2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】.doc
2015 年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
1．（ 5 分）（ 2015?四川）设集合A={x| （ x+1 ）（ x﹣ 2）＜ 0} ，集合 B={x|1 ＜ x＜ 3} ，则 A ∪B= （）
A ． { x|﹣ 1＜ x＜ 3}
B ． { x|﹣ 1＜x＜ 1}C． { x|1＜ x＜ 2} D ． { x|2＜ x＜ 3}
考点：并集及其运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：求解不等式得出集合A={x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，
根据集合的并集可求解答案．
解答：解：∵集合 A={x| （x+1 ）（ x﹣2）＜ 0} ，集合 B={x|1 ＜ x＜ 3} ，
∴集合 A={x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，
∵A∪ B={x| ﹣ 1＜ x＜ 3} ，
故选： A
点评：本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．
2．（ 5 分）（ 2015?四川）设 i 是虚数单位，则复数i 3
﹣ =（）
A ．﹣ i
B ．﹣3i C． i D ． 3i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：
通分得出，利用 i 的性质运算即可．
解答：
解：∵ i 是虚数单位，则复数 i 3
﹣，
∴===i ，
故选； C
点评：本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．
3．（ 5 分）（ 2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）
A ．
B ．C．﹣ D ．
﹣
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当 k=5 时满足条件k＞ 4，计算并输出S 的值为．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
k=1
k=2
不满足条件k＞ 4， k=3
不满足条件k＞ 4， k=4
不满足条件k＞ 4， k=5
满足条件k＞ 4，S=sin=，
输出 S的值为．
故选： D．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
4．（ 5 分）（ 2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数
是（）
A ．
）B．
y=sin （2x+ ）
y=cos（ 2x+
C． y=sin2x+cos2x D ． y=sinx+cosx
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
解答：解：
y=cos （ 2x+ ）=﹣ sin2x ，是奇函数，函数的周期为： π，满足题意，所以 A 正确
y=sin （ 2x+
） =cos2x ，函数是偶函数，周期为：
π，不满足题意，所以 B 不正确；
y=sin2x+cos2x= sin （ 2x+ ），函数是非奇非偶函数，周期为
π，所以 C 不正确；
y=sinx+cosx= sin （x+
），函数是非奇非偶函数，周期为 2π，所以 D 不正确；
故选： A ．
点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能
力．
5．（ 5 分）（ 2015?四川）过双曲线 x 2﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的 两条渐近线于 A 、B 两点，则 |AB|= （
）
A ．
B ． 2
C ． 6
D ． 4
考点 ：双曲线的简单性质．
专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出双曲线的渐近线方程，求出 AB 的方程，得到 AB 坐标，即可求解 |AB| ．
解答：
解：双曲线 x 2
﹣
=1 的右焦点（ 2， 0），渐近线方程为 y= ，
过双曲线 x 2
﹣
=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线， x=2，
可得 y A =2
， y B =﹣ 2 ，
∴ |AB|=4 ． 故选： D ．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
6．（ 5 分）（ 2015?四川）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数， 其中比 40000 大的偶数共有（ ）
A ．144 个
B ．120 个
C ．96 个
D ．72 个
考点 ：排列、组合及简单计数问题． 专题 ：应用题；排列组合．
分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、 5 其中 1 个，末位数字为 0、 2、 4 中
其中 1 个；进而对首位数字分 2 种情况讨论， ① 首位数字为 5 时， ② 首位数字为
4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解答：解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是
4、5 其中 1 个，末位数字为 0、2、
4中其中 1个； 分两种情况讨论：
① 首位数字为 5 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余
的 3 个位置上，有 A 4 3
=24 种情况，此时有 3×24=72 个，
② 首位数字为 4 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余
的 3 个位置上，有 A 43
=24 种情况，此时有 2×24=48 个，共
有 72+48=120 个． 故选： B
点评：本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位
数字的特征，进而可得其可选的情况．
7．（ 5 分）（ 2015?四川）设四边形 ABCD 为平行四边形， | |=6， |
|=4，若点 M 、 N 满足
，
，则 =（
）
A ．20
B ．15
C ． 9
D ． 6
考点 ：平面向量数量积的运算． 专题 ：平面向量及应用．
分析：
根据图形得出 = + = ，
=
=
，
= ?（
） =
2﹣
，
结合向量结合向量的数量积求解即可．
解答：
解： ∵四边形 ABCD 为平行四边形，点 M 、N 满足
，
，
∴ 根据图形可得： = + =
，
=
=
，
∴ =
，
∵
= ?（
） =
2﹣
，
2=
2
2，
=
2
2
，
| |=6， |
|=4，
∴
=
2
2
=12﹣ 3=9
故选： C
点评：本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的
分解，表示．
8．（ 5 分）（ 2015?四川）设 a 、b 都是不等于 1 的正数，则 “3a ＞ 3b
＞3”是 “log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件 B ． 充分不必要条件
C ． 必要不充分条件
D ． 既不充分也不必要条件
考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题 ：简易逻辑．
分析：求解 3a ＞ 3b
＞ 3，得出 a ＞ b ＞ 1，
log a 3＜log b 3，
或
根据对数函数的性质求解即可，
再利用充分必要条件的定义判断即可．
解答：解： a 、b 都是不等于 1 的正数，
a
b
∵ 3 ＞3 ＞3， ∴ a ＞ b ＞1，
∵ log a 3＜ log b 3，
∴
，
即
＜ 0，
或
求解得出： a ＞ b ＞ 1 或 1＞ a ＞ b ＞ 0 或 b ＞ 1， 0＜ a ＜ 1
根据充分必要条件定义得出： “3a ＞ 3b
＞ 3”是 “log a 3＜ log b 3”的充分条不必要件， 故选： B ．
点评：本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关
键是分类讨论．
9．（ 5 分）（ 2015?四川）如果函数 f （x ） = 2
（ m ≥0，n ≥0）在区间 （m ﹣2） x +（n ﹣ 8）x+1 [ ] 上单调递减，那么 mn 的最大值为（
）
A ．16
B ．18
C ． 25
D ．
考点 ：基本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
专题 ：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
分析：
函数 f （ x ）=
（m ﹣ 2） x 2
+（n ﹣ 8）x+1（ m ≥0，n ≥0）在区间 [ ] 上单调递减，则
f ′（ x ）≤0，故（ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8≤0 在[
，2]上恒成立．而（ m ﹣ 2）x+n ﹣8 是一次函数，
在 [ ， 2] 上的图象是一条线段．故只须在两个端点处 f ′（ ） ≤0， f ′（ 2） ≤0 即可．结
合基本不等式求出 mn 的最大值．
解答： 解： ∵ 函数 f （ x ） = （ m ﹣ 2）x 2
+（ n ﹣ 8） x+1（ m ≥0， n ≥0）在区间 [ ] 上单调递
减，
∴ f ′（ x ）≤0，故（ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8≤0 在 [ ，2] 上恒成立．而（ m ﹣ 2） x+n ﹣ 8 是一次函数，在 [ ，2] 上的图象是一条线段． 故只须在两个端点处 f （′ ）≤0，f （′2）≤0 即可．即
由（ 2）得 m ≤ （ 12﹣ n ），
∴ mn ≤ n （ 12﹣n ） ≤
=18 ，当且仅当 m=3，n=6 时取得最大值，经
检验 m=3，n=6 满足（ 1）和（ 2）． 故选： B ．
解法二：
∵ 函数 f （x ） = （ m ﹣ 2） x 2
+（ n ﹣ 8）x+1 （ m ≥0， n ≥0）在区间 [
]上单调递减，
∴ ① m=2， n ＜8
对称轴 x= ﹣
，
②
即
③
即
设
或 或
设 y=，y′=，
当切点为（ x0， y0）， k 取最大值．
① ﹣=﹣ 2． k=2x，
∴y0 =﹣2x 0+12 ， y0==2x 0，可得 x0 =3， y0=6 ，
∵x=3＞ 2
∴k 的最大值为 3×6=18
② ﹣=﹣．，k=，
y0==，
2y 0+x 0﹣ 18=0，
解得： x0=9， y0=
∵x0＜ 2
∴ 不符合题意．
③ m=2， n=8， k=mn=16
综合得出： m=3， n=6 时 k 最大值 k=mn=18 ， 故选； B
点评：本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判
断，难度较大，属于难题．
10．（ 5 分）（2015?四川）设直线 l 与抛物线 y 2=4x 相交于 A 、B 两点，与圆（ x ﹣5）2+y 2=r 2
（r ＞0）相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围 是（
）
A ．（ 1，3）
B ．（1， 4）
C ．（2，3）
D ．（ 2，4）
考点 ：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．
专题 ：综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：先确定 M 的轨迹是直线
x=3，代入抛物线方程可得
y=±2 ，所以交点与圆心 （ 5，0）
的距离为 4，即可得出结论．
解答：解：设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， M （ x 0， y 0），
斜率存在时，设斜率为 k ，则 y 12=4x 1，y 22
=4x 2，
则
，相减，得（ y 1+y 2）（ y 1﹣ y 2）=4（ x 1﹣x 2），
当 l 的斜率存在时，利用点差法可得 ky 0=2 ，
因为直线与圆相切，所以 =﹣ ，所以 x 0=3，
即 M 的轨迹是直线 x=3 ．
2
2
，
将 x=3 代入 y =4x ，得 y =12， ∴
∵M 在圆上， ∴
， ∴ r 2=
，
∵ 直线 l 恰有 4 条， ∴y 0≠0， ∴4＜ r 2
＜ 16， 故 2＜ r ＜ 4 时，直线 l 有 2 条；
斜率不存在时，直线 l 有 2 条；
所以直线 l 恰有 4 条， 2＜ r ＜ 4，
故选： D ．
点评：本题考查直线与抛物线、 圆的位置关系， 考查点差法， 考查学生分析解决问题的能力，
属于中档题．
二、填空题：本大题共
5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．（5 分）（2015?四川）在（ 2x ﹣ 1）5 的展开式中，含 x 2
的项的系数是 ﹣40 （用数字
填写答案）．
考点 ：二项式定理的应用． 专题 ：二项式定理．
分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，整理成最简形式，令
x 的指数为 2 求得 r ，再代入系数求出结果．
解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
T r+1=
；
要求 x 2
的项的系数，
∴ 5﹣ r=2 ，
∴ r=3，
2
的项的系数是 2
3
3
∴ x 2 （﹣ 1） C 5 =﹣40． 故答案为：﹣ 40．
点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种
题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12．（ 5 分）（ 2015?四川） sin15°+sin75°的值是 ．
考点 ：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值． 专题 ：三角函数的求值．
分析：利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 解答：
（ sin15°cos45°+cos15°sin45°） = sin60 °= ．
解： sin15°+sin75°=sin15 °+cos15°=
故答案为：
．
点评：本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．
13．（ 5 分）（ 2015?四川）某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储藏温度 x （单位： ℃ ）满
足函数关系 y=e kx+b
（ e=2.718 为自然对数的底数， k 、b 为常数）．若该食品在 0℃ 的保鲜时 间是 192 小时，在 22℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33℃ 的保鲜时间是 24 小时． 考点 ：函数与方程的综合运用． 专题 ：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意可得， x=0 时， y=192 ； x=22 时， y=48 ．代入函数 y=e
kx+b
，解方程，可得 k ，
b ，再由 x=33 ，代入即可得到结论．
解答：解：由题意可得， x=0 时， y=192 ；x=22 时， y=48 ．
kx+b
代入函数 y=e ，
可得 e b =192， e 22k+b =48，
即有 e
11k
= ， e b =192 ，
则当 x=33 时， y=e
33k+b
= ×192=24．
故答案为： 24．
点评：本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．
14．（5 分）（ 2015?四川）如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上， E、F 分别为 AB 、 BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF 所成的
角为θ，则 cosθ的最大值为．
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间角；空间向量及应用．
分析：首先以 AB ， AD ， AQ 三直线为x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长
为 2，M（ 0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cosθ=
得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数
为减函数，从而求出cosθ的最大值．
解答：解：根据已知条件，AB ，AD ，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2 ，则：
A（0， 0， 0）， E（ 1， 0， 0），F（ 2，1， 0）；
M在线段 PQ 上，设 M （0， y， 2）， 0≤y≤2；
∴；
∴ cosθ==；
设 f（ y）=，；
函数 g（ y） =﹣ 2y﹣ 5 是一次函数，且为减函数，g（0） =﹣ 5＜0；
∴g（ y）＜ 0 在 [0，2] 恒成立，∴ f′（ y）＜ 0；
∴f（ y）在 [0， 2] 上单调递减；
∴ y=0 时， f（ y）取到最大值．
故答案为：．
点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数
导数符号和函数单调性的关系．
15．（ 5 分）（ 2015?四川）已知函数f（ x）=2 x， g（ x） =x 2+ax（其中 a∈R）．对于不相等的实数 x1、 x2，设 m= ，n= ．现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数x 、 x ，都有 m＞ 0；
1 2
②对于任意的 a 及任意不相等的实数x 1
、 x
2
，都有 n＞ 0；
③对于任意的 a，存在不相等的实数x1、 x2，使得 m=n；
④对于任意的 a，存在不相等的实数x 、 x ，使得 m=﹣ n．
1 2
其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：创新题型；开放型；函数的性质及应用．
分析：运用指数函数的单调性，即可判断① ；由二次函数的单调性，即可判断② ；
通过函数 h（ x）=x 2
+ax﹣ 2
x
，求出导数判断单调性，即可判断③ ；
通过函数 h（ x）=x 2
+ax+2
x
，求出导数判断单调性，即可判断④ ．
解答：解：对于①，由于 2＞ 1，由指数函数的单调性可得f（ x）在 R 上递增，即有 m＞ 0，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（ x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递
增，则 n＞ 0 不恒成立，
则②错误；
对于③，由 m=n，可得 f（ x1 2 1 2 2
﹣ 2x
，）﹣ f （ x ） =g（ x ）﹣ g（ x ），考查函数 h（ x）=x +ax
h′（ x） =2x+a﹣ 2x
ln2 ，当 a→﹣∞， h′（ x）小于 0， h（x）单调递减，则③ 错误；
对于④，由 m=﹣ n，可得 f（ x1 2
﹣ [g（ x 1 2
2 x ）﹣ f（ x ）= ）﹣ g（ x ） ] ，考查函数 h（ x）
，
=x +ax+2
h′（ x） =2x+a+2 x
ln2，对于任意的a， h′（ x）不恒大于0 或小于 0，则④正确．
故答案为：①④ ．
点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．
三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（ 12 分）（ 2015?四川）设数列且 a1， a2+1， a3成等差数列．（Ⅰ ）求数列 {a n} 的通项公式；
（Ⅱ ）记数列 {} 的前 n 项和为{a
n
} （ n=1 ，2， 3，）的前 n 项和 S
n
满足 S
n
=2a
n
﹣a
1
，T n，求使得 |T n﹣1|成立的n的最小值．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（ n≥2），再由已知 a1，a2+1 ，a3成等差数列求出数列首项，可得数列 {a n} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则其通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列 { } 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得 T n，结合
求解指数不等式得n 的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有
a n=S n﹣ S n﹣1=2a n﹣ 2a n﹣1（ n≥2），
即 a n=2a n﹣1（n≥2），
从而 a2=2a1， a3=2a2=4a1，
又∵ a1， a2+1， a3成等差数列，
∴ a1+4a1=2（2a1+1），解得： a1=2．
∴数列 {a n} 是首项为2，公比为 2 的等比数列．故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
∴．
由，得，即 2n
＞ 1000．
9 10
∵ 2 =512＜ 1000＜ 1024=2 ，
∴ n≥10．
于是，使 |T n﹣ 1| 成立的 n 的最小值为 10．
点评：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．（ 12 分）（ 2015?四川）某市 A 、 B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生， B 中学推荐了 3 名男生、 4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由
于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队．
（Ⅰ ）求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ ）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）求出 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；
（Ⅱ）求出 X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X 的分布列，然后求解数学期望．
解答：解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有 6 人，参赛学生全从 B 中抽出（等价于 A 中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为：1﹣=；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛， X 表示参赛的男生人数，
则 X 的可能取值为：1， 2， 3，
P（X=1 ）==，
P（X=2 ）==，
P（X=3 ）==．
X的分布列：
X 1 2 3
P
和数学期望 EX=1 ×=2．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．
18．（ 12 分）（ 2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如
图所示．在正方体中，设 BC 的中点为 M 、 GH 的中点为 N．
（Ⅰ ）请将字母 F、 G、H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ ）证明：直线 MN ∥平面 BDH ；（Ⅲ ）求二面角 A﹣ EG﹣ M 的余弦
值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；
（Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN ∥平面 BDH ；
（Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解．
法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．
解答：解：（Ⅰ） F、G、 H 的位置如图；
证明：（Ⅱ ）连接 BD ，设 O 是 BD 的中点，
∵BC 的中点为 M 、 GH 的中点为 N ，
∴ OM∥ CD， OM= CD，
HN ∥ CD ，HN=CD ，
∴OM ∥ HN ，OM=HN ，
即四边形 MNHO 是平行四边形，
∴MN ∥ OH，
∵MN? 平面 BDH ；OH? 面 BDH ，
∴直线 MN ∥平面 BDH ；
（Ⅲ）方法一：
连接 AC，过 M 作 MH⊥AC 于 P，
则正方体 ABCD ﹣ EFGH 中， AC ∥ EG，
∴MP⊥EG ，
过 P 作 PK⊥EG 于 K，连接 KM ，
∴EG⊥平面 PKM
则 KM ⊥EG，
则∠ PKM 是二面角 A ﹣ EG﹣ M 的平面角，
设 AD=2 ，则 CM=1 ， PK=2 ，
在 Rt△CMP 中， PM=CMsin45 °=，
在 Rt△PKM 中， KM==，
∴ cos∠ PKM=，
即二面角 A ﹣EG﹣ M 的余弦值为．
方法二：以 D 为坐标原点，
分别为 DA ， DC ， DH 方向为 x， y，z 轴建立空间坐标系如图：
设 AD=2 ，则 M （ 1， 2， 0），G（ 0， 2， 2）， E（ 2， 0， 2）， O（ 1， 1， 0），
则=（ 2，﹣ 2， 0），，
设平面 EGM 的法向量为=（ x， y， z），
则，即，令x=2，得=（ 2， 2， 1），
在正方体中，DO⊥平面 AEGC ，
则==（ 1， 1，0）是平面AEG 的一个法向量，
则 cos＜＞====．
二面角 A ﹣ EG﹣ M 的余弦值为．
点评：本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力．
19．（ 12 分）（ 2015?四川）如图， A 、 B 、C、 D 为平面四边形ABCD 的四个内角．
（Ⅰ ）证明： tan；
（Ⅱ ）若 A+C=180 °， AB=6 ， BC=3 ， CD=4 ， AD=5 ，求 tan +tan +tan +tan的值．
考三角函数恒等式的证明．
点：
专三角函数的图像与性质；解三角形．
题：
分（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．
析：（Ⅱ）通过 A+C=180 °，得 C=180°﹣A ，D=180 °﹣B ，利用（Ⅰ）化简
tan +tan +tan +tan = ，连结 BD ，在△ ABD 中，利用余弦定理求出sinA ，
连结 AC ，求出 sinB ，然后求解即可．
解
答：
= ．等式成立．
证明：（Ⅰ） tan ==
（Ⅱ）由 A+C=180 °，得 C=180°﹣A ， D=180 °﹣ B，由（Ⅰ）可知：
tan +tan +tan +tan =
=，
连结 BD ，在△ ABD 中，有 BD 2
=AB
2
+AD
2
﹣2AB ?ADcosA ，AB=6 ，BC=3 ，CD=4 ，AD=5 ，
2 2 2
，在△ BCD 中，有 BD =BC +CD ﹣ 2BC?CDcosC
所以 AB 2
+AD
2
﹣ 2AB ?ADcosA=BC
2
+CD
2
﹣ 2BC?CDcosC ，
则： cosA= = = ．
于是 sinA= = ，
连结 AC ，同理可得： cosB= = = ，于是 sinB= = ．
所以 tan +tan +tan +tan = = = ．
点本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的评：思想，转化与化归思想的应用．
20．（13 分）（ 2015?四川）如图，椭圆 E：的离心率是，过点P
（0， 1）的动直线l 与椭圆相交于 A 、B 两点，当直线l 平行于 x 轴时，直线l 被椭圆 E 截得的线段长为2．
（Ⅰ ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（Ⅰ）通过直线 l 平行于 x 轴时被椭圆 E 截得的线段长为 2 及离心率是，计算即得结论；
（Ⅱ）通过直线 l 与则 Q 点坐标只能是（x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点 Q 满足条件，0， 2）．然后分直线 l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达
定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可．
解答：解：（Ⅰ）∵直线 l 平行于 x 轴时，直线l 被椭圆 E 截得的线段长为2，∴点（，1）在椭圆E 上，
又∵离心率是，
∴，解得 a=2， b=，
∴椭圆 E 的方程为：+=1；
（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点Q（ 0， 2），使得恒成立．
理由如下：
当直线 l 与 x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C、 D 两点，
如果存在定点Q 满足条件，则有==1，即 |QC|=|QD|．
∴ Q 点在直线y 轴上，可设Q（ 0，y0）．
当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M 、 N 两点，则
M 、 N 的坐标分别为（ 0，）、（ 0，﹣），
又∵=，∴=，解得y0=1或y0=2．
∴若存在不同于点P 的定点 Q 满足条件，则Q 点坐标只能是（0， 2）．下面证明：对任意直线l ，均有．
当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线 l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y=kx+1 ，
A、B 的坐标分别为 A （x1， y1）、B （ x2， y2），
联立，消去 y 并整理得：（ 1+2k 2
） x
2
+4kx ﹣ 2=0 ，
∵ △ =（ 4k）2
+8 （1+2k
2
）＞ 0，
∴ x1+x 2=﹣， x1x2=﹣，
∴ + = =2k ，
已知点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为（﹣ x2， y2），
又 k AQ = = =k ﹣， k = = =﹣ k+ =k ﹣，
QB′
∴ k AQ=k QB′，即 Q、 A、 B′三点共线，
∴===．
故存在与点P 不同的定点Q（0， 2），使得恒成立．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类
与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（ 14 分）（ 2015?四川）已知函数 f（ x）=﹣ 2（ x+a） lnx+x 2
﹣ 2ax﹣ 2a
2
+a，其中 a＞
0．（Ⅰ ）设 g（ x）是 f（ x）的导函数，讨论 g（ x）的单调性；
（Ⅱ ）证明：存在 a∈（ 0， 1），使得 f（ x）≥0 在区间（ 1， +∞）内恒成立，且 f （x） =0 在区间（ 1，+∞）内有唯一解．
考利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
点：
专创新题型；导数的综合应用．
题：
分（Ⅰ）求出函数 f（ x）的定义域，把函数 f （ x）求导得到 g（ x）再对 g（ x）求导，得析：到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（ x）的单调期间；
（Ⅱ）由 f （ x）的导函数等于0 把 a 用含有 x 的代数式表示，然后构造函数φ（x）
=
2
x
，由函数零点存在定理得到x0∈（ 1， e），使得φ
（ x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，
1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若 x∈（ 1，+∞），有 f （ x）≥0，即可得到存在
a∈（ 0， 1），使得 f （x）≥0 在区间（ 1， +∞）内恒成立，且 f （ x）=0 在区间（ 1， +∞）内有唯一解．
解解：（Ⅰ ）由已知，函数f（x）的定义域为（0， +∞），
答：
g（ x）= ，
∴．
当 0＜a＜时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；
当 a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由=0，解得，令φ（ x）
2
= x
，
则φ（ 1）=1 ＞ 0，φ（ e）=．
故存在 x0∈（ 1，e），使得φ（x0） =0．
令， u（ x）=x ﹣ 1﹣ lnx （x≥1），
由知，函数 u（x）在（ 1， +∞）上单调递增．
∴．
即 a0∈（ 0， 1），
当 a=a0时，有 f′（x0） =0，f （x0） =φ（ x0）
=0．由（Ⅰ）知， f ′（ x）在（ 1， +∞）上单调递
增，
故当 x∈（ 1， x0）时， f′（x）＜ 0，从而 f（ x）＞ f（ x0） =0；
当 x∈（ x0， +∞）时， f ′（ x）＞ 0，从而 f （x）＞ f（ x0）
=0 ．∴当 x∈（ 1，+∞）时， f （ x）≥0．
综上所述，存在 a∈（ 0，1），使得 f （x）≥0 在区间（ 1，+∞）内恒成立，且 f（ x）=0 在区间（ 1， +∞）内有唯一解．
点本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理
(完整word版)高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
高考真题理科数学解析版
理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用
哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右
2015年四川省高考数学试题及标准答案(文科)【解析版】
２０1５年四川省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共５0分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)（２015?四川）设集合A={x|﹣１ 2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ） （A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 （2）【2015年山东，理2】若复数z 满足 i 1i z =-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ （3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3 y x π =-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ） （A ）向左平移 12π 个单位（B ）向右平移 12 π 个单位（C ）向左平移 3π个单位（D ）向右平移3 π 个单位 （4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o ，则BD ?????? ·CD ????? =（ ） （A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）23 2 a （5）【2015年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ） （A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5) （6）【2015年山东，理6】已知,x y 满足约束条件0 20x y x y y -≥?? +≤??≥? 若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2 ABC π ∠= ，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53 π （D ）2π （8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件， 其长度误差落在区间()3,6内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则 ()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=） （A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% （9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线 所在的直线的斜率为（ ） （A ）53-或35 - （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或3 4- （10）【2015年山东，理10】设函数31,1, ()2, 1.x x x f x x - 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 4 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ）A．08 B．07 C．02 D．01 5．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示) 2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】 2015年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|（x+1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ） A ． {x|﹣1＜x ＜3} B ． {x|﹣1＜x ＜1} C ． {x|1＜x ＜2} D ． {x|2＜x ＜3} 考点： 并集及其运算． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x ＜2}， 根据集合的并集可求解答案． 点评： 本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题． 3．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ） A ． ﹣ B ． C ． ﹣ D ． 考点： 程序框图． 专题 图表型；算法和程序框图． ： 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S 的值为． 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件k ＞4，k=3 不满足条件k ＞4，k=4 不满足条件k ＞4，k=5 满足条件k ＞4，S=sin =， 输出S 的值为． 故选：D ． 点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 4．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ． y=cos （2x+） B ． y=sin （2x+） C y=sin2x+cos2x D y=sinx+cosx 2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3. 2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =， c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是 历年全国卷高考数学真 题大全解析版 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 2016年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6 2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（） A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4 3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（） A．24 B．48 C．60 D．72 5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年 6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（） A．9 B．18 C．20 D．35 7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足， 则p是q的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1 9．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处 的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞） 10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==， 2015年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）（2015?山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4） 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集． 解答：解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}， 则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）． 故选：C． 点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力． 2．（5分）（2015?山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 解答： 解：=i，则=i（1﹣i）=1+i， 可得z=1﹣i． 故选：A． 点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（） A． 向左平移单位B． 向右平移单位 C． 向左平移单位D． 向右平移单位 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 解答： 解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]， 要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位． 故选：B． 点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点． 4．（5分）（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A． ﹣a2B． ﹣a2 C． a2 D． a2 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析： 由已知可求，，根据=（）?=代入可求解答：解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°， ∴=a2，=a×a×cos60°=， 则=（）?== 故选：D 点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 5．（5分）（2015?山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（） A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4）D．（1，5） 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 解答：解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1； ②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4； ③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈?． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选A． 点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题． 6．（5分）（2015?山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则 a=（） A．3B．2C．﹣2 D．﹣3 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设z=1-i 1+i +2i ，则|z|= A ．0 B ．1 2 C ．1 D ． 2 解析：选C z=1-i 1+i +2i=-i+2i=i 2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则?R A = A ．{x|-1 2015年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）设集合A={x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x |1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3} B ．{x |﹣1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 2．（5分）设i 是虚数单位，则复数 i 3﹣2i =（ ） A ．﹣i B ．﹣3i C ．i D ．3i 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ） A ．﹣√32 B ．√32 C ．﹣12 D ．12 4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．y=cos （2x +π2） B ．y=sin （2x +π2 ） C ．y=sin2x +cos2x D ．y=sinx +cosx 5．（5分）过双曲线x 2﹣y 23 =1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |=（ ） A ．4√33 B ．2√3 C ．6 D ．4√3 6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（5分）设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=6，|AD →|=4，若点M 、N 满足 BM →=3MC →，DN →=2NC →，则AM →?NM → =（ ） A ．20 B ．15 C ．9 D ．6 8．（5分）设a 、b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 9．（5分）如果函数f （x ）=12 （m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[12 ，2]上单调递减，那么mn 的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．25 D ．812 10．（5分）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）在（2x ﹣1）5的展开式中，含x 2的项的系数是 （用数字填写答案）． 12．（5分）sin15°+sin75°的值是 ． 13．（5分）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系y=e kx +b （e=2.718…为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时． 14．（5分）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ． 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 第Ⅰ卷（共50分） 一、 填空题 1. 已知集合}{ 2 430A x x x =-+<，}{ 24B x x =<<，则A B ?= A. ()1,3 B. ()1,4 C. ()2,3 D. ()2,4 2. 若复数z 满足 1z i i =-，其中i 是虚数单位，则z = A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+ 3. 要得到函数sin(4)3 y x π =- 的图象，只需将函数sin 4y x =的图象 A. 向左平移 12π个单位 B. 向右平移12π 个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3 π 个单位 4. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD = 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 山东省春季高考数学试卷 一、选择题 1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则?U M等于（） A．?B．{1}C．{2}D．{1，2} 2．函数的定义域是（） A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（） A．y=x B．y=1 C．D．y=|x| 4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（） A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+3 5．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（） A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32 6．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D． 7．“p∨q为真”是“p为真”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（） A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6 9．下列说法正确的是（） A．经过三点有且只有一个平面 B．经过两条直线有且只有一个平面 第1页（共25页） C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（） A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0 11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（） A．72 B．120 C．144 D．288 12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D． 13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 14．如果，，那么等于（） A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18 15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D． 16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（）A．B．C．D． 17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（） A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15 第2页（共25页） 数学试卷 第1页（共15页） 数学试卷 第2页（共15页） 数学试卷 第3页（共15页） 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文科） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ） A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<< C ．{|12}x x << D ．{|23}x x << 2．设向量a ()2,4=与向量b (),6x =共线，则实数x = （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．系统抽样法 C ．分层抽样法 D ．随机数法 4．设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是 （ ） A ．sin(2)2 π y x =+ B ．π cos(2)2 y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+ D ．sin cos y x x =+ 6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 （ ） A ．2 - B ． 2 C ．12- D ． 12 7．过双曲线2 213 y x - =的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则||=AB （ ） A ．3 B ． C ．6 D ． 8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃） 满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保 鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 （ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时 9．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +?? +??+? ≤， ≤，≥，则xy 的最大值为 （ ） A ．25 2 B ．492 C ．12 D ．16 10．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点， 与圆222 (5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 （ ） A ．(1,3) B ．(1,4) C ．(2,3) D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项: 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 第Ⅱ卷共11小题. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．设i 是虚数单位，则复数1 i i -＝__________. 12．2lg0.01log 16+的值是___________. 13．已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是___________. 14．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形， 俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ， 11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是__________. 15．已知函数()2x f x =，2 ()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设 1212()()f x f x m x x -= -，1212 ()() g x g x n x x -=-，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >； ②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 设数列{}n a (1,2,3,)n =???的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数 列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1 { }n a 的前n 项和为n T ，求n T . 17．（本小题满分12分） 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的-------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________2015年高考山东理科数学试题及答案解析
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