椭圆定点定值专题
一.解答题(共30小题)
1.已知椭圆C得中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.(Ⅰ)
求椭圆C得标准方程;
(Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)就是椭圆C上两个定点,A、B就是椭圆C上位于直线PQ
两侧得动点.
①若直线AB得斜率为,求四边形APBQ面积得最大值;
②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB得斜率就是否为定值,说明理由.
2.已知椭圆得离心率为,且经过点.(1)求椭圆C得方程;
(2)已知A为椭圆C得左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN得斜率k1,k2满足k1+k2=m(定值m≠0),求直线l得斜率.
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆得焦距为2,且过点.(1)求椭圆E
得方程;
(2)若点A,B分别就是椭圆E得左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P就是椭圆
上异于A,B得任意一点,直线AP交l于点M.
(ⅰ)设直线OM得斜率为k1,直线BP得斜率为k2,求证:k1k2为定值;
(ⅱ)设过点M垂直于PB得直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点得坐标.
4.已知F1,F2分别就是椭圆(a＞b＞0)得左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与
x轴得交点为N,满足,设A、B就是上半椭圆上满足得两点,其中.
(1)求椭圆得方程及直线AB得斜率k得取值范围;
(2)过A、B两点分别作椭圆得切线,两切线相交于一点P,试问:点P就是否恒在某定直线上运动,请说明理由.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a＞b＞0)得离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上.
(1)求椭圆得方程;
(2)设A,B,M就是椭圆上得三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使.
(i)求证:直线OA与OB得斜率之积为定值;(ii)求OA2+OB2.
6.已知椭圆得左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N就是椭圆上得动点.
(Ⅰ)求椭圆标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON得斜率之积为﹣,问:就是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值？,
若存在,求出F1,F2得坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上得射影为A,连接NA 并延长交椭圆于点B,证
明:MN⊥MB.
7.一束光线从点F1(﹣1,0)出发,经直线l:2x﹣y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).
(1)求P点得坐标;(2)求以F1、F2为焦点且过点P得椭圆C得方程;
(3)设点Q就是椭圆C上除长轴两端点外得任意一点,试问在x轴上就是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB得斜率之积为定值？若存在,请求出定值,并求出所有满足条件得定点A、B得坐标;若不存在,请说明理由.
8.已知椭圆得离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C得方程;
(2)设直线l:y=kx+t(k≠0)交椭圆C于A、B两点,D为AB得中点,k OD为直线OD得斜率,求证:k?k OD为定值;
(3)在(2)条件下,当t=1时,若得夹角为锐角,试求k得取值范围.
9.如图所示,椭圆C:得焦点为F1(0,c),F2(0,﹣c)(c＞0),抛物线x2=2py(p＞0)得焦点与F1重合,过F2得直线l与抛物线P相切,切点在第一象限,且与椭圆C相交于A,B两点,且.(1)求证:切线l得斜率为定值;(2)当λ∈[2,4]时,求椭圆得离心率e得取值范围.
10.已知椭圆(a＞b＞0)得右焦点为F1(2,0),离心率为e.
(1)若e=,求椭圆得方程;
(2)设A,B为椭圆上关于原点对称得两点,AF1得中点为M,BF1得中点为N,若原点O在以线段MN为直径得圆上.
①证明点A在定圆上;
②设直线AB得斜率为k,若k,求e得取值范围.
11.在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a＞b＞0)得焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),左、右顶点分别为
A,B,离心率为,动点P到F1,F2得距离得平方与为6.
(1)求动点P得轨迹方程;
(2)若,,Q为椭圆上位于x轴上方得动点,直线
DM?CN,BQ分别交直线m于点M,N.
(i)当直线AQ得斜率为时,求△AMN得面积;
(ii)求证:对任意得动点Q,DM?CN为定值.
12.(1)如图,设圆O:x2+y2=a2得两条互相垂直得直径为AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求
证:为定值
(2)将椭圆(a＞b＞0)与x2+y2=a2相类比,请写出与(1)类似得命题,并证明您得结论.
(3)如图,若AB、CD就是过椭圆(a＞b＞0)中心得两条直线,且直线AB、CD得斜
率积,点E就是椭圆上异于A、C得任意一点,AE交直线CD于K,CE交
直线AB于L,求证:为定值.
13.作斜率为得直线l与椭圆C:交于A,B两点(如图所示),且
在直线l得左
上方.(1)证明:△PAB得内切圆得
圆心在一条定直线上;(2)若
∠APB=60°,求△PAB得面积.
14.设椭圆C:+=1(a＞b＞0)
得左.右焦点分别为F1F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直得直线交x轴负半轴于点Q,且2+=.
(1)若过A.Q.F 2三点得圆恰好与直线l:x﹣y﹣3=0相切,求椭圆C得方程;
(2)在(1)得条件下,过右焦点F2作斜率为k得直线l与椭圆C交于M.N两点.试证
明:+为定值;②在x轴上就是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边
得平行四边形就是菱形,如果存在,求出m得取值范围,如果不存在,说明理由.
15.已知A,B分别就是椭圆C1:=1得左、右顶点,P就是椭圆上异与A,B得任意一点,Q就是双曲线
C2:=1上异与A,B得任意一点,a＞b＞0.(I)若P(),Q(,1),求椭圆C l
得方程;
(Ⅱ)记直线AP,BP,AQ,BQ得斜率分别就是k1,k2,k3,k4,求证:k1?k2+k3?k4为定值;
(Ⅲ)过Q作垂直于x轴得直线l,直线AP,BP分别交l于M,N,判断△PMN就是否可
能为正三角形,并说明理由.
16.已知椭圆=1得焦点坐标为(±1,0),椭圆经过点(1,)(1)求椭圆方程;
(2)过椭圆左顶点M(﹣a,0)与直线x=a上点N得直线交椭圆于点P,求得值.
(3)过右焦点且不与对称轴平行得直线l交椭圆于A、B两点,点Q(2,t),若K QA+K QB=2与l
得斜率无关,求t得值.
17.如图,已知椭圆得焦点为F1(1,0)、F2(﹣1,0),离心率为,
过点A(2,0)得直线l交椭圆C于M、N两点.(1)求椭圆C得方程;(2)①求直线l得斜率k
得取值范围;
②在直线l得斜率k不断变化过程中,探究∠MF1A与∠NF1F2就是否总相等？若相等,请给出证明,若不相等,说明理由.
18.已知椭圆E:=1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点距离之与为,离心率为
,左、右焦点分别为F1,F2,点P就是右准线上任意一点,过F2作直线PF2得垂线F2Q
交椭圆于Q点.(1)求椭圆E得标准方程;
(2)证明:直线PQ与直线OQ得斜率之积就是定值;
(3)点P得纵坐标为3,过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N,在线段MN上取点H,满足,试证明点H恒在一定直线上.
19.如图,双曲线C1:与椭圆C2:(0＜b＜2)得左、右顶点分别为A1、A2第一象限内得点P在双曲线C1上,线段OP与椭圆C2交于点A,O为坐标原点.
(I)求证:为定值(其中表示直线AA1得斜率,等意义类似);
(II)证明:△OAA2与△OA2P不相似.
(III)设满足{(x,y)|,x∈R,y∈R}?{(x,y)|,x∈R,y∈R} 得正数m得最大值就是b,求b得值.
20.已知椭圆得中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点与短轴得两个端点恰为一个正方形得顶点.过右焦点F与x轴不垂直得直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆得方程;
(2)当直线l得斜率为1时,求△POQ得面积;
(3)在线段OF上就是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边得平行四边形就是菱形？若存在,求出m得取值范围;若不存在,请说明理由.
21.已知椭圆得离心率为,且椭圆上得点到两个焦点得距离与为2.斜率为k(k≠0)得直
线l过椭圆得上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ得垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求椭圆得方程;(Ⅱ)求m得取值范围;(Ⅲ)试用m表示△MPQ得面积,并求面积得最大值.
22.已知椭圆E:得左焦点,若椭圆上存在一点D,满足以椭圆短轴为直径得圆与线段DF1相切于线段DF1得中点F.(Ⅰ)求椭圆E得方程;
(Ⅱ)已知两点Q(﹣2,0),M(0,1)及椭圆G:,过点Q作斜率为k得直线l交椭圆G于H,K两点,设线段HK得中点为N,连接MN,试问当k为何值时,直线MN过椭圆G得顶点？
(Ⅲ) 过坐标原点O得直线交椭圆W:于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴得垂线,垂足为C,连接AC并延长交椭圆W于B,求证:PA⊥PB.
23.已知椭圆与圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O得两条切线,切点为A,B.
(1)(ⅰ)若圆O过椭圆得两个焦点,求椭圆得离心率e;(ⅱ)若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e得取值范围;(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证:为定值.
24.已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径得圆与直线y=x+2相切.(Ⅰ)
求椭圆得标准方程;
(Ⅱ)设点F就是椭圆在y轴正半轴上得一个焦点,点A,B就是抛物线x2=4y上得两个动点,且满足
,过点A,B分别作抛物线得两条切线,设两切线得交点为M,试推断就是否为定值？若
就是,求出这个定值;若不就是,说明理由.
25.已知椭圆得中心为O,长轴、短轴得长分别为2a,2b(a＞b＞0),A,B分别为椭圆上得两点,且OA⊥OB.
(1)求证:为定值;(2)求△AOB面积得最大值与最小值.
26.设F1、F2分别就是椭圆+y2=1得左、右焦点.
(1)若P就是该椭圆上得一个动点,求向量乘积得取值范围;
(2)设过定点M(0,2)得直线l与椭圆交于不同得两点M、N,且∠MON为锐角(其中O为坐标原点),求直线l得斜率k 得取值范围.
(3)设A(2,0),B(0,1)就是它得两个顶点,直线y=kx(k＞0)与AB相交于点D,与椭圆相交
于E、F两点.求四边形AEBF面积得最大值.
27.已知椭圆得左焦点F1(﹣1,0),长轴长与短轴长得比就是
.
(Ⅰ)求椭圆得方程;
(Ⅱ)过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点,若m⊥n,求证:为定值.
28.已知椭圆得左顶点就是A,过焦点F(c,0)(c＞0,为椭圆得半焦距)作倾斜角为θ得直线(非x轴)交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别交直线(称为椭圆得右准线)于P,Q两点.
(1)若当θ=30°时有,求椭圆得离心率;(2)若离心率e=,求证:为定值.
29.已知点P在椭圆C:(a＞b＞0)上,F1、F2分别为椭圆C得左、右焦点,满足|PF1|=6﹣|PF2|,且椭圆C得离心率为.(Ⅰ)求椭圆C得方程;
(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直得直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上就是否存在定点G,使得
为定值.若存在,求出所有满足这种条件得点G得坐标;若不存在,说明理由.
30.如图,已知椭圆C:得离心率为,以椭圆C得左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r＞0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C得方程;
(2)求得最小值,并求此时圆T得方程;
(3)设点P就是椭圆C上异于M,N得任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|?|OS|为定值.
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.已知椭圆C得中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.
(Ⅰ)求椭圆C得标准方程;
(Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)就是椭圆C上两个定点,A、B就是椭圆C上位于直线PQ两侧得动点.
①若直线AB得斜率为,求四边形APBQ面积得最大值;
②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB得斜率就是否为定值,说明理由.
解:(Ⅰ)设C方程为
由已知b=2,离心率…(3分)
得a=4,所以,椭圆C得方程为…(4分)
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P、Q得坐标为P(2,3).Q(2,﹣3),则|PQ|=6,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB得方程为,代入,
得x2+tx+t2﹣12=0 由△＞0,解得﹣4＜t＜4,由根与系数得关系得,
四边形APBQ得面积…(6分)
故,当t=0时,…(7分)
②∠APQ=∠BPQ时,PA、PB得斜率之与为0,设直线PA得斜率为k,
则PB得斜率为﹣k,PA得直线方程为y﹣3=k(x﹣2)与,
联立解得(3+4k2)x2+8(3﹣2k)kx+4(3﹣2k)2﹣48=0,.…(9分)
同理PB得直线方程y﹣3=﹣k(x﹣2),可得
所以,…(11
分)==,
所以直线AB得斜率为定…(13分)
2.已知椭圆得离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C得方程;
(2)已知A为椭圆C得左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN得斜率k1,k2满足k1+k2=m(定值m≠0),求直线l得斜率.
解:(1)∵椭圆离心率为,
∴,∴(2分)
又椭圆经过点,∴
解得c=1,∴(3分)
∴椭圆C得方程就是…(4分)
(2)若直线l斜率不存在,显然k1+k2=0不合题意…(5分)
设直线方程为l:y=k(x﹣1),M(x1,y1),N(x2,y2)
3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆得焦距为2,且过点.
(1)求椭圆E 得方程;
(2)若点A,B 分别就是椭圆E 得左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 就是椭圆上异于A,B 得任意一点,直线AP 交l 于点M.
(ⅰ)设直线OM 得斜率为k 1,直线BP 得斜率为k 2,求证:k 1k 2为定值;
(ⅱ)设过点M 垂直于PB 得直线为m.求证:直线m 过定点,并求出定点得坐标
.
解:(1)由题意得2c=2,∴c=1,又
,a 2=b 2+1.
消去a 可得,2b 4﹣5b 2﹣3=0,解得b 2=3或
(舍去),则a 2=4,
∴椭圆E 得方程为.
(2)(ⅰ)设P(x 1,y 1)(y 1≠0),M(2,y 0),则,,
∵A,P,M 三点共线,∴,∴,
∵P(x 1,y 1)在椭圆上,∴
,故为定值.
联立方程组
得(3+4k 2)x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0…(7分)
∴…(8分)
∴k 1+k 2=
==
=
=k()=﹣
∵k 1+k 2=m,∴﹣=m, ∴k=
.
(ⅱ)直线BP得斜率为,直线m得斜率为,
则直线m得方程为
,=
===, 即.
所以直线m过定点(﹣1,0).
4.已知F1,F2分别就是椭圆(a＞b＞0)得左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与x轴得交点为N,满足
,设A、B就是上半椭圆上满足得两点,其中.
(1)求椭圆得方程及直线AB得斜率k得取值范围;
(2)过A、B两点分别作椭圆得切线,两切线相交于一点P,试问:点P就是否恒在某定直线上运动,请说明理由.
解:(1)由于,
∴
解得a2=2,b2=1,从而所求椭圆得方程为=1.
∵三点共线,而点N得坐标为(﹣2,0).
设直线AB得方程为y=k(x+2),其中k为直线AB得斜率,依条件知k≠0.
由消去x得,即.
根据条件可知解得,依题意取.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据韦达定理,得,
又由,得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2)
,∴从而
从而消去y2得.
令,则.
由于,所以φ'(λ)＜0.
∴φ(λ)就是区间上得减函数,从而,
即,∴,解得,而,∴.
故直线AB得斜率得取值范围就是.
(2)设点P得坐标为(x0,y0),则可得切线PA得方程就是,
而点A(x1,y1)在此切线上,有即x0x1+2y0y1=x12+2y12,
又∵A在椭圆上,∴有x0x1+2y0y=2,①同理可得x0x2+2y0y2=2.②
根据①与②可知直线AB得方程为,x0x+2y0y=2,而直线AB过定点N(﹣2,0),∴﹣2x0=2?x0=﹣1,
因此,点P恒在直线x=﹣1上运动.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a＞b＞0)得离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上.
(1)求椭圆得方程;
(2)设A,B,M就是椭圆上得三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使.
(i)求证:直线OA与OB得斜率之积为定值;
(ii)求OA2+OB2.
解:(1)依题意,得c=1.于就是,a=,b=1. …(2分)
所以所求椭圆得方程为. …(4分)
(2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则①,②.
又设M(x,y),因,故…(7分)
因M在椭圆上,故.
整理得.
将①②代入上式,并注意cosθsinθ≠0,得.
所以,为定值. …(10分)
(ii),故
y12+y22=1.
又,故x12+x22=2.
所以,OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3. …(16分)
6.已知椭圆得左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N就是椭圆上得动点.
(Ⅰ)求椭圆标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON得斜率之积为﹣,问:就是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值？,
若存在,求出F1,F2得坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上得射影为A,连接NA 并延长交椭圆于点B,证
明:MN⊥MB.
(Ⅰ)解:由题设可知:,∴a=2,c=…2分
∴b2=a2﹣c2=2…3分
∴椭圆得标准方程为:…4分
(Ⅱ)解:设P(x P,y P),M(x1,y1),N(x2,y2),由可得:①…5分
由直线OM与ON得斜率之积为可得:,即x1x2+2y1y2=0②…6分
由①②可得:x P2+2y P2=(x12+2y12)+(x22+2y22)
∵M、N就是椭圆上得点,∴x12+2y12=4,x22+2y22=4
∴x P2+2y P2=8,即…、、8分
由椭圆定义可知存在两个定点F1(﹣2,0),F2(2,0),使得动点P到两定点距离与为定值4;…、9分;
(Ⅲ)证明:设M(x1,y1),B(x2,y2),则x1＞0,y1＞0,x2＞0,y2＞0,x1≠x2,A(x1,0),N(﹣x1,﹣y1)…、、10分
由题设可知l AB斜率存在且满足k NA=k NB,∴….③
k MN?k MB+1=+1④…12分
将③代入④可得:k MN?k MB+1=+1=⑤ (13)
∵点M,B在椭圆上,∴k MN?k MB+1==0
∴k MN?k MB+1=0
∴k MN?k MB=﹣1
∴MN⊥MB…14分.
7.一束光线从点F1(﹣1,0)出发,经直线l:2x﹣y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).
(1)求P点得坐标;
(2)求以F1、F2为焦点且过点P得椭圆C得方程;
(3)设点Q就是椭圆C上除长轴两端点外得任意一点,试问在x轴上就是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB得斜率之积为定值？若存在,请求出定值,并求出所有满足条件得定点A、B得坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设F1关于l得对称点为F(m,n),则且,
解得,,即.
由,解得.
(2)因为PF1=PF,根据椭圆定义,得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2
=,所以a=.又c=1,
所以b=1.所以椭圆C得方程为.
(3)假设存在两定点为A(s,0),B(t,0),
使得对于椭圆上任意一点Q(x,y)(除长轴两端点)都有k Qt?k Qs=k(k为定值),
即?,将代入并整理得
(*)
.由题意,(*)式对任意x∈(﹣,)恒成立,
所以,
解之得或.
所以有且只有两定点(,0),(﹣,0),
使得k Qt?k Qs为定值﹣.
8.已知椭圆得离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C得方程;
(2)设直线l:y=kx+t(k≠0)交椭圆C于A、B两点,D为AB得中点,k OD为直线OD得斜率,求证:k?k OD为定值;
(3)在(2)条件下,当t=1时,若得夹角为锐角,试求k得取值范围.
解:(1)根据题意有:
解得:
∴椭圆C得方程为=1
(2)联立方程组
消去y得:(4+k2)x2+2kx+t2﹣4=0①
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点坐标为(x0,y0)
则有:
∴,故为定值
(3)当t=1时,①式为(4+k2)x2+2kx﹣3=0
故
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1
∴
若得夹角为锐角,则有,
即,解得,且k≠0,
∴当k∈时,得夹角为锐角
9.如图所示,椭圆C:得焦点为F1(0,c),F2(0,﹣c)(c＞0),抛物线x2=2py(p＞0)得焦点与F1重合,过F2得直线l与抛物线P相切,切点在第一象限,且与椭圆C相交于A,B两点,且.
(1)求证:切线l得斜率为定值;
(2)当λ∈[2,4]时,求椭圆得离心率e得取值范围.
(1)证明:∵椭圆C:得焦点为F1(0,c),F2(0,﹣c)(c＞0),抛物线P:x2=2py(p＞
0)得焦点与F1重合,
∴,∴抛物线P:x2=4cy.
设过F2得直线l得方程为y+c=kx,与抛物线联立,可得x2﹣4kcx+4c2=0,
∵过F2得直线l与抛物线P相切,切点E在第一象限,
∴△=16k2c2﹣16c2=0,k＞0
∴k=1,即切线l得斜率为定值;
(2)解:由(1),可得直线l得方程为y=x﹣c,代入椭圆方程可得(a2+b2)x2﹣2b2cx+b2c2﹣a2b2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则①,②
∵
∴x2=﹣λx1③
由①②③可得=
∵f(λ)=,当λ∈[2,4]时,单调递增,
∴f(λ)∈
∴
∵0＜e＜1
∴椭圆得离心率e得取值范围就是[].
10.已知椭圆(a＞b＞0)得右焦点为F1(2,0),离心率为e.
(1)若e=,求椭圆得方程;
(2)设A,B为椭圆上关于原点对称得两点,AF1得中点为M,BF1得中点为N,若原点O在以线段MN为直径得圆上.
①证明点A在定圆上;
②设直线AB得斜率为k,若k,求e得取值范围.
解:(1)由=,c=2,得a=,b==2.
故所求椭圆方程为.
(2)设A(x1,y1),则B(﹣x1,﹣y1),故,.
①由题意,得.化简,得,∴点A在以原点为圆心,2为半径得圆上.
②设A(x1,y1),则得到.
将,,代入上式整理,得k2(2e2﹣1)=e4﹣2e2+1;
∵e4﹣2e2+1＞0,k2＞0,∴2e2﹣1＞0,∴.
∴≥3.化简,得.解之,得,.
故离心率得取值范围就是.
11.在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a＞b＞0)得焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),左、右顶点分别为A,B,离心率为,
动点P到F1,F2得距离得平方与为6.
(1)求动点P得轨迹方程;
(2)若,,Q为椭圆上位于x轴上方得动点,直线DM?CN,BQ分别交直线m于点M,N.
(i)当直线AQ得斜率为时,求△AMN得面积;
(ii)求证:对任意得动点Q,DM?CN为定值.
(1)解:设P(x,y),则,
即(x+1)2+y2+(x﹣1)2+y2=6,整理得,x2+y2=2,
所以动点P得轨迹方程为x2+y2=2.…(4分)
(2)解:由题意知,,解得,
所以椭圆方程为. …(6分)
则,,设Q(x0,y0),y0＞0,则,
直线AQ得方程为,令,得,
直线BQ得方程为,令,得,
( i)当直线AQ得斜率为时,有,消去x0并整理得,,解得或
y0=0(舍),…(10分)
所以△AMN得面积
==. …(12分) (ii),,
所以.
所以对任意得动点Q,DM?CN为定值,该定值为. …(16分)
12.(1)如图,设圆O:x2+y2=a2得两条互相垂直得直径为AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求
证:为定值
(2)将椭圆(a＞b＞0)与x2+y2=a2相类比,请写出与(1)类似得命题,并证明您得结论.
(3)如图,若AB、CD就是过椭圆(a＞b＞0)中心得两条直线,且直线AB、CD得斜率积,点E就是椭圆上异于A、C得任意一点,AE交直线CD于K,CE交直线AB于L,求证:为定值.
解答:解:(1)如图所示,过点E作EF⊥AB,垂足为F点,
∵CD⊥AB,∴EF∥CD,
∴,,
又EF2+FO2=OE2=a2,
∴====1.为定值.
(2)如图,设椭圆(a＞b＞0),椭圆得长轴、短轴分别为AB、CD,E在椭圆得BD部分上,AE交CD于K,CE 交AB于L,求证:为定值.
证明:过点E作EF⊥AB,垂足为F点,
∵CD⊥AB,∴EF∥CD,
∴,,
∴===1.为定值.
(3)如图所示,
过点E分别作EF∥CD交AB与点F,EM∥AB交直线CD于点M.
∴,.
设A(x1,y1),C(x2,y2),D(﹣x2,﹣y2),B(﹣x1,﹣y1).E(x0,y0).
则.
设直线AB得方程为y=kx(k≠0),则直线CD得方程为.
直线EF得方程为,直线EM得方程为y﹣y0=k(x﹣x0).
联立解得x F=.
联立,解得x M=.
联立解得.
联立,解得=.
∴==.
同理.
∴===
=.为定值.
13.作斜率为得直线l与椭圆C:交于A,B两点(如图所示),且在直线l得左上方.
(1)证明:△PAB得内切圆得圆心在一条定直线上;
(2)若∠APB=60°,求△PAB得面积.
(1)证明:设直线l:,A(x1,y1),B(x2,y2).
将代入中,化简整理得2x2+6mx+9m2﹣36=0.
于就是有,. 则
,
上式中,分子
==
=
=,
从而,k PA+k PB=0.
又P在直线l得左上方,因此,∠APB得角平分线就是平行于y轴得直线,所以△PAB得内切圆得圆心在直线上.
(2)解:若∠APB=60°时,结合(1)得结论可知.
直线PA得方程为:,代入中,
消去y得.
它得两根分别就是x1与,所以,即.所以
.
同理可求得.
=??=.
14.设椭圆C:+=1(a＞b＞0)得左.右焦点分别为F1F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直得直线交x轴负半轴于点Q,且2+=.
(1)若过A.Q.F2三点得圆恰好与直线l:x﹣y﹣3=0相切,求椭圆C得方程;
(2)在(1)得条件下,过右焦点F2作斜率为k得直线l与椭圆C交于M.N两点.试证明:+为定值;②在x
轴上就是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边得平行四边形就是菱形,如果存在,求出m得取值范围,如果不存在,说明理由.
解:(1)由知:F1为F2Q中点.
又∵,
∴|F1Q|=|F1A|=|F1F2|,即F1为△AQF2得外接圆圆心
而|F1A|=a,|F1F2|=2c,∴a=2c,又圆心为(﹣c,0),半径r=a,
∴,解得a=2,
∴所求椭圆方程为.(5分)
(2)①由(1)知F2(1,0),y=k(x﹣1),
,代入得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则,,
又∵|F2M|=a﹣ex1,|F2N|=a﹣ex2,
∴=,
,
∴为定值.(10分)
②由上可知:y1+y2=k(x1+x2﹣2),
=(x1+x2﹣2m,y1+y2),
由于菱形对角线垂直,则,
故k(y1+y2)+x1+x2﹣2m=0,则k2(x1+x2﹣2)+x1+x2﹣2m=0,
+,由已知条件知k≠0且k∈R,
,∴,
故存在满足题意得点P且得取值范围就是.(15分)