备战冲刺预测卷(一)
1、设(1)i z i += (其中i 为虚数单位),则复数z = ( )
A.
1122i + B. 1122i -
C. 1122i -+
D. 1122
i --
2、设全集U R =,集合{}31A x x =-<<,{}10B x x =+≥,则( )
A. {3x x ≤-或1}x ≥
B. {|1x x <-或3}x ≥
C. {}3x x ≤
D. {}3x x ≤-
3、下列函数中,既是偶函数,又在()0,?+∞单调递增的函数是( ) A. 12
y x = B. 2x
y =- C. 1
y x
=
D. lg y x = 4、“1sin 2α=
”是“1
cos 22
α=”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、已知等比数列{}n a 中, 31174a a a =,{}n b 是等差数列,且77b a =则59b b +等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 6、我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所
示,则输出的结果n= (
)
A. 4
B. 5
C. 2
D. 3
7、已知实数,x y满足
20
1
x
x y
y x
≥
?
?
-≥
?
?≥-
?
,则()0
z ax y a
=+>的最小值为( )
A. 0
B. a
C. 21
a+
D. 1?
-
8、已知某几何体的三视图如图所示,俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成的,则该几何体的体积为( )
A.443
π+
B.283
π+
C.43
π+
D.83
π+
9、在区间[,]ππ-内随机取两个数分别为,?a b ,则使得函数2
2
2
()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为( ) A. 18
π
- B. 14
π
- C. 12
π
-
D. 314
π-
10、已知1F ,2F 分别是双曲线 ()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点, P 为双曲线上的
一点,若1290,F PF ∠=?且12F PF ?的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ) 2 3C. 2 D. 5
11、在ABC △中,角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,若1,2,45a b B ===o ,则角A = ( ) A. 30o B. 60o C. 30o 或150o D. 60o 或
120o
12、已知函数2
()ln f x x ax =-.若()f x 恰有两个不同的零点,则a 的取值范围为( ) A.1
(
,)2e
+∞
B.1
[
,)2e +∞ C.1(0,)2e
D.1(0,]2e
13、若ABC △的面积为23,且3
A π
=,则AB AC ?=u u u r u u u r ____.
14、已知正数,?a b 满足1a b +=,则z x y =-+的最大值为__________. 15、圆2
2
1x y +=上的点到点()3,4M 的距离的最小值是__________.
16、设函数π
sin(2)4
y x =-,则下列结论正确的是______. ①函数()y f x =的递减区间为3π7ππ+
,π+(Z)88k k k ??
∈????
; ②函数()y f x =的图象可由sin 2y x =的图象向左平移π
8
得到; ③函数()y f x =的图象的一条对称轴方程为π8
x =; ④若7ππ,242x ??
∈?
???,则()f x 的取值范围是2,12??????
. 17、公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39,S =且125,,a a a 成等比数列. 1.求数列{}n a 的通项公式;
2.设{}n n b a -是首项为1,公比为2的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和为n T 。 18、如图所示,在直棱柱1111ABCD A B C D -中,
//AD BC ,90BAD ∠=?,AC BD ⊥,1BC =,13AD AA ==.
1.证明: 1AC B D ⊥;
2.求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.
19、某海滨城市为迎接全国文明城市的检查,特意制作800块大小不一的宣传标语牌,某广告公司承担此项制作任务,先采用分层抽样的方法进行实际调查,随机抽取50个位置,测量其高度,以方便制作.据测量,抽取的50个位置的高度全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果分成8组:第1组[)155,160,第2组[)160,165,…,第8组[]190,195.下图是按上述分组方法得到的条形图.
1.根据已知条件填写下面表格: 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 频数
2.估计这座城市800块标语牌中高度在175cm 以上(含175cm )的块数;
3.在样本中,所有宣传标语牌为蓝色或红色,若第2组有1块为红色,其余为蓝色,第7组有1块为蓝色,其余为红色,在第2组和第7组中各随机选一块宣传标语牌,问:所选的2块标语牌恰为同种颜色的概率是多少?
20、已知椭圆()222210:x y a b a b
E +=>>的离心率3e =并且经过定点()0,1
1.求椭圆 E 的方程
2.问是否存在直线y x+m =-,使直线与椭圆交于,A B 两点,满足OA OB ⊥,若存在,求m 值,若不存在说明理由
22、在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为22cos {(2sin x y ?
??
=+=为参数),以O 为极点, x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 1.求圆C 的极坐标方程
2.若直线32:{
(12
x m t
l t y t
=+
=为参数)与圆C 交于,A B 两点,且15ab =,求m 的值. 23、已知函数()22f x x m x m =+--. 1.当6m =时,解不等式()8f x ≥; 2.若0n >,证明21()f x m n n
≤+
. 21已知函数
.
1.若函数
上点
处的切线过点,求函数
的单调减
区间;
2.若函数
在上无零点,求的最小值.答案
1.A
2.D
解析:{}{}31,1A x x B x x =-<<=≥-,所以{}3A B x x ?=>-,{}3x x ≤-故选
D.
【点睛】本道题目考查了集合的并集和补集运算性质,可以结合数轴法加以理解. 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D
解析:作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,由图可得z ax y =+, 在过点()0,1A -时取得最小值,最小值为-1.
8.D
解析:由三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体与底面半径为1,高为2的半圆锥组合而成的,故其体积3211228323
V π
=+?π?1?=+,故选D. 9.B
解析:由于函数
222()2f x x ax b π=+-+,则
222222(2)4()4()0a b a b ππ?=--+=+-≥,即222a b π+≥,事件空间所表示的区域为
{(,)|,}a b a b ππππΩ=-≤≤-≤≤,为边长为2π的正方形,其面积为
22'(2)4S ππ==,事件“函数222()2f x x ax b π=+-+有零点”所构成的区域为222{(,)|,,}A a b a b a b πππππ=+≥-≤≤-≤≤,所表示的区域为正方形内以π
为半径
的圆的外部,其面积为23S πππ=?=,因此,事件“函数
222()2f x x ax b π=+-+有零
点”的概率为232'4144
S P S πππ
π-===-,故选B.
10.D
解析:因为12F PF ?的三边长成等差数列,不妨设2112,,PF PF F F 成等差数列, 分别设为,,m d m m d -+,则由双曲线定义和勾股定理可知:
222()2,()()m m d a m m d m d --=+-=+,
解得48,5m d a c a ===,故离心率55c a e a a
===. 11.A
解析:1,2,45a b B ===o Q ,
∴由正弦定理可得:2
1sin 12sin 22
a B
A b
=
==,
1a b =<=Q 045A < ∴解得:30A =o . 故选:A . 12.C 解析:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,2 112'()2ax f x ax x x -=-=. 当0a ≤时, '()0f x >恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,则函数()f x 不存在两个 不同的零点.当0a >时,由'()0f x =,得x = 当0x <<,'()0f x >,函数 ()f x 单调递增,当x > '()0f x <,函数()f x 单调递减,所以()f x 的最大值为 211ln ln 222 f a a ==--,于是要使函数()f x 恰有两个不同的零点,则需满足11ln 2022a -->,即ln 21a <-,所以102e a <<,所以a 的取值范围是1 (0,)2e ,故选C. 13.4 解析:令1,2x a y b =+=+则4x y +=, 所以 ()121 12123522232124444 a b y x x y a b x y x y x y ??????+-+=-+=-++=-++≤-= ? ? ?++??????, 当且仅当 2y x x y = ,此时5,6a b ==-故答案为: . 15.4 解析:圆心()0,0到M 的距离5OM ==,所以所求最小值为514-=. 16.①④ 解析: 17.1. 21n a n =-;2. 2 21n n T n =-+ 解析: 1.由39,S =,得312293a a a a ++=?=. 又∵125,,a a a 成等比数列, ∴2 215a a a =, 即22 212()(3)20a a d a d d d =-+?-=, 解得2d =或0d =(舍去), ∴121a a d =-=,故21n a n =-. 2.由题意1 2n n n b a --=, 所以11 2221n n n n b a n --=+=+-, 所以21 (1222)[135(21)]n n T n -=+++++++++-L L 212221122 n n n n n -?=+=-+-. 18.1.证明:因为1BB ⊥平面ABCD ,AC ?平面ABCD , 所以1AC BB ⊥.又AC BD ⊥,1B BB BD ?=, 所以AC ⊥平面1BB D ,而1B D ?平面1BB D ,所以1AC B D ⊥. 2.因为11//B C AD ,所以直线11B C 与平面1ACD 所成的角 等于直线AD 与平面1ACD 所成的角(记为θ). 如图,连接1 A D 因为棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱, 且11190B A D BAD ∠=∠=?,所以11A B ⊥平面11ADD A , 从而11A B ⊥1AD .又13AD AA ==, 所以四边形11ADD A 是正方形,于是11A D AD ⊥. 故1AD ⊥平面11A B D ,于是11AD B D ⊥. 由题1知, 1AC B D ⊥,又1AC AD A ?=, 所以1B D ⊥平面1ACD ,故190ADB θ∠=?-. 在直角梯形ABCD 中,因为AC BD ⊥, 所以BAC ADB ∠=∠. 从而Rt ABC Rt DAB ?~?,故AB BC DA AB = , 即3AB DA BC = ?=. 连接1AB .易知1AB D ?是直角三角形, 且222222 11121B D BB BD BB AB AD =+=++=,即1=21B D . 在1Rt AB D ?中, 1121 cos 721 AD ADB B D ∠= == , 即21cos(90)7θ?-= .从而21 sin 7 θ=. 即直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为 21 7 . 19.1.由条形图可得第7组的频率为()10.0420.0820.220.3=0.06-?+?+?+, ∵0.0650=3?,∴第7组的频数为3, 故填写的表格如下: 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 2 4 10 10 15 4 3 2 2.由条形图得高度在175cm 以上(含175cm )的频率为0.48,所以估计这座城市800块宣传标语牌中高度在175cm 以上(含175cm )的块数是8000.48384?=. 3.第2组的4块标语牌分别记为,,,a b c d ,其中a 为红色,,,b c d 为蓝色,第7组的3块标语牌分别记为1,2,3,其中1,2为红色,3为蓝色,则基本事件列表如下: 所以基本事件共有12个,其中恰为一红一蓝的有7个, 因为所求概率7511212 P =- =. 20.1.因为E 经过点()0,1,所以21b =,又因为椭圆E 24a =所以椭圆E 的方程为: 2 214 x y += 2.设 1122(,),(,)A x y B x y ,2 222221 4()40584404x y x m x x mx m y x m ?+=??+--=?-+-=??=-+? (*) 所以 21212844 ,55 m m x x x x -+==, 22 2 212121212844()()()55m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+24 5 m -=由 0OA OB OA OB ⊥??=u u u r u u u r 得 2211221212444(,)(,)0,55 m m x y x y x x y y OA OB --?=?=+=+=u u u r u u u r m = 又方程(*)要有两个不等实根, 22 (8)45(44)0,55m m m ?=--?->-<<,m 的值 符合上面条件,所以 210 m =± 21. 1.∵ , ∴, ∴, 又 , ∴,解得, 由,得, ∴ 的单调递减区间为 . 2.若函数在上无零点, 则在上或恒成立, 因为在区间上恒成立不可能, 故要使函数在上无零点,只要对任意的,恒成立, 即对,恒成立. 令,,则 , 再令, 则, 故在上为减函数,于是, 从而,于是在上为增函数, 所以, 故要使,恒成立,只要, 综上,若函数在上无零点,则的最小值为. 22.1. 4cos ρ?= 2. 1m =或3 23.1.当6m =时,12,3()4,3312,3x f x x x x ≥?? =-<?-≤-? , 当3x ≥时,128>,此时3x ≥; 当33x -<<时,()48f x x =≥,解得2x ≥,此时23x ≤<; 当3x ≤-时, 128-<,此时无解. 综上,不等式()8f x ≥的解集为[2,)+∞. 2.()222(2)2f x x m x m x m x m m =+--≤+--=, 若0n >,则221 22m n m m n +≥=, 所以21 ()f x m n n ≤+.