Matlab学习系列34. 马尔可夫预测
33. 马尔可夫预测
马尔可夫预测，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。
（一）经典马尔可夫模型 一、几个概念
状态：指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果； 状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态； 马尔可夫过程：在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态i E 转为状态j E 的状态转移概率
()(|)i j j i ij P E E P E E p →==
状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n 个可能的状
态，即1,,n E E ，则矩阵
1111n n nn p p P p p ????=??????
其中，ij p 为从状态i E 转为状态j E 的状态转移概率，称为状态转移概率矩阵。
状态转移矩阵满足：
(i)
01, ,1,,ij p i j n ≤≤=
(ii)
1
1n
ij
j p
==∑
二、状态转移矩阵的计算
即求出从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率ij p ，一般采用频率近似概率的思想进行计算。
例1某地区农业收成变化的三个状态，即E1“丰收”、E2“平收”和E3“欠收”。下表给出了该地区1960~1999年期间农业收成的状态变化情况（部分）。
计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。
datas=xlsread('Agriculture.xlsx');
E=datas(:,2)'; for i=1:3 for j=1:3
f(i,j)=length(findstr([i j],E)); end end
f %输出状态转移矩阵 fs=sum(f,2); for i=1:3
p(i,:)=f(i,:)/fs(i); end
p %输出状态转移概率矩阵 运行结果：
f = 3 7 5%3个E1到E1, 7个E1到E2, 5个E1到E3
7 2 4 4 5 2
p = 0.2000 0.4667 0.3333 0.5385 0.1538 0.3077 0.3636 0.4545 0.1818
三、状态概率
用()j k π表示事件在第k 个时刻（时期）处于状态j E 的概率。 显然，1()1n
j j k π==∑。根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes 条件
概率公式，有
1
()(1) ,1,,n
j j ij i k k p i j n ππ==-=∑
记1()[(),,()]n k k k πππ= 为第k 个时刻（时期）的状态概率向量。由上式可得到计算状态概率向量的递推公式：
()(1)(0)k k k P P πππ=-==
其中，(0)π为初始状态概率向量。
于是，若事件在某个时刻（时期）的状态0()s π已知，则利用状态转移概率矩阵P 和递推公式，就可以求得它经过k 次状态转移后，在第0s k +个时刻（时期）处于各种可能的状态的概率0()s k π+，从而就得到该事件在第0s k +个时刻（时期）的状态概率预测。
将例1中1999年的农业收成状态记为0()[0,1,0]s π=，利用状态转移概率矩阵及递推公式，预测2000—2009年可能出现的各种状态的概率。
S{1}=[0 1 0]; for i=1:10 S{i+1}=S{i}*P; end S{2:end}
运行结果：
ans = 0.5385 0.1538 0.3077 ans = 0.3024 0.4148 0.2828 ans = 0.3867 0.3335 0.2799 ans = 0.3587 0.3590 0.2824 ans = 0.3677 0.3510 0.2813 ans = 0.3648 0.3535 0.2817 ans = 0.3657 0.3527 0.2816 ans = 0.3654 0.3529 0.2816 ans = 0.3655 0.3528 0.2816 ans = 0.3655 0.3529 0.2816
四、终极状态概率预测
经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率。
11lim ()=[lim (),,lim ()][,,]n n k k k k k k ππππππ→∞
→∞
→∞
==
终极状态概率应满足：P ππ=，即T T T P ππ=，即()T T P E πθ-=
111212112122221122(1)0(1)0 (1)0
n n n n
n n nn n p p p p p p p p p πππππππππ-+++=??+-++=??
?
?+++-=? 该齐次方程组的系数行列式为0，有无穷多个解，为得到唯一的正确解，需要另一个限制条件：1 =1n
i i π=∑
此时是n 个未知数，n+1个方程，去掉前n 个中的任意一个，求解即可得到正确解，即终极状态概率向量。
求例1的终极状态概率向量。
n=3; %状态数目 A=P'-eye(n);
A(end,:)=ones(1,n);
%将最后一个方程替换为限制条件sum(pi)=1 b=[zeros(n-1,1);1];
S=inv(A)*b %解方程组Ax=b 得到终极状态概率向量
运行结果：
S = 0.3655 0.3529 0.2816
结果说明，该地区农业收成的变化过程，在无穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态出现的概率基本相当，都大于“欠收”状态出现的概率。
例2设某药品共有1000家购买对象，买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家，即A、B、C三药厂目前的市场占有份额分别为：40%、30%、30%，故初始市场占有状态向量为[0.4, 0.3, 0.3].
为预测A、B、C三个药厂生产的该药品在未来的市场占有情况，收集顾客订货情况如下表：
表顾客订货情况表
下季度订货情况合计
来自
A B C
A 160 120 120 400
B 180 90 30 300
C 180 30 90 300
合计520 240 240 1000
假设在未来的时期内，订货流向如上表保持不变，即状态转移概率稳定。预测未来3年，A、B、C厂的该药品市场占有率；计算经过若干时期形成稳定之后，A、B、C厂的该药品市场占有率。
f=[160 120 120; 180 90 30; 180 30 90]; %状态转移矩阵
fs=sum(f,2);
for i=1:3
P(i,:)=f(i,:)/fs(i);
end
P %输出状态转移概率矩阵
S0=[0.4 0.3 0.3];
S1=S0*P
S2=S1*P
S3=S2*P
n=3; %状态数目: 3个药厂
A=P'-eye(n);
A(end,:)=ones(1,n); %将最后一个方程替换为限制条件sum(pi)=1 b=[zeros(n-1,1);1];
S=inv(A)*b %解方程组Ax=b得到终极状态概率向量
运行结果：
P = 0.4000 0.3000 0.3000
0.6000 0.3000 0.1000
0.6000 0.1000 0.3000
S1 = 0.5200 0.2400 0.2400
S2 = 0.4960 0.2520 0.2520
S3 = 0.5008 0.2496 0.2496
S =0.5000 0.2500 0.2500
（二）带利润的马尔可夫模型
经典马尔可夫模型可以应用到，某商品的销售状态的预测。例如，销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本。
假定连续畅销时盈利r11元，连续滞销时盈利r22元，由畅销转为滞销盈利r12元，由滞销转为畅销盈利r21元，其中，r22和r12为负数，即亏本。
这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的马尔可夫模型，称为带利润的马尔可夫模型。
设状态转移概率矩阵为
11121212221
2
n n n n nn p p p p p p p p p ????
??
??
????
当系统从状态E i 转到E j 时，赋以利润r ij ，则系统利润矩阵为：
11
121212221
2
n n n n nn r r r r r r r r r ????
????
????
r ij >0表示盈利，r ij <0表示亏本，r ij = 0表示不亏不盈。
随着时间的变化，系统的状态不断地转移，从而可得到一系列利润。由于状态的转移是随机的，因而一系列的利润是随机变量，其概率关系由马尔可夫链的转移概率决定。
第1期的各利润随机变量记为(1)(1)
1,,n x x ，其概率分布为：
1,,i n = , 注意到1
1n
ij j p ==∑.从而第1期的各期望利润(1)i v 为：
(1)
(1)1
(), 1,,2n
i
i
ij ij j v
E x r p i ====∑
第2期的各利润随机变量记为(2)(2)
1,,n
x x ，其概率分布为：
1,,i n = . 从而第2期的各期望利润(2)i v 为：
(2)(2)
(1)1
()() 1,,2n
i
i
ij j ij j v
E x r v p i ===+=∑
依次做下去……，得到第k 期的各利润随机变量记为()()
1,,k k n
x x ，其概率分布为：
1,,i n = . 从而第k 期的各期望利润()k i v 为：
()
()(1)1(1)(1)(1)1
1
1
()() n
k k k i
i
ij j ij
j n
n
n
k k ij ij j ij i j ij
j j j v
E x r v p r p v p v v p -=--=====+=+=+∑∑∑∑
当k=1时，规定边界条件(0)0i x =。
例3设0.50.593, 0.40.637P R ????
==????
-????
，求第1至5期的期望利润。 P=[0.5 0.5; 0.4 0.6]; %状态转移矩阵 R=[9 3; 3 -7]; %利润矩阵 T=5; %预测5期的期望利润 n=length(P);
v=zeros(n,T); %初始化期望利润矩阵 for i=1:n
v(i,1)=R(i,:)*P(i,:)'; %第1期的n 个期望利润 end
for k=2:T %计算第2至第T 期的各期望利润 for i=1:n
v(i,k)=v(i,k-1)+P(i,:)*v(:,k-1);
end
end
v
运行结果：
v = 6.0000 7.5000 10.0500 14.6550 23.3205
-3.0000 -2.4000 -0.8400 2.6760 10.1436
马尔可夫预测
4.6 马尔可夫预测 4.6.1 马尔可夫预测法分析概述 马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。 众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。这种与过去的取值无关，称为无后效性。这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。 1.一步转移概率与转移概率矩阵 如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵： 转移概率矩阵具有下述性质; (1)矩阵每个元素均非负； (2)矩阵每行元素之各等于1. 2.多步转移概率与转移概率矩阵 在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。n步转移概率矩阵记为
经过计算，可以得到一个有用的结论： 同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质; 2.4.2市场占有率预测分析 1.市场占有率预测分析概述 在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。 市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。 2.市场占有率预测分析的基本 市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。 (1)调查目前市场占有率情况，得到市场占有率向量A 首先，通过抽样调查，了解目前市场占有率情况。根据调查结果，构建市场占有率向量A。则A=（P1 , P2 ,P3） (2)调查消费者的变动情况，计算转移概率矩阵P 通过合理的消费者抽样调整，汇总消费者消费变动的情况，并计算出转移概率矩阵P。则
案例九-马尔科夫预测
案例九 马尔科夫预测 一、 市场占有率的预测重点 例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为： 3202402403601806036060180N ?? ?= ? ??? 其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。 （1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。 解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。 用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵： 0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ?? ?= ? ???
于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为： 00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =?=L 1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ?? ? == ? ??? 2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P === 3 k =时 , ()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。 现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：
Matlab学习系列34. 马尔可夫预测
33. 马尔可夫预测 马尔可夫预测，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。 马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。 （一）经典马尔可夫模型 一、几个概念 状态：指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果； 状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态； 马尔可夫过程：在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。 状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态i E 转为状态j E 的状态转移概率 ()(|)i j j i ij P E E P E E p →== 状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n 个可能的状
态，即1,,n E E ，则矩阵 1111n n nn p p P p p ????=?????? 其中，ij p 为从状态i E 转为状态j E 的状态转移概率，称为状态转移概率矩阵。 状态转移矩阵满足： (i) 01, ,1,,ij p i j n ≤≤= (ii) 1 1n ij j p ==∑ 二、状态转移矩阵的计算 即求出从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率ij p ，一般采用频率近似概率的思想进行计算。 例1某地区农业收成变化的三个状态，即E1“丰收”、E2“平收”和E3“欠收”。下表给出了该地区1960~1999年期间农业收成的状态变化情况（部分）。 计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。 datas=xlsread('Agriculture.xlsx');
汽车系统动力学Matlab
汽车系统动力学Matlab 作业报告 小组成员：
'组内任务分配
二、 Matlab 程序与图形 1、不同转向特性车辆在不同车速下的系统特征根 m=1000;I=1500;a1=1.15;b1=1.35;Caf=53000;Car=53000; i=1;R=[]; for uc=10:5:100; D=(l*(Caf+Car)+m*(a1^2*Caf+b1^2*Car))∕(m*l*uc); S=(a1+b1)^2*Caf*Car∕(m*l*uc^2)+(b1*Car-a1*Caf)∕l; P=[1 D S]; r=roots(P); R(i,1)=r(1,1);R(i,2)=r(2,1);i=i+1; end plot(real(R(:,1)),imag(R(:,1)),'bo'); hold a2=1.25; b2=1.25; t=1; S=[]; for uc=10:5:100 P=[m 0;0 l]; Q=[(Caf+Car)∕uc,m*uc+(a2*Caf-b2*Car)∕uG(a2*Caf-b2*Car)∕uc,(a2^2*Caf+b 2^2*Car)∕uc]; R=[Caf;a2*Caf]; A=-P^(-1)*Q; d=eig(A); i=imag(d); r=real(d); S(t,1)=r(1); S(t,2)=i(1); t=t+1; end plot(S(:,1),S(:,2),'*') a3=1.35; b3=1.15; for uc=10:5:100 P=[m 0;0 l];
Q=[(Caf+Car)∕uc,m*uc+(a3*Caf -b3*Car)∕uc; (a3*Caf-b3*Car)∕uc,(a3^2*Caf+b3^2*Car)∕uc]; R=[Caf;a3*Caf]; A=-P^(-1)*Q; d=eig(A); i=imag(d); r=real(d); S(t,1)=r(1); S(t,2)=i(1); t=t+1; end grid On Plot(S(:,1),S(:,2),'d'); axis([-14 2 0 3]); xlabel('实轴(Re)'); ylabel('虚轴(Im)'); text(-8,2.8,'不足转向'); text(0,0.2,'过多转向'); text(-3,0.2,'中性转向') set(gca,'Fo ntName','Helvetica','Fo ntSize',10) title(['不同转向特性车辆在不同车速下的系统特征根'],'FontSize',12); E 一 書不同转向特杵乍辆在不同乍速下的系统待征戕
数学建模之马尔可夫预测
马尔可夫预测 马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。 三大特点： （1）无后效性 一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。 （2）遍历性 不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。 （3）过程的随机性。 该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。 1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测， ④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。 2.步骤 ①确定系统状态 有的系统状态很确定。如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中，状态需要人为确定。如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。 ②计算初始概率()0i S 用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L ③计算一步转移概率矩阵
令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为： 1112121 2221 2n n n n nn p p p p p p P p p p ??????=??????L L M M M M L ④计算K 步转移概率矩阵 若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。 K 步转移概率矩阵为： 11121212221 2()k n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ??????==??????L L M M M M L ⑤预测及分析 根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即： () ()111210212221 2K n K n n n nn p p p p p p S S p p p ??????=??????L L M M M M L 例题： 设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。 市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。 再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。 模型的建立： ①计算初始概率 用i M 表示i E 型产品出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L （1） ②计算各类产品保留和转购变动率
matlab动力学解析程序详解
·· 1.微分方程的定义 对于duffing 方程03 2 =++x x x ω ，先将方程写作??? --==3 1122 21x x x x x ω function dy=duffing(t,x) omega=1;%定义参数 f1=x(2); f2=-omega^2*x(1)-x(1)^3; dy=[f1;f2]; 2.微分方程的求解 function solve (tstop) tstop=500;%定义时间长度 y0=[0.01;0];%定义初始条件 [t,y]=ode45('duffing',tstop,y0,[]); function solve (tstop) step=0.01;%定义步长 y0=rand(1,2);%随机初始条件 tspan=[0:step:500];%定义时间范围 [t,y]=ode45('duffing',tspan,y0); 3.时间历程的绘制 时间历程横轴为t ，纵轴为y ，绘制时只取稳态部分。 plot(t,y(:,1));%绘制y 的时间历程 xlabel('t')%横轴为t ylabel('y')%纵轴为y
·· grid;%显示网格线 axis([460 500 -Inf Inf])%图形显示范围设置 4.相图的绘制 相图的横轴为y ，纵轴为dy/dt ，绘制时也只取稳态部分。红色部分表示只取最后1000个点。 plot(y(end-1000:end ,1),y(end-1000:end ,2));%绘制y 的时间历程 xlabel('y')%横轴为y ylabel('dy/dt')%纵轴为dy/dt grid;%显示网格线 5.Poincare 映射的绘制 对于不同的系统，Poincare 截面的选取方法也不同 对于自治系统一般每过其对应线性系统的固有周期，截取一次 对于非自治系统，一般每过其激励的周期，截取一次 例程：duffing 方程03 2=++x x x ω 的poincare 映射 function poincare(tstop) global omega; omega=1; T=2*pi/omega;%线性系统的周期或激励的周期 step=T/100;%定义步长为T/100 y0=[0.01;0];%初始条件 tspan=[0:step:100*T];%定义时间范围 [t,y]=ode45('duffing',tspan,y0); for i=5000:100:10000%稳态过程每个周期取一个点 plot(y(i,1),y(i,2),'b.'); hold on;% 保留上一次的图形 end
马尔科夫预测
第6章 马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集(,)T ?-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称 {,}t X t T ∈为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称 {,}t X t T ∈为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =L ，称其为状态空间。系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121Λ恒有 {}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----=======L (6.1.1) 则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,...,N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻n t ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态()N i i ,,2,1Λ=有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3，则可用向量()0.3,0.4,0.3P =来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
第6章 马尔科夫预测方法-思考与练习
第6章 马尔科夫预测方法 思考与练习（参考答案） 1.设某市场销售甲、乙、丙三种牌号的同类型产品，购买该产品的顾客变动情况如下：过去买甲牌产品的顾客，在下一季度中有15%的转买乙牌产品，10%转买丙牌产品。原买乙牌产品的顾客，有30%转卖甲牌的，同时有10%转卖丙牌的。原买丙牌产品的顾客中有5%转买甲牌的，同时有15%转买乙牌的。问经营甲种产品的工厂在当前的市场条件下是否有利于扩大产品的销售？ 解：状态转移概率矩阵为： 假设市场达到稳定状态时，甲、乙、丙市场占有率分别为 x 1、 x 2、x 3、，则： 所以，在当前的市场条件下，当甲种产品的市场占有率大于0.40时不利于扩大商品的销售；当甲种产品的市场占有率小于0.40时利于扩大商品的销售。 2.某产品每月的市场状态有畅销和滞销两种，三年来有如下记录，见下表。“1” 解：由题可得：畅销状态有 M 1 =20 滞销状态有 M 2=12 从畅销到畅销有 M 11=12 从畅销到滞销有 M 12=7 从滞销到畅销有 M 21=7 从滞销到滞销有 M 22=5 0.750.150.1P=0.30.60.10.050.150.8?? ???? ???? [][]1123123233120.750.150.10.30.60.10.050.150.0.40,0.27,0.3813x x x x x x x x x x x x ?????????=? ????? ?+=+===??
计算状态转移概率矩阵（在计算状态转移概率矩阵时最后一个数据不参加计算，因为它在之后转移到哪里尚不清楚） 一步转移概率矩阵为： ?? ??? ?=?????? 12719 19P 7512 12 二步转移概率矩阵为： = ??????=?????? 2 (2)21271919P P 751212 3.某市三种主要牌号甲乙丙彩电的市场占有率分别为23%、18%、29%，其余市场 为其它各种品牌的彩电所占有。根据抽样调查，顾客对各类彩电的爱好变化为 0.50.10.150.250.10.50.20.20.150.050.50.30.20.20.20.4???????????? 其中矩阵元素 ij a 表示上月购买i 牌号彩电而下月购买 j 牌号彩电的概率；1,i = 2，3，4分别表示甲乙丙和其他牌号彩电。 1) 试建立该市各牌号彩电市场占有率的预测模型，并预测未来3个月各种牌号彩电市场占有率变化情况； 2）假定该市场彩电销售量为4.7万台，预测未来三个月各牌号彩电的销售量； 3）分析各牌号彩电市场占有率变化的平衡状态； 4）假定生产甲牌彩电的企业采取某种经营策略（例如广告宣传等），竭力保持了原有顾客爱好不向其它牌号转移，其余不变。分析彩电市场占有率的平衡状态。 解：（1）市场占有率初始向量为：P （0）=（0.23 0.18 0.29 0.3） 状态转移概率矩阵为： 则第K 期的市场占有率的预测模型为： 0.50.10.150.250.10.50.20.2P=0.150.050.50.30.20.20.20.4?? ?????? ?? ??k k 0.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.290.3)0.150.050.50.30.20.20.20.4k ???? ? ???????
matlab动力学分析程序详解
1 1.微分方程的定义 对于duffing 方程03 2 =++x x x ω ，先将方程写作??? --==3 1122 21x x x x x ω function dy=duffing(t,x) omega=1;%定义参数 f1=x(2); f2=-omega^2*x(1)-x(1)^3; dy=[f1;f2]; 2.微分方程的求解 function solve (tstop) tstop=500;%定义时间长度 y0=[0.01;0];%定义初始条件 [t,y]=ode45('duffing',tstop,y0,[]); function solve (tstop) step=0.01;%定义步长 y0=rand(1,2);%随机初始条件 tspan=[0:step:500];%定义时间范围 [t,y]=ode45('duffing',tspan,y0); 3.时间历程的绘制 时间历程横轴为t ，纵轴为y ，绘制时只取稳态部分。 plot(t,y(:,1));%绘制y 的时间历程 xlabel('t')%横轴为t ylabel('y')%纵轴为y grid;%显示网格线
2 axis([460 500 -Inf Inf])%图形显示范围设置 4.相图的绘制 相图的横轴为y ，纵轴为dy/dt ，绘制时也只取稳态部分。红色部分表示只取最后1000个点。 plot(y(end-1000:end ,1),y(end-1000:end ,2));%绘制y 的时间历程 xlabel('y')%横轴为y ylabel('dy/dt')%纵轴为dy/dt grid;%显示网格线 5.Poincare 映射的绘制 对于不同的系统，Poincare 截面的选取方法也不同 对于自治系统一般每过其对应线性系统的固有周期，截取一次 对于非自治系统，一般每过其激励的周期，截取一次 例程：duffing 方程03 2=++x x x ω 的poincare 映射 function poincare(tstop) global omega; omega=1; T=2*pi/omega;%线性系统的周期或激励的周期 step=T/100;%定义步长为T/100 y0=[0.01;0];%初始条件 tspan=[0:step:100*T];%定义时间范围 [t,y]=ode45('duffing',tspan,y0); for i=5000:100:10000%稳态过程每个周期取一个点 plot(y(i,1),y(i,2),'b.'); hold on;% 保留上一次的图形 end xlabel('y');ylabel('dy/dt');
马尔科夫预测法
马尔科夫预测案例 一、 市场占有率的预测 例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为： 3202402403601806036060180N ?? ?= ? ??? 其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费 者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。 （1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。 解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。 用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵： 0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ?? ?= ? ??? 于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为： 00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =?= 1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ?? ? == ? ??? 2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P === 3 k =时, ()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。
马尔可夫链预测方法及其一类应用【文献综述】
文献综述 数学与应用数学 马尔可夫链预测方法及其一类应用 马尔可夫性是俄国数学家A.A.Mapkov 在1906年最早提出的. 但是, 什么是马尔可夫性呢? 一般来讲,认为它是“相互独立性”的一种自然推广. 设有一串随机事件,...,,...,,121n n A A A A -中（即n A 属于概率空间（P ,,ξΩ）中的σ代数ξ，1≥n ）, 如果它们中一个或几个的发生, 对其他事件的发生与否没有影响, 则称这一串事件是相互独立的（用概率空间（P ,,ξΩ）的符号表示, 即))()(11n m n m n n A P A P X I ===, 推广下, 如果在已知,...,1+n n A A 中的某些事件的发生, 与,,...,,121-n A A A 中的事件发生与否无关, 则称这一串事件{1:≥n A n }具有马尔可夫性. 所以说, 马尔可夫性可视为相互独立性的一种自然推广. 从朴素的马尔可夫性, 到抽象出马尔可夫过程的概念, 从最简单的马尔可夫过程到一般的马尔可夫过程, 经历了几十年的发展过程. 它有极其深厚的理论基础, 如拓扑学、函数论、几何学、近世代数、泛函分析. 又有很广泛的应用空间, 如随机分形、近代物理、公共事业中的服务系统、电子信息、计算技术等. 在现实世界中, 有很多过程都是马尔可夫过程, 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动, 车站排队问题等等, 都可视为马尔可夫过程. 所谓马尔可夫链是指时间连续(或离散)、状态可列、时间齐次的马尔可夫过程. 之所以要研究这种过程, 一方面是由于它的理论比较完整深入, 可以作为一般马尔可夫过程及其他随机过程的借鉴; 二是由于它在自然科学和许多实际问题(如遗传学、教育学、经济学、建筑学、规则论、排队论等)中发挥着越来越大的作用. 自从我国著名数学家、教育家、中科院王梓坤院士在上世纪50年代将马尔可夫理论引入国内以后, 我国数学家对马尔可夫过程的研究也取得了非常好的效果, 在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、马尔可夫过程的零壹律、Martin 边界与过份函数、马尔可夫过程
论述马尔可夫模型的降水预测方法
随机过程与随机信号处理课程论文
论述马尔可夫模型的降水预测方法 摘要：预测是人们对未知事物或不确定事物行为与状态作出主观的判断。中长 期降水量的预测是气象科学的一个难点问题, 也是水文学中的一个重要问题。今年来，针对降水预测的随机过程多采用随机过程中的马尔可夫链。本文总结了降水预测的马尔可夫预测的多种方法和模型，对其中的各种方法的马尔可夫链进行了比较和分析，得出了一些有用的结论。 关键字：降水预测，随机过程，马尔可夫链，模拟 前言：大气降水是自然界水循环的一个重要环节。尤其在干旱半干旱地区, 降 水是水资源的主要补给来源, 降水量的大小,决定着该地区水资源的丰富程度。因此, 在水资源预测、水文预报中经常需要对降水量进行预报。然而, 由于气象条件的变异性、多样性和复杂性, 降水过程存在着大量的不确定性与随机性, 因此到目前为止还难以通过物理成因来确定出未来某一时段降水量的准确数值。在实际的降水预测中，有时不必预测出某一年的降水量，仅需预测出某个时段内降水的状况既可满足工作需要。因此，预测的范围相应扩大，精度相应提高。因此对降水的预测可采用随机过程的马尔可夫链来实现。 用随机过程中马尔可夫链进行预测是一种较为广泛的预测方法。它可用来预测未来某时间发生的变化, 如预测运输物资需求量、运输市场等等。马尔可夫链, 就是一种随机时间序列, 它表示若已知系统的现在状态, 则系统未来状态的规律就可确定, 而不管系统如何过渡到现在的状态。我们在现实生活中, 有很多情况具有这种属性, 如生物群体的生长与死亡, 一群体增加一个还是减少一个个体, 它只与当前该生物群体大小有关, 而与过去生物群体大小无关。] 本文针对降水预测过程中采用马尔可夫链进行模拟进行了综述和总结。主要的方法有利用传统的马尔可夫链的方法模拟；有采用加权的马尔可夫链模拟来进行预测；还有基于模糊马尔可夫链状模型预测的方法；还有通过聚类分析建立降水序列的分级标准来采用滑动平均的马尔可夫链模型来预测降水量；从这些方法中我们可以看出，马尔可夫链对降水预测有着重要的理论指导意义。 1.随机过程基本原理 我们知道，随机变量的特点是，每次试验结果都是一个实现不可预知的，但为确定的量。而在实际中遇到的许多物理现象，实验所得到的结果是一个随时间变化的随机变量，且用一个或多个随机变量我们有时无法描述很多这种现象的的全部统计规律，这种情况下把随时间变化的随机变量的总体叫做随机过程。对随机过程的定义如下：
马尔科夫预测
第 6 章马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集T （ , ），如果对任意的t T ，总有一随机变量X t 与之对应，则称{X t ,t T} 为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设T {t0,t1,t2,...,t n,...} ），同时X t的取值也是离散的，则称{X t ,t T} 为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为S {1,2,L ,N} ，称其为状态空间。系统只能在时刻 t0,t1,t2,...改变它的状态。为简便计，以下将X t n等简记为X n。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链如果对任一n 1，任意的i1,i2, ,i n 1, j S恒有 P X n j X1 i1,X2 i2,L ,X n 1 i n 1 P X n j X n 1 i n 1 （6.1.1）则称离散型随机过程{X t ,t T} 为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,..., N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻t n ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态i i 1,2, ,N 有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月 A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、 0.3，则可用向量P 0.3,0.4,0.3 来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法 1马尔可夫预测的性质及运用 对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。这就是关于事件发生的概率预测。 马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。 2基本概念 （一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程 1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。 2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。 3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。 （二)状态转移概率与状态转移概率矩阵 1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１） 2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。记P ij 为从状态E i 转为状态E j 的状态转移概率，作矩阵 1112121 22212n n n n nn P P P P P P P P p p ??????=?????? （２） 则称P 为状态转移概率矩阵。
马尔可夫链预测方法
马尔可夫链预测方法 一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。其具体方法步骤如下: 1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]； 2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4．进行“马氏性” 检验； 5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为 (0)(0,,0,1,0,0)P = 这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。于是第2时段的绝对分布为 1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p = 则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈； 同样预测第k ＋1时段的状态，则有 1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k = 得到所预测的状态j 满足: ()max{(),}j i p k p k i I =∈ 6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 二、叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。其具体方法步骤如下: 1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行； 2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4) 马氏性检验； 5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加 入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。 (7)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。
马尔可夫预测算法
马 尔可夫预测算法 综述 马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时 间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。 方法由来 马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。 基础理论 在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。因此，变化过程可用时间的函数来描述。不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。这就要研究无限多个，即一族随机变量。随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态： ??? ? ?????=???==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。状态 转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。设客观事物有 N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
实验4_马尔科夫预测
实验4：马尔柯夫预测 实验目的 1、了解状态及状态转移的概念，理解马尔科夫链定义和性质，能根据具体实例和研究目的划分状态； 2、掌握用Excel 软件计算一步转移概率矩阵的全过程； 3、掌握利用Excel 软件进行马尔科夫链、市场占有率、马尔科夫稳态的相关预测。 实验原理 马尔柯夫预测的基本原理 马尔可夫预测法是马尔科夫过程和马尔科夫链在经济预测领域的一种应用，这种方法通过对事物状态划分、研究各状态的初始概率和状态之间转移概率来预测事物未来状态变化趋势，以预测事物的未来。 马尔可夫链 若时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，且具有无后效性，这一随机过程为马尔可夫链。无后效性可具体表述为如果把随机变量序列{}(),Y t t T ∈的时间参数s t 作为“现在”，那么s t t >表示“将来”，s t t <表示“过去”，那么，系统在当前的情况()s Y t 已知的条件下，()Y t “将来”下一时刻所处的的情况与“过去”的情况无关，随机过程的这一特性称为无后效性。 状态及状态转移
1、状态是指客观事物可能出现或存在的状况。在实际根据研究的不同事物、不同的预测目的，有不同的预测状态划分。 （1）预测对象本身有明显的界限，依状态界限划分。如机器运行情况可以分为“有故障”和“无故障”两种状态，天气有晴、阴、雨三种状态。（2）研究者根据预测事物的实际情况好预测目的自主划分。如：公司产量按获利多少人为的分为畅销、一般销售、滞销状态。这种划分的数量界限依产品不同而不同。 2、状态转移是指所研究的系统的状态随时间的推移而转移，及系统由某一时期所处的状态转移到另一时期所处的状态。发生这种转移的可能性用概率描述，称为状态转移概率 状态转移概率矩阵及计算原理 1、概念：状态转移概率指假如预测对象可能有E 1，E 2，…，E n 共n 种状态，其每次只能处于一种状态i E ，则每一状态都具有n 个转向（包括转向自身），即：1i E E →1 、2i E E →、 、i n E E →，将这种 转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。最基本的是一步转移概率(|)j i P E E ，它表示某一时间状态i E 经过一步转移到下一时刻状态 j E 的概率，可以简记为ij P 。 2、状态转移概率矩阵P 系统全部一次转移概率的集合所组成的矩阵称为一步转移概率矩阵，简称状态转移概率矩阵