x a <<－－，∴11a x a <<－＋，由A B ?≠得11

15

a a ->??

+

24a <<．

又当2a ＝时，{}13|x x <<＝满足A B ?≠，4a ＝时，{}35|A x x <<＝也满足A B ?≠，

∴24a ≤≤.

温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．

易错典例2：设集合{}

{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A =，则实数的取值范围是

_______.

易错分析：遗忘空集．

温馨提示：在A B A

B B A B A A B ??，＝，＝，＝中容易忽视集合A φ≠这一情况，预

防出现错误的方法是要注意分类讨论．

【素养提升之思想方法篇】

化抽象为具体——数形结合思想

数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：

(1)利用Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系． (2)利用Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．

(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参

变量的取值范围问题．

【典例】已知集合{||3|}2A x x ∈R ＝＋＜，集合{|()()}20B x x m x ∈R ＝

－－＜，且)1(A B n ＝－，，则m ＝________，＝________.

【答案】 －1，1.

【解析】 由题意，知51{|}A x x ＝－＜＜．因为)1(A

B n ＝－，，

{|()()}20B x x m x ∈R ＝－－＜，结合数轴，如图．

所以11m n ＝－，＝.