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厦门集美中学高中87组学业基础考试

高二数学试题（理）

一、选择题：（共10小题，每小题5分，满分50分）

二、填空题：（共4小题，每小题4分，满分16分）

11._________

___________; 12._________25____________;

13.__________二 __________; 14.夹在两平行平面间的平行线段长度相等．三、解答题:本大题共3小题,共34分,解答题应写出文字证明,证明过程

或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答.

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１５．已知对于任意正数1a ，2a ，3a ，有不等式： ①1111≥?

a a ；②4)11()(2121≥+?+a a a a ；③9)111()(3

21321≥++?++a a a a a a ． ⑴从上述不等式归纳出一个适合任意正数1a

，

2a ，…，n a 的不等式；

⑵证明你归纳得到的不等式．（本题可用数学归纳法，柯西不等式，均值不等式证明）

解：由已知：⑴*∈N n ，22

21)111(

)(n a a a a a a n

n ≥+

?+++ΛΛ ………..4分

⑵由柯西不等式，∵1a ，

2a ，…，+∈R a n ，

∴?+++=+++?+++))()()(()111(

)(222212121n n

n a a a a a a a a a ΛΛΛ 222

2221)111())1()1()1((n a a a n

=+++≥+++ΛΛ ………..８分

当且仅当n

n a a a

a a a 1

112

1===Λ即n a a a ===Λ21时，等号成立 ………..１０分考号 _____________ 班级________ 姓名______________

密

封

线

内

不

要

答

题

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１６．已知复数z 与i z 8)2(2

-+都是纯虚数， ⑴求z ； ⑵若把复数w 的共轭复数记作w ，并且z i w -+=134，求||w ．

解：由已知，⑴复数z 是纯虚数，设)0(≠=b bi z ， ………..2分 i b b i z )84(48)2(2

-++-=-+为纯虚数，则?

??=+-≠-040

842

b b ， ………..5分

因此，2-=b ，则i z 2-= ………..6分 ⑵设yi x w +=，则i i i i i i i yi x w -=-+-+=++=-=2)

21)(21()

21)(34(2134 ………..８分因此，2=x ，1=y ，则i w +=2，所以，5||=w ………..１２分１７．已知函数2)(2

3-++-=nx mx x x f m (，)R n ∈的定义域为4[-，]4，)(x f 在1-=x 时有最小值7-，

⑴求实数m ，n ；

⑵求)(x f 在定义域内的最大值； ⑶求)(x f 在定义域内的单调减区间．

解：由已知，⑴n mx x x f ++-='23)(2

，且定义域为4[-，]4∵)(x f 在1-=x 时有最小值7-．则???-=--+=-=+--=-'721)1(023)1(n m f n m f 因此，???==93n m ………..4分 ∴293)(23-++-=x x x x f ，963)(2

++-='x x x f 经检验：0963)(2

=++-='x x x f ，1-=x ，或3=x ………..6分

………..10分

⑴3=m ，9=n ， ⑵)(x f 在4-=x 时取最大值：74， ………..11分

⑶)(x f 在4[-，]4上的单调减区间为4(-，)1-，3(，)4． ………..12分

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四、填空题：（共4小题，每小题4分，满分16分） 18._________}0|{>a a _______; 19.__________10____________; 20.112)

1(13121122

++<+++++n n n Λ; 21.__________5____________. 五、解答题:本大题共3小题,共34分,解答题应写出文字证明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答. ２２．若直线1l 为曲线C ：12

+=x y 上的一条切线，并知切线1

l 的倾斜角为ο

45，切点为点A ，又知另一条直线2l 过点A 与直线1

l 垂直． ⑴求切点A 的坐标； ⑵求直线2

l 的方程；

⑶求曲线C 、直线2

l 、x 轴正半轴、以及y 轴正半轴

围成的区域面积．

（须先画图）解：由已知：⑴设切点0(x A ，)0

y ， ∵x y 2='，∴ο45tan 120==x ，则210=x ，4

0=x y 24

⑵∵21l l ⊥，并且2l 过点A ，则2l 的斜率为1-，方程：4

7+-=x y ……..6分 ⑶所求面积如图所示：=?++=+=?

?210

)45

(21)1(dx x S S S ABC ACOD ABCOD 曲边梯形多边形 9612732250)31(21

3=++x x ……..１０分２３．如图所示①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，回答下列问题， ① ② ③ ⑴由图中花盆摆放的规律，分别得出第3个、第4个、第5个图形中花盆的盆数3a ，4a ，5a ； ⑵猜想出第n 个图形中花盆的盆数n a 的一般表达式，以及1+n a 与n a 的数量关系； ⑶运用1+n a 与n a 的数量关系证明n a 一般表达式．

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密封线

内不要答题

解：由已知：⑴612

+=a a

，191223=+=a a ，371834=+=a a ，612445=+=a a

……..4分 ⑵猜想出：)(1332

∈+-=N n n n a n

，)(61

+∈+=N n n a a n

n ……..8分 ⑶用数学归纳法证明：

①当1=n 时，1113132