1.1SQL注入漏洞原理及测试方法

7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---

算法设计背包问题

算法实验报告 ---背包问题 实验目的 1．掌握动态规划算法的基本思想，包括最优子结构性质和基于表格的最优 值计算方法。 2．熟练掌握分阶段的和递推的最优子结构分析方法。 3．学会利用动态规划算法解决实际问题。 问题描述： 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是wi，体积是bi，其价值为vi， 背包的容量为c，容积为d。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中 物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品只有两个选择：装入 或不装入，且不能重复装入。输入数据的第一行分别为：背包的容量c，背包的 容积d，物品的个数n。接下来的n行表示n个物品的重量、体积和价值。输出 为最大的总价值。 问题分析: 标准0-1背包问题，MaxV表示前i个物品装入容量为j的背包中时所能产生的最大价值，结构体objec表示每一个可装入物品，其中w表示物品的重量，v表示物品的价值。如果某物品超过了背包的容量，则该物品一定不能放入背包，问题就变成了剩余i-1个物品装入容量为j的背包中所能产生的最大价值；如果该物品能装入背包，问题就变成i-1个物品装入容量为j-objec[i].w的背包所能产生的最大价值加上物品i的价值objec[i].v. 复杂性分析 时间复杂度，最好情况下为0，最坏情况下为：（abc） 源程序 #include #include #include #include #include int V [200][200][200]; int max(int a,int b) {

01背包问题动态规划详解

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。 比如01背包问题。 因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。 测试数据： 10,3 3,4 4,5 5,6 c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值. 这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为 4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。 总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.) 从以上最大价值的构造过程中可以看出。 f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?

下面是实际程序: #include int c[10][100]; int knapsack(int m,int n) { int i,j,w[10],p[10]; for(i=1;ic[i-1][j]) c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]]; else c[i][j]=c[i-1][j]; }

容斥原理的极值问题

容斥原理的极值问题文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

有关容斥原理的极值问题 所谓“极值问题”就是通常说的最大值，最小值的问题，题干中通常有“至少”，“至多”等题眼，解决这类问题通常有两种方法，一是极限思想，另一种就是逆向思维。 通过以下几个例题具体看一下： 1. 某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，至少有几个4个活动都参加 解析: 逆向思维，分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少，由题意可知，分别为11,16,8,6，只有当这四项集合互相没有交集的时候，四项活动都喜欢的人数才最少，因此最少人数为46-11-16-8-6=5 2. 参加某部门招聘考试的共有120人，考试内容共有6道题。1至6道题分别有86人，88人，92人，76人，72人和70人答对，如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试，那么至少有多少人能通过考试 解析（极限思想）：要使通过的人最少，那么就是对1道，2道的人最多，并且应该是对2道的人最多（这样消耗的总题目数最多），假设都只对了2道，那120人总共对了240道，而现在对了86+88+92+76+72+70=484，比240多了244道，每个人还可以多4道（这样总人数最少）,244/4=61。(逆向思维)：先算出来1-6题每题错的人数120-86=34 120-88=32 120- 92=28 120-76=44 120-72=48 120-70=50 要使通过的人数最少，就是没通过的人数最多，让错的人都只错4道就错的人最多，总的错的题数为 34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61

容斥原理问题

容斥原理问题——基础学习 一、解答题

2、两个集合容斥原理例1：四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（） A．13 B．22 C．33 D．41 【答案】B 【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世界》的人}，那么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则，B= A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。 【结束】 3、两个集合容斥原理例2：五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？（） A． 30 B．35 C．57 D．65 【答案】A

【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理得到，语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。 【结束】 4、两个集合容斥原理例3：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41 【答案】C 【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B ={文艺组的人}，A∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。 【结束】 5、两个集合容斥原理例4：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一道题的同学有25+23-15=33人，因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。 【结束】

算法分析与复杂性理论 实验报告 背包问题

深圳大学实验报告课程名称：算法分析与复杂性理论 实验名称：实验四动态规划 学院：计算机与软件学院专业：软件工程 报告人：文成学号：2150230509班级：学术型 同组人：无 指导教师：杨烜 实验时间：2015/11/5——2015/11/18 实验报告提交时间：2015/11/18 教务处制

一． 实验目的与实验内容 实验目的： （1） 掌握动态规划算法设计思想。 （2） 掌握背包问题的动态规划解法。 实验内容： 1.编写背包问题的动态规划求解代码。 2．背包容量为W ，物品个数为n ，随机产生n 个物品的体积（物品的体积不可大于W ）与价值，求解该实例的最优解。 3. 分别针对以下情况求解 第一组：（n=10,W=10），（n=10,W=20），（n=10,W=30） 第二组：（n=20,W=10），（n=20,W=20），（n=20,W=30） 第三组：（n=30,W=10），（n=30,W=20），（n=30,W=30） 4. 画出三组实验的时间效率的折线图，其中x 轴是W 的值，y 轴是所花费的时间，用不同的颜色表示不同n 所花费的时间。 二．实验步骤与结果 背包问题的问题描述： 给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是 i w ， 其价值为i v ， 背包容量为C 。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 背包问题的算法思想： 考虑一个由前i 个物品（1<=i<=n ）定义的实例，物品的重量分别为w1，…，w2、价值分别为v1，…，vi ，背包的承重量为j （1<=j<=w ）。设v[i,j]为该实例的最优解的物品总价值，也就是说，是能够放进承重量为j 的背包中的前i 个物品中最有价值子集的总价值。可以把前i 个物品中能够放进承重量为j 的背包中的子集分成两个类别：包括第i 个物品的子集和不包括第i 个物品的子集。 1. 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V[i-1,j]。 2. 在包括第i 个物品的子集中（因此，j-wi>=0），最优子集是由该物品和前i-1个物品中能够放进承重量为j-wi 的背包的最优子集组成。这种最优子集的总价值等于vi+V[i-1,j-wi]。 因此，在前i 个物品中最优解得总价值等于这两个价值中的最大值。当然，如果第i 个物品不能放进背包，从前i 个物品中选出的最优子集的总价值等于从前i-1个物品中选出的最优子集的总价值。这个结果导致了下面的这个递推关系式： 初始条件：

分支界限法解0-1背包问题实验报告

实验5 分支界限法解0-1背包问题 一、实验要求 1．要求用分支界限法求解0-1背包问题； 2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组； 3．要求显示结果。 二、实验仪器和软件平台 仪器：带usb接口微机 软件平台：WIN-XP + VC++6.0 三、源程序 #include "stdafx.h" #include #include #include #include using namespace std; int *x; struct node //结点表结点数据结构 { node *parent;//父结点指针 node *next; //后继结点指针 int level;//结点的层 int bag;//节点的解 int cw;//当前背包装载量 int cp;//当前背包价值 float ub; //结点的上界值 }; //类Knap中的数据记录解空间树中的结点信息，以减少参数传递及递归调用所需的栈空间class Knap { private: struct node *front, //队列队首 *bestp,*first; //解结点、根结点 int *p,*w,n,c,*M;//背包价值、重量、物品数、背包容量、记录大小顺序关系long lbestp;//背包容量最优解 public: void Sort(); Knap(int *pp,int *ww,int cc,int nn);

~Knap(); float Bound(int i,int cw,int cp);//计算上界限 node *nnoder(node *pa,int ba,float uub);//生成一个结点ba=1生成左节点ba=0生成右节点 void addnode(node *nod);//向队列中添加活结点 void deletenode(node *nod);//将结点从队列中删除 struct node *nextnode(); //取下一个节点 void display(); //输出结果 void solvebag(); //背包问题求解 }; //按物品单位重量的价值排序 void Knap::Sort() { int i,j,k,kkl; float minl; for(i=1;i

人工智能之遗传算法求解01背包问题实验报告

人工智能之遗传算法求解0/1背包问题实验报告 Pb03000982 王皓棉 一、问题描述： 背包问题是著名的ＮＰ完备类困难问题, 在网络资源分配中有着广泛的应用，已经有很多人运用了各种不同的传统优化算法来解决这一问题，这些方法在求解较大规模的背包问题时,都存在着计算量大,迭代时间长的弱点。而将遗传算法应用到背包问题的求解，则克服了传统优化方法的缺点,遗传算法是借助了大自然的演化过程,是多线索而非单线索的全局优化方法,采用的是种群和随机搜索机制。 遗传算法（GA）是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机化的搜索算法，由美国J.Holland教授提出，其主要特点是群体搜索策略、群体中个体之间的信息交换和搜索不依赖于梯度信息。因此它尤其适用于处理传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，可广泛应用于组合优化，机器学习，自适应控制，规划设计和人工生命领域。 GA是一种群体型操作，该操作以群体中的所有个体为对象。选择，交叉和变异是遗传算法的三个主要算子，他们构成了遗传算法的主要操作，使遗传算法具有了其它传统方法所没有的特性。遗传算法中包含了如下五个基本要素：1 .参数编码,2.初始群体的设置,3.适应度函数的设计, 4.遗传操作设计,5.控制参数设定,这个五个要素构成可遗传算法的核心内容。 遗传算法的搜索能力是由选择算子和交叉算子决定,变异算子则保证了算法能够搜索到问题空间的每一个点,从而使其具有搜索全局最优的能力.而遗传算法的高效性和强壮性可由Holland提出的模式定理和隐式并行性得以解释。 二、实验目的： 通过本实验，可以深入理解遗传算法，以及遗传算法对解决NP问题的作用。 三、算法设计： 1、确定种群规模M、惩罚系数 、杂交概率c p、变异概率m P、染色体长度n及最大 max. 进化代数gen x=1表 2、采用二进制n维解矢量X作为解空间参数的遗传编码，串T的长度等于n， i x=0表示不装入背包。例如X={0，1，0，1，0，0，1}表示第2，4，7示该物件装入背包， i 这三个物件被选入包中。

分支界限法解0-1背包问题实验报告

实验5 分支界限法解0-1背包问题一、实验要求 1．要求用分支界限法求解0-1背包问题； 2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组； 3．要求显示结果。 二、实验仪器和软件平台 仪器：带usb接口微机 软件平台：WIN-XP + VC++ 三、源程序 #include "" #include #include #include<> #include using namespace std; int *x; struct node //结点表结点数据结构 { node *parent;//父结点指针 node *next; //后继结点指针 int level;//结点的层 int bag;//节点的解 int cw;//当前背包装载量 int cp;//当前背包价值

float ub; //结点的上界值 }; //类Knap中的数据记录解空间树中的结点信息，以减少参数传递及递归调用所需的栈空间class Knap { private: struct node *front, //队列队首 *bestp,*first; //解结点、根结点 int *p,*w,n,c,*M;//背包价值、重量、物品数、背包容量、记录大小顺序关系 long lbestp;//背包容量最优解 public: void Sort(); Knap(int *pp,int *ww,int cc,int nn); ~Knap(); float Bound(int i,int cw,int cp);//计算上界限 node *nnoder(node *pa,int ba,float uub);//生成一个结点 ba=1生成左节点 ba=0生成右节点 void addnode(node *nod);//向队列中添加活结点 void deletenode(node *nod);//将结点从队列中删除 struct node *nextnode(); //取下一个节点 void display(); //输出结果 void solvebag(); //背包问题求解 }; //按物品单位重量的价值排序 void Knap::Sort() {

行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题

行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题 中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人? 中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即： 101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。 三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。 三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有 A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C 这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没

了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人? 中公教育解析：由题意可画图如下： 则有上述公式可知： 58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人 故喜欢篮球和排球的人有22人。 例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人，还有5人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?

01背包实验报告

算法设计与分析实验报告实验二 0-1背包 院系： 班级： 学号： 姓名： 任课教师： 成绩： 年月

实验二 0-1背包 一. 实验内容 分别用编程实现动态规划算法和贪心法求0-1背包问题的最优解，分析比较两种算法的时间复杂度并验证分析结果 二．实验目的 1、掌握动态规划算法和贪心法解决问题的一般步骤，学会使用动态规划和贪心法解决实际问题； 2、理解动态规划算法和贪心法的异同及各自的适用范围。 三. 算法描述 1、动态规划法 01背包问题的状态转换公式为： （1） V(i, 0)= V(0, j)=0 （2） 公式表明：把前面i 个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j 的背包，得到的价值均为0。如果第i 个物品的重量大于背包的容量，则装入前i 个物品得到的最大价值和装入前i -1个物品得到的最大价值是相同的，即物品i 不能装入背包；如果第i 个物品的重量小于背包的容量，则会有以下两种情况： （1）如果把第i 个物品装入背包，则背包中物品的价值等于把前i -1个物品装入容量为j -wi 的背包中的价值加上第i 个物品的价值vi ； （2）如果第i 个物品没有装入背包，则背包中物品的价值就等于把前i -1个物品装入容量为j 的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值较大者作为把前i 个物品装入容量为j 的背包中的最优解。 2、贪心法 背包问题至少有三种看似合理的贪心策略： （1）选择重量最轻的物品，因为这可以装入尽可能多的物品，从而增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择使背包的容量消耗得慢了，但背包的价值却没能保证迅速增长，从而不能保证目标函数达到最大。 （2）选择价值最大的物品，因为这可以尽可能快地增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择获得了背包价值的极大增长，但背包容量却可能消耗得太快，使得装入背包的物品个数减少，从而不能保证目标函数达到最大。 （3）选择单位重量价值最大的物品，在背包价值增长和背包容量消耗两者 ?? ?>+---<-=i i i i w j v w j i V j i V w j j i V j i V }),1(),,1(max{) ,1(),(

容斥原理之最值问题

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1 A B

回溯法解0 1背包问题实验报告

实验4 回溯法解0-1背包问题 一、实验要求 1．要求用回溯法求解0-1背包问题； 要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组；2．要求显示结果。3． 二、实验仪器和软件平台 仪器：带usb接口微机 软件平台：WIN-XP + VC++ 三、实验源码 #include \ #include #include #include<> #include using namespace std; template class Knap { public: friend void Init(); friend void Knapsack(); friend void Backtrack(int i); friend float Bound(int i); bool operator<(Knap a)const { if(fl< return true; else return false; } private: ty w; ; cout<>bag[i].v; for(i=0;i

{ bag[i].flag=0; bag[i].kk=i; bag[i].fl=*bag[i].v/bag[i].w; } }void Backtrack(int i){cw+=bag[i].w;if(i>=n) <=c) lag=1; cp+=bag[i].v; Backtrack(i+1); cw-=bag[i].w; cp-=bag[i].v; } if(Bound(i+1)>bestp)lag=0; Backtrack(i+1); }}<=cleft){; b+=bag[i].v; i++; } /bag[i].w * cleft; return b; } void Knapsack() k]=bag[k].flag; lag*bag[k].v; //价值累加 } cout<

容斥原理之最值问题

7-7-5.容斥原理之最值问题 教学目标 1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积． 1．先包含——A+B 重叠部分A I B计算了2次，多加了1次； 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：

背包问题 实验报告

实验报告 课程名称：算法设计与分析实验名称：解0-1背包问题任课教师：王锦彪专业：计算机应用技术班级: 2011 学号： 112015 姓名：严焱心完成日期： 2011年11月

一、实验目的： 掌握动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对上述方法的理解。 二、实验内容及要求： 1． 要求分别用动态规划、贪心算法、回溯法和分支限界法求解0-1背包问题； 2． 要求显示结果。 三、实验环境和工具： 操作系统：Windows7 开发工具：Eclipse3.7.1 jdk6 开发语言：Java 四、实验问题描述： 0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数C ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过C 且总价值尽量大。 动态规划算法描述:根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数： ?????≤≤∈≤∑∑==)1}(1,0{C max 1 1 n i x x w x v i n i i i n i i i

寻找一个满足约束条件，并使目标函数式达到最大的解向量 ) ,......,,,(321n x x x x X =，使得C 1 ∑=≤n i i i x w ，而且∑=n i i i x v 1 达到最大。 0-1背包问题具有最优子结构性质。假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解： ∑∑==?????≤≤∈-≤n i i i i n i i i x v n i x x w x w 2 2 1 1max )2}(1,0{C 。 如果不是的话，设) ,......,,(32 n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i n i i i i i x v y v 2 2 ，且∑=≤+ n i i i y w x w 2 1 1C 。 因此，∑∑∑==== + >+n i i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1 2 2 1111， 这说明) ,........,,,(32 1 n y y y x 是所给 的0-1背包问题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。 按照上面的情况，可以得到递推公式：设最优值为m(i,j)。 ?? ?+-+++=}),1(),,1(max{) ,1(),(i i v w j i m j i m j i m j i m i i w w ≥<≤j j 0 ?? ?=n v j n m 0),(i i w w ≥<≤j j 0 贪心算法描述:计算每种物品单位重量的价值；将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包；如果单位重量价值最高的物品全部装入背包后，背包的总重量小于c ，则选择单位重量次高的物品并尽可能多的装入背包；依次进行下去，直到背包装满为止。 回溯算法描述：回溯法从根结点出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。开始结点成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩

实验报告 分支限界法01背包

《算法设计与分析》实验报告六 学号： 1004091130 姓名：金玉琦 日期：2011-11-17得分： 一、实验内容： 运用分支限界法解决0-1背包问题。 二、所用算法的基本思想及复杂度分析： 分支限界法 分支限界法按广度优先策略遍历问题的解空间树, 在遍历过程中, 对已经处理的每一个结点根据限界函数估算目标函数的可能取值, 从中选取使目标函数取得极值的结点优先进行广度优先搜索, 从而不断调整搜索方向, 尽快找到问题的解。因为限界函数常常是基于问题的目标函数而确定的, 所以, 分支限界法适用于求解最优化问题。 0-1背包问题 1）基本思想 给定n 种物品和一个容量为C 的背包, 物品i 的重量是W i, 其价值为V i, 0/ 1 背包问题是如何选择装入背包的物品(物品不可分割) , 使得装入背包中物品的总价值最大，一般情况下, 解空间树中第i 层的每个结点, 都代表了对物品1～i 做出的某种特定选择, 这个特定选择由从根结点到该结点的路径唯一确定: 左分支表示装入物品, 右分支表示不装入物品。对于第i 层的某个结点, 假设背包中已装入物品的重量是w, 获得的价值是v, 计算该结点的目标函数上界的一个简单方法是把已经装入背包中的物品取得的价值v, 加上背包剩余容量W - w 与剩下物品的最大单位重量价值vi + 1/ wi + 1的积,于是,得到限界函数: u b = v + ( W - w) × ( vi + 1/ wi + 1 ) 根据限界函数确定目标函数的界[ down , up]，然后, 按照广度优先策略遍历问题的空间树。 2）复杂度分析 时间复杂度是O(2n); 三、源程序及注释： #include #include #include #include using namespace std; int *x; struct node { //结点表结点数据结构

容斥原理之三者容斥问题

容斥原理之三者容斥问题 浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题 中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人? 中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。 三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。 三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有 A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C 这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。 例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人?

0-1背包问题实验报告

0-1背包问题实验报告 一?问题描述 4?给定n种物品和一个背包。物品i的重量是w[i],其价值为v[i],背包容量为Co 问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。 2在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。 不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品io 问题规模 1.物品数目：n=50, 2.背包容量：c=1000, 3.每个物品重量分别为： {220,208,198,192,180,180,165,162,160,158, 155,130,125,122,120,118,115,110,105,101, 100,100,98,96,95,90,88,82,80,77, 75,73,70,69,66,65,63,60,58,56, 50,30,20,15,10,8,5,3,1,1} 4.每个物品价值分别为： {80,82,85,70,72,70,66,50,55,25, 50,55,40,48,50,32,22,60,30,32, 40,38,35,32,25,28,30,22,50,30,

45,30,60,50,20,65,20,25,30,10, 20,25,15,10,10,10,4,4,2,1} 三. 实验方法 本次实验将分别通过动态规划法，贪心算法，回溯法及分支界限法四种方法解决0-1背包问题。 四. 算法分析 I ?动态规划法 (1)?对动态规划的0-1背包问题，在给定c>0,w i>0, v i>0, 1<=i<=n,要求找出一个n 元0-1 向量(x1,x2,...)xn 1},1 < i；使得 x i{0, wx ■ I i 1 n i而且max v ix io

实验报告：动态规划---0-1背包问题)

XXXX大学计算机学院实验报告计算机学院2017级软件工程专业 5 班指导教师 学号姓名2019年10 月21 日成绩

实验内容、上机调试程序、程序运行结果 System.out.println("选中的物品是第"); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=maxweight;j++){ //当前最大价值等于放前一件的最大价值 maxvalue[i][j] = maxvalue[i-1][j]; //如果当前物品的重量小于总重量，可以放进去或者拿出别的东西再放进去 if(weight[i-1] <= j){ //比较（不放这个物品的价值）和（这个物品的价值放进去加上当前能放的总重量减去当前物品重量时取i-1个物品是的对应重量时候的最高价值） if(maxvalue[i-1][j-weight[i-1]] + value[i - 1] > maxvalue[i-1][j]){ maxvalue[i][j] = maxvalue[i-1][j-weight[i-1]] + value[i - 1]; } } } } return maxvalue[n][maxweight]; } public static void main(String[] args) { int weight[] = {2,3,4,5}; int value[] = {3,4,5,7}; int maxweight = 8; System.out.println(knapsack(weight,value,maxweight)); } } 完成效果：

容斥原理之最值问题

教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算?求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： AUB A B AI B （其中符号“ U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思; 符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思. ）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理?图示 AI B ,即阴影面积?图示 第一步：分别计算集合 A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B （意思是把A B 的一切元素都“包含” 进来，加在一起）; 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C AI B （意思是“排除”了重复计算的元素个数 ）? 、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是A 类又是B 类 的元素个数 既是B 类又是C 类的元素个数 既是A 类又是C 类的元素个数 同时是A 类、B 类、C 类的元 素个数.用符号表示为： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C .图示如下： 如下:A 表示小圆部分, B 表示大圆部分, C 表示大圆与小圆的公共部分，记为: 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B 的并集AU B 的元素的个数，可分以下两步进行:

例题精讲 【例1】 “走美”主试委员会为三?八年级准备决赛试题。 每 个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年 级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现 3次。本届活动至少要准备 道决赛 试题。 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题 【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用 4道题目，六到八年级共用 4道题目，总共有 8 6 4 2 56 （道）题目。 【答案】56题 【例2】 将1?13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于 被重复计算多的区格中，最大和为: 13 X 4+ (12+11 + 10+9 ) X 3+ 8+7+6+5 ) X 2+ 4+3+2+1 ) =240. 【答案】240 【例3】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星?如果每条线段上恰有 这个五角星上红色点最少有多少个 ？ 目 tMlF 13个区域中，然后把每 1994个点被染成红色，那么在