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计算方法答案

计算方法与实习

实

验

报

告

实习题一

1. 用两种不同的顺序计算10000

21 1.644834n n

-=≈∑，分析其误差的变化。

● 实验代码

#include

using namespace std;

void main(){

float num=0;

int i;

for(i=0;i<10000;i++){

num=num+1.0/((i+1)*(i+1));

}

cout<<"从小加到大的结果:"<

num=0;

for(i=9999;i>=0;i--){

num=num+1.0/((i+1)*(i+1));

}

cout<<"从大加到小的结果:"<

}

●

运行窗口

4. 设2211

N n j S j ==-∑，已知其精确值为1/2(3/2-1/N-1/N+1)。 1）编制按从大到小的顺序计算Sn 的程序；

2）编制按从小到大的顺序计算Sn 的程序；

3）按两种顺序分别计算S1000，S10000，S30000，并指出有效位数。

●实验代码

#include

using namespace std;

double num;

double suml(int N){

num=0;

int j;

for(j=2;j

num=num+1.0/(j*j-1);

}

return num;

}

double sumh(int N){

num=0;

int j;

for(j=N;j>1;j--){

num=num+1.0/(j*j-1);

}

return num;

}

void main(){

int N;

cout<<"input N"<

cin>>N;

cout<<"从小到大加的结果:"<

cout<<"从大到小加的结果:"<

●运行窗口

实习题二

1. 用牛顿法求下列方程的根：

1） 20x x e -=

实验代码

#include

using namespace std;

double fy(double x){

return x*x-exp(x);

}

double fd(double x){

return 2*x-exp(x);

}

void main(){

int i=0;

double y=2.0;

for(i=0;i<50;i++){

y=y-fy(y)/fd(y);

cout<

i++;

}

● 运行窗口

2） lg 20x x +-=

原理同1（1），故略

2.编写一个割线法程序，求解上述个方程

编写1（1）的割线法程序

● 实验代码

#include

using namespace std;

double f(double x){

return x*x-exp(x);

}

double fd(double x){

return 2*x-exp(x);

}

void main(){

int i=0;

double x1=0,x2=1,x3; //该方程在大于0上没根，exp(x)的增长速度比x*x大的多while(1){

x3=x2-(f(x2)/(f(x2)-f(x1)))*(x2-x1);

x1=x2;

x2=x3;

cout<

i++;

if (i>50) break;

}

运行窗口

实习题三

1．用列主元消去法解方程组：

1）12434x x x ++=

123421x x x x +-+=

1234333x x x x --+=-

1234234x x x x -++-=

实验代码

#include

using namespace std;

void main(){

void ColPivot(float*,int,float []);

int i;

float x[3];

float c[4][5]={1,1,0,3,4,2,1,-1,1,1,3,-1,-1,3,-3,-1,2,3,-1,4};

ColPivot(c[0],4,x);

for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

void ColPivot(float*c,int n,float x[]){

int i,j,k,t;

float p;

for(i=0;i<=n-2;i++){

k=i;

for(j=i+1;j

if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>(fabs(*(c+k*(n+1)+i))))k=j;

if(k!=i)

for(j=i;j<=n;j++){

p=*(c+i*(n+1)+j);

*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);

*(c+k*(n+1)+j)=p;

}

for(j=i+1;j

p=(*(c+j*(n+1)+i))/(*(c+i*(n+1)+i));

for(t=i;t<=n;t++)*(c+j*(n+1)+t)-=p*(*(c+i*(n+1)+t));

}

for(i=n-1;i>=0;i--){

for(j=n-1;j>=i+1;j--)

(*(c+i*(n+1)+n))-=x[j]*(*(c+i*(n+1)+j));

x[i]=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i));

}

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4．编写用追赶法解三对角线性方程组的程序，并解下列方程组：

2）Ax b

●实验代码

#include

using namespace std;

void main(){

float a=1;

float b=-4;

float c=1;

float d[11]={0,-27,-15,-15,-15,-15,-15,-15,-15,-15,-15};

float l[11];

float bb[11];

float y[11];

float x[11];

bb[1]=b;

y[1]=d[1];

int i;

for(i=2;i<11;i++){

l[i]=a/bb[i-1];

bb[i]=b-l[i]*c;

y[i]=d[i]-l[i]*y[i];

}

x[10]=y[10]/bb[10];

for(i=9;1>0;i--){

x[i]=(y[i]-c*x[i+1])/bb[i];

}

for(i=1;i<11;i++)

cout<<'x'<

}

运行窗口

#include

#define N 11

main()

{

float a[N]={0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1};

float b[N]={0,-4,-4,-4,-4,-4,-4,-4,-4,-4,-4};

float c[N]={0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0};

float d[N]={0,-27,-15,-15,-15,-15,-15,-15,-15,-15,-15};

float x[N]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

float r[N]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

float y[N]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

float q;

//clrscr();

int k;

r[1]=c[1]/b[1];

y[1]=d[1]/b[1];

for(k=2;k

{

q=b[k]-r[k-1]*a[k];

r[k]=c[k]/q;

y[k]=(d[k]-y[k-1]*a[k])/q;

}

y[N-1]=(d[N-1]-y[N-2]*a[N-1])/(b[N-1]-r[N-2]*a[N-1]);

x[N-1]=y[N-1];

for(k=N-2;k>=1;k--)

x[k]=y[k]-r[k]*x[k+1];

for(k=1;k

printf("x[%d]=%f\n",k,x[k]);

getch();

return 0 ;

}

● 运行窗口

5．12310211x x x -+=-

2348311

x x x -+=- 1232106x x x -+=

123431125x x x x -+-+=

雅克比迭代法

● 实验代码

#include

#define eps 1e-6

#define max 100

void Jacobi(float *a,int n,float x[])

{

int i,j,k=0;

float epsilon,s;

float *y=new float[n];

for(i=0;i

while(1)

{

epsilon=0;

k++;

for(i=0;i

{

s=0;

for(j=0;j

{

if(j==i)continue;

s+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];

}

y[i]=(*(a+i*(n+1)+n)-s)/(*(a+i*(n+1)+i));

epsilon+=fabs(y[i]-x[i]);

}

for(i=0;i

if(epsilon

{printf("迭代次数为:%d\n",k);return;}

if(k>=max)

{printf("迭代发散");return;}

}

delete y;

}

void main()

{

int i;

float a[4][5]={10,-1,2,0,-11,0,8,-1,3,-11,2,-1,10,0,6,-1,3,-1,11,25};

float x[4];

Jacobi(a[0],4,x);

for(i=0;i<4;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

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高斯-塞德尔迭代法

实验代码

#include

#define N 500

void main()

{

int i;

float x[4];

float c[4][5]={10,-1,2,0,-11,0,8,-1,3,-11,2,-1,10,0,6,-1,3,-1,11,25};

void GaussSeidel(float *,int,float[]);

GaussSeidel(c[0],4,x);

for(i=0;i<4;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

void GaussSeidel(float *a,int n,float x[])

{

int i,j,k=1;

float d,dx,eps;

for(i=0;i

while(1)

{

eps=0;

for(i=0;i

{

d=0;

for(j=0;j

{

if(j==i)continue;

d+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];

}

dx=(*(a+i*(n+1)+n)-d)/(*(a+i*(n+1)+i));

eps+=fabs(dx-x[i]);

x[i]=dx;

}

if(eps<1e-6){printf("迭代次数为:%d\n",k);return;}

if(k>N)

{

printf("迭代发散\n");

return;

}

k++;

}

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实习题四

2. 按下列数据

Xi 0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72

Yi 1.04403 1.08462 1.11803 1.15603 1.19817 1.23223 作5次插值，并求X1=0.46，X2=0.55，X3=0.60时的函数近似值。

●实验代码

#include

#define N 5

void Difference(float x[],float y[],int n)

{

float *f=new float[n+1];

int k,i;

for(k=1;k<=n;k++)

{

f[0]=y[k];

for(i=0;i

f[i+1]=(f[i]-y[i])/(x[k]-x[i]);

y[k]=f[k];

}

delete f;

return;

}

void main()

{

int i;

float a,b,c,varx=0.46,vary=0.55,varz=0.60;

float x[N+1]={0.30,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72};

float y[N+1]={1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223};

Difference(x,y,N);

a=y[N];b=y[N];c=y[N];

for(i=N-1;i>=0;i--)

a=a*(varx-x[i])+y[i];

for(i=N-1;i>=0;i--)

b=b*(vary-x[i])+y[i];

for(i=N-1;i>=0;i--)

c=c*(varz-x[i])+y[i];

printf("Nn(%f)=%f\n",varx,a);

printf("Nn(%f)=%f\n",vary,b);

printf("Nn(%f)=%f\n",varz,c); }

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数值计算方法试题及答案

【数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 13、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。 15、、 16、计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12+n )次代数精度。

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案第一章数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)

三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）

数值计算方法三套试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l )(( )，∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时= ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?=1 04)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时， SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=??=?的改进欧拉法?????++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设 ?? ????????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ? ∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，