解一元二次不等式常见错误分析

解一元二次不等式常见错误分析
数学科：唐剑萍
一元二次不等式是高中数学不等式教学的重点与难点，也是中学阶段解不等式的核心。它既是初中一元一次不等式知识的延伸与发展，又是二次函数的图象与性质的运用与巩固。而二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体，通过图象法解一元二次不等式，可以反映二次方程，二次函数，二次不等式三者之间内在联系和相互转化，其中并蕴含了转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力和概括能力。
但在实际教学过程中，老师们往往发现学生对一元二次不等式的解法掌握得并不怎么好。尤其是文科类的学生，大部分是女生，思维疆化，反应缓慢，想象能力薄弱，女生们总是嫌麻烦，极不乐意借助图象法来解一元二次不等式，因此解二次不等式常出错。中段考完后，我们高二文科的新课基本上结束，正好趁这个机会，花上一两个星期我想对学生解二次方程与二次不等式摸摸底，从学生的作业来看，学生们对解一元二次不等式这快重要知识，掌握得远远不够，确实存在着很多问题。下面是我从学生的作业中摘抄得几种非常典型的错误。
解不等式：1、
错解：原不等式可化为：x2>4,所以
错因：类比错误，将解二次方程与解二次不等式混同起来。
学生由解方程得套用到此解该不等式得，同样解一样也会犯得错误解法。
2、
错解：因为方程的两根为，
所以不等式的解集为（－1，2）
错因：忽略a<0而犯错！ 必修五教材上解一元二次不等式的表格中，列出了不等式ax2+bx+c<0（a>0）在Δ>0即方程ax2+bx+c＝0有不同两根的情况下，不等式的解集是在两根之内即。尽管教师们一再强调在a<0时，只需在不等式的两边同乘以-1，把二次项系数变为正便可。例如：解不等式，学生很明显地知道，此类不等式是a<0型，可能会记得将二次项系数化正。但是一旦出现此类型的不等式，恰好隐蔽a<0，学生往往会因忽略a<0而出现上述解法错误。而且在学生的脑海中，常有先入为主a>0的这种定向思维，一看不等号方向是小于符号，学生常会毫不犹豫地写出是
两根之内的错误解集。
3、
错解一：原不等式可化为：,所以2，解得
错解二：原不等式可化为：,所以原不等式解集为。
错因：初中基础没有过关，错误一将与等同起来，误以为两者是等价的，事实上是成立的必要不充分条件。错误二是中学阶段学生们常犯的一种概念性的错误，将正数与非负数概念模糊，误认为是恒成立的，却忽略了时的特殊情况。

4、
错解：原不等式可化为：即，
得：，所以原不等式解集是
错因：与前面解不等式3的错误类似，非正数与负数之区别，并注意到特殊与一般关系，而非，是的特殊情况，故原不等式解集应是。
5、
错解：因为所以方程无实数根，
所以原不等式解集是
错因：联想错误。学生只是由二次方程在Δ<0的前提下，方程没有实数根的结论，联想到相应的二次不等式当然无解了，所以不管是哪种类型的二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a>0），只要Δ=<0，学生常会误认为不等式的解集就是空集。
由以上几种一元二次不等式的错误解法，我想，归根结底是学生们没有很好地结合二次函数的图象来解二次不等式所带来的后果。若是同学们能在解一元二次不等式的新授课时，能好好地掌握用图象法来解二次不等式，而且有一解二次不等式就画图的习惯，哪怕是画出相应二次函数的草图，上述几种问题就会避免。
因此，我觉得，高中的学生要想解好一元二次不等式，初学者必定要用图象法来解，而且必须得切切实实掌握好四看，一看开口，二看判别式，三看根，四看图，最后写解集。事实上这也是重点让学生理解数形结合的思想，并由此归纳出图象法解一元二次不等式题的基本步骤：求根--画图--找解三步曲。当然在非常熟悉的情况下，学生可省略第二步，但也应做到"成图在胸"。教学中我们要防止单一地教给学生去背口诀"小于取中间，大于取两边"这一"教条"，而学生却未能真正理解口诀的意义，最终导致思维疆化而出现各种错误。