选修4-5 不等式选讲
第一节绝对值不等式
考纲要求：1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
1．绝对值不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
2．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
[自我查验]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为?.()
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．()
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．()
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 解析：由|x －a |＜1，则－1＜x －a ＜1， ∴a －1 3．设不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为____________． 解析：∵||x ＋1|－|x －2||≤3， ∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3， ∴k ＜(|x ＋1|－|x －2|)的最小值， 即k ＜－3. 答案：(－∞，－3) 4．f (x )＝|2－x |＋|x －1|的最小值为________． 解析：∵|2－x |＋|x －1|≥|2－x ＋x －1|＝1, ∴f (x )min ＝1. 答案：1 5．若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2＝5. 答案：5 [典题1] (2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集； (2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． [听前试做] (1)当a ＝1时， f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1 3 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为???? 23，2. (2)由题设可得f (x )＝???? ? x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ， －x ＋1＋2a ，x >a . 所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ???? 2a －13，0，B (2a ＋1,0)， C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为2 3(a ＋1)2. 由题设得2 3(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对a ∈(0，＋∞)，|x |a ?x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． (2016贵阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集； (2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )≤6，即|2x ＋1|＋|2x －3|≤6， ∴①????? x <－12，－2x －1＋(3－2x )≤6， 或②????? －12≤x ≤32，2x ＋1＋(3－2x )≤6，或③????? x >32，2x ＋1＋(2x －3)≤6， 解①得－1≤x ＜－12，解②得－12≤x ≤32，解③得3 2 即不等式的解集为[－1,2]． (2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4， 即f (x )的最小值等于4， ∴|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)． [典题2] 设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：????13a ＋16b ＜1 4； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． [听前试做] (1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝???? ? 3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1. 由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12， 则M ＝???－12，1 2. 所以????13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜1 4. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2 ＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2， 故|1－4ab |＞2|a －b |. 证明绝对值不等式的三种方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明． 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤1 4， 求证：|x ＋5y |≤1. 证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得 |x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×1 4＝1. 即|x ＋5y |≤ 1. [典题3] 设函数f (x )＝????x ＋1 a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2； (2)若f (3)<5，求a 的取值范围． [听前试做] (1)证明：由a >0，有f (x )＝????x ＋1a ＋|x －a |≥????x ＋1a －(x －a )＝1 a ＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立． 所以f (x )≥2. (2)f (3)＝????3＋1 a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1 a ， 由f (3)<5得3 2. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1 a ， 由f (3)<5得1＋5 2 综上，a 的取值范围是? ?? ? ?1＋ 52，5＋212. 解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类讨论，将原问题转化为分段函数问题进行解决． 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x ) (2)设a >－1，且当x ∈????－a 2，1 2时，f (x )≤g (x )，求 a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x ) 则y ＝???? ? －5x ，x <12 ， －x －2，12 ≤x ≤1，3x －6，x >1. 其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是(0,2)． (2)当x ∈????－a 2，1 2时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈????－a 2，1 2都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤4 3. 从而a 的取值范围是????－1，4 3. —————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————— [方法技巧] 1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c 等价于－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 等价于ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可． (2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为?，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c ＞0)，|x －a |－|x －b |≤c (或≥c )(c ＞0)型不等式的解法 (1)可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．零点分区间法的一般步骤： ①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义 由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)或|x －a |－|x －b |≥c (c ＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观． 3．|f (x )|＞g (x )，|f (x )|＜g (x )(g (x )＞0)型不等式的解法 (1)|f (x )|＞g (x )?f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )． (2)|f (x )|＜g (x )?－g (x )＜f (x )＜g (x )． [易错防范] 在分类讨论含多个绝对值的不等式时，分类应做到不重不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集． 1．(2016·沈阳模拟)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>0； (2)若f (x )＋3|x －4|>m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4. 当－1 2≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以1 当x <－1 2时，f (x )＝－x －5>0，得x <－5， 所以x <－5. 综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)． (2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9， 当－1 2 ≤x ≤4时等号成立， 所以m <9，即m 的取值范围为(－∞，9)． 2．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若f (x )≤m 的解集为[－1,5]，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解：(1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a . ∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， ∴a ＝2，m ＝3. (2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |. 当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)； 当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2 ， ∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤t ＜2时，0≤x ≤1＋t 2 ，t ＝2时，0≤x ＜2； 当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t ＜2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)， ∴当0≤t ＜2时原不等式的解集为????－∞，t 2＋1；当t ＝2时x ∈R . 3．(2016·辽宁联考)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )． (1)当m ＝7时，求函数f (x )的定义域； (2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围． 解：(1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>7， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集； ????? x ≥2，x ＋1＋x －2>7或????? －1≤x ＜2，x ＋1－x ＋2＞7 或? ???? x <－1，－x －1－x ＋2>7， 解得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f (x )≥2，即|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋4， ∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋4的解集是R ， ∴m ＋4≤3，m 的取值范围是(－∞，－1]． 4．(2016·九江模拟)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12 ； (2)若存在实数a ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2， ∴f (x )＝|x －3|－|x －2|＝???? ? 1，x ≤2，5－2x ，2 －1，x ≥3， ∴f (x )≤－1 2等价于? ???? x ≤2，1≤－12或????? 2 ??? ? x ≥3，－1≤－1 2， 解得11 4 ≤x ＜3或x ≥3，∴不等式的解集为????114，＋∞. (2)由不等式性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤3 2， ∴实数a 的取值范围是? ???－∞，32. 5．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)若不等式f (x )≤6的解集为[－2,3]，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3， ∴a －3＝－2，∴a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1， 令φ(n )＝f (n )＋f (－n )， 则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝????? 2－4n ，n ≤－12 ， 4，－12＜n ≤1 2， 2＋4n ，n >12 ， ∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 6．(2016·郑州模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|； (2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1 n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54 3； 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x ＜1 2； 当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，x ∈??? ?－54，1 2. (2)1m ＋1n ＝????1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4， 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝ ???? ? 2x ＋2＋a ，x <－2 3 ，－4x －2＋a ，－23 ≤x ≤a ， －2x －2－a ，x >a ， ∴x ＝－23时，g (x )max ＝2 3＋a ，要使不等式恒成立， 只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0 3. 故实数a 的取值范围为????0，10 3. 第二节 不等式证明的基本方法 考纲要求：1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. (3)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥ (x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2(通常称为平面三 角不等式)． 2．会用向量递归方法讨论排序不等式． 3．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题． 4．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n >1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立． 5．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值． 6．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法． 1．比较法 作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b >0?a >b . (2)作商法：a b >1?a >b (a >0，b >0)． 2．综合法与分析法 (1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法． (2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这是一种执果索因的思考和证明方法． 3．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． 4．放缩法 证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法． 5．数学归纳法 数学归纳法证明不等式的一般步骤： (1)证明当n ＝n 0时命题成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立． 综合(1)(2)可知，结论对于任意n ≥n 0，且n 0，n ∈N *都成立． 6．柯西不等式 设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，等号当且仅当ad ＝bc 时成立． [自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．() (2)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.() 答案：(1)×(2)√ 2．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则m与n的大小关系为________． 解析：∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴n≥m. 答案：n≥m [典题1](2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明： (1)若ab>cd，则a＋b>c＋d； (2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件． [听前试做](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab， (c＋d)2＝c＋d＋2cd， 由题设a＋b＝c＋d，ab>cd， 得(a＋b)2>(c＋d)2. 因此a＋b>c＋d. (2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 由(1)，得a＋b>c＋d. ②充分性：若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2， 即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上，a＋b>c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件． 作差比较法证明不等式的步骤 (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负． 设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 证明：由a ，b 是非负实数，作差得 a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2) ＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )((a )5－(b )5)． 当a ≥b 时，a ≥ b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )((a )5－(b )5)≥0； 当a 0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． [典题2] 若a >0，b >0，且1a ＋1 b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值； (2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． [听前试做] (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2 ab ， 得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 综合法证明不等式的技巧 综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路．如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过“倒推”探索解题思路． 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 解：1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )·????1a ＋1b ＋1c ≥3·3abc ·3·31abc ＝9当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． [典题3] (2015·陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值． [听前试做] (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ， 则????? －b －a ＝2，b －a ＝4，解得????? a ＝－3， b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤ [(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当 4－t 3 ＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4. 柯西不等式的常见类型及解题策略 (1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件； (2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值； (3)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明． 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值； (2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数， 所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3. —————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————— [方法技巧] 证明不等式的方法和技巧 (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等． (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不 等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据． [易错防范] 比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论．其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号．个别题目也可用柯西不等式来证明． 1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，证明： (1)1a 3＋1b 3＋1 c 3＋abc ≥23； (2)πA ＋πB ＋π C ≥9. 证明：(1)因为a ，b ，c 为正实数， 由基本(均值)不等式可得1a 3＋1b 3＋1 c 3≥331a 3·1b 3·1c 3， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3 abc ， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3 abc ＋abc ， 而 3 abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23， 所以1a 3＋1b 3＋1 c 3＋abc ≥2 3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝6 3时取等号． (2)1A ＋1B ＋1C ≥331ABC ＝33ABC ≥3A ＋B ＋C 3＝9 π ， 所以πA ＋πB ＋π C ≥9， 当且仅当A ＝B ＝C ＝π 3 时取等号． 2．(2016·云南模拟)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立． (1)求a 的值； (2)设m >n >0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2 ≥2n ＋a . 解：(1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |， 则f (x )＝???? ? －3，x ≤－1，2x －1，－1 3，x ≥2， ∴f (x )的最大值为3. ∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ，∴a ≥3. 设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |＝???? ? －2x ＋1，x ≤－1，3，－1 2x －1，x ≥2， 则h (x )的最小值为3. ∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ，∴a ≤3.∴a ＝3. (2)由(1)知a ＝3. ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1 (m －n )2，且m >n >0， ∴(m －n )＋(m －n )＋1(m －n )2≥ 33 (m －n )(m －n )1 (m －n )2 ＝3， ∴2m ＋1 m 2－2mn ＋n 2 ≥2n ＋a . 3．设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值； (2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R )时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值． 解：(1)法一：f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1. 法二：f (x )＝???? ? 2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4， 7－2x ，x <3. 当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1. (2)(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝1， 故a 2＋b 2＋c 2≥1 14 ， 当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝3 14时取等号． 故a 2＋b 2＋c 2的最小值为1 14 . 4．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1) ab ＋bc ＋ac ≤1 3； (2) a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤1 3. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2 a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 5．(2016·长春质检)(1)已知a ， b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ， c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc . 证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0. 于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. (2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理，b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③ ①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2 a ＋ b ＋c ≥abc . 6．设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：????a ＋1a 2＋????b ＋1b 2＋????c ＋1c 2≥1003. 证明：????a ＋1a 2＋????b ＋1b 2＋c ＋1 c 2 ＝13(12＋12＋12)????a ＋1a 2＋????b ＋1b 2＋????c ＋1c 2≥131×????a ＋1a ＋1×b ＋1b ＋1×????c ＋1c 2＝131＋1 a ＋1 b ＋1 c 2＝131＋(a ＋b ＋c )1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝100 3 . 即原不等式成立． 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 选修4-5中的着名不等式 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多着名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。 绝对值的三角不等式（）： 定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。 绝对值的三角不等式一般形式： ，简记为。 柯西不等式（） 定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。 当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。 当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。 定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。 柯西不等式的一般形式（） 定理：设为实数，则 ，当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。 闵可夫斯基不等式（） 定理：设均为实数，则，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。 闵可夫斯基不等式的一般形式： 定理：设是两组正数，，则 或，当且仅当时，等号成立。 排序不等式（） 定理：设为两组实数为 的任一排列，则有。 当且仅当或时，等号成立。 排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。 切比晓夫不等式（）： 定理：设为任意两组实数， ①如果或，则有 ②如果或，则有 ①②两式，当且仅当或时，等号成立。 平均值不等式（） 定理：设为个正数，则，当且仅当时，等号成立。 当时，，当且仅当时，等号成立。 加权平均不等式（） 定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。 杨格不等式（）： 定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。 当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。 贝努利不等式（）： 定理：设，且，为大于1的自然数，则。 贝努利不等式的一般形式： （1）设，且同号，则； （2）设，则①当时，有；②当或时，有，①②当且仅当时等号，成立。 2016年04月15日基本不等式 一．选择题（共14小题） 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?山东模拟）已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实 数m的取值范围是（） A．m＞﹣10 B．m＜﹣10 C．m＞﹣8 D．m＜﹣8 5．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 6．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 7．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A． B．8 C．9 D．12 10．（2015?浙江模拟）函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为（） A．3 B．2 C．D． 11．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2019-2020学年高中数学 1.2基本不等式导学案新人教版选修4-5 【学习目标】1.了解两个正数的算术平均数和几何平均数的定义； 2.使学生理解并掌握基本不等式； 3.利用基本不等式及其变形证明不等式或求最值. 【重点难点】均值不等式的应用，“等号”是否取到的问题. 一、自主学习 要点1：定理1：如果R b a ∈,，那么 ，当且仅当 时，等号成立.要点2:（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2 ，当且仅当 时，等号成立. 注：应用定理2的条件：一正、二定、三相等. 要点3：如果b a ,都是正数，我们就称 为b a ,的算术平均， 为b a ,的几何平均.于是，基本不等式可以表述为： 要点4.已知b a ab b a ++,,22中一个为定值，其他两个的最值的求法. 二、合作，探究，展示，点评 题型一.利用基本不等式证明不等式： 例1．2log log ≥+a b b a 成立的必要条件是（ ） A.1,1>>b a ， B.10,0<<>b a C.()()011>--b a ， D.以上都不正确 思考题1：已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a .求证：8111111≥??? ??-??? ??-??? ??-c b a . 题型二.利用基本不等式求函数最值： 例2.设0>x ，则函数x x y 133- -=的最大值是 . 思考题2：已知2lg lg =+y x ，则 y x 11+的最小值为 . 题型三.基本不等式的实际应用： 例3.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远处？ 思考题3：在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？ 【课堂小结与反思】： 选修4--5 不等式选讲 一、课程目标解读 选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。 二、教材内容分析 作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示： 第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。 对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。 第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。 第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.2 第四题。 选修4-5中的著名不等式 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。 绝对值的三角不等式（）： 定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。 绝对值的三角不等式一般形式： ，简记为。 柯西不等式（） 定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。 当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。 当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。 定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。 柯西不等式的一般形式（） 定理：设为实数，则 ，当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。 闵可夫斯基不等式（） 定理：设均为实数，则，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。 闵可夫斯基不等式的一般形式： 定理：设是两组正数，，则 或，当且仅当时，等号成立。 排序不等式（） 定理：设为两组实数为 的任一排列，则有。 当且仅当或时，等号成立。 排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。 切比晓夫不等式（）： 定理：设为任意两组实数， ①如果或，则有 ②如果或，则有 ①②两式，当且仅当或时，等号成立。 平均值不等式（） 定理：设为个正数，则，当且仅当 时，等号成立。 当时，，当且仅当时，等号成立。 加权平均不等式（） 定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。 杨格不等式（）： 定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。 当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。 贝努利不等式（）： 定理：设，且，为大于1的自然数，则。 贝努利不等式的一般形式： （1）设，且同号，则； （2）设，则①当时，有；②当或时，有 ，①②当且仅当时等号，成立。 一、 a) 恒等关系是义务教育数学学习中的一种基本的关系。在义务教育的学习过程中，有哪些恒等关系是重要的？是需要学生掌握的？决定这些恒等关系的基本数学思想是什么？这些数学思想是怎么发挥作用的？ b) 在义务教育阶段也引入了事物之间的不等关系，同时也引出了一些重要的不等关系，例如，实数中的不等关系。我们还引出了一些不等关系的性质，例如，a>b>0,b>c>0就可以得出，a>c。建议同学们梳理一下在义务教育阶段所学的不等关系，体会不等关系与恒等关系的区别。 c) 在高中的必修5，我们设置了不等式的内容。它大体上由四部分内容组成。我们同学们梳理复习这四部分内容。 第一部分是，一些基本不等式的性质，例如，a>b,c>0得出，ac>bc等。 第二部分是，在学会解一元一次不等式的基础上，引入了一元二次不等式。 第三部分是，介绍了我们一个经常使用的不等式， 这个重要的不等式有许多不同的呈现形式，值得一提的是，它还有很多重要的几何形式。 第四部分是，简单的线性规划问题。解决线性规划问题是按照以下基本步骤实现的： 1）确定目标函数 2）确定目标函数的约束条件，即讨论这个目标函数的可行区域。利用不等式刻画目标函数的约束条件。 3）观察目标函数在可行区域内的变化趋势。 4）确定使得目标函数达到最大或最小值的解。 同学们应该思考的是，在讨论这些不等式的过程中什么思想发挥了作用。 d) 在我们上面分析的这些内容的学习中，我们可以体会到由运算思想所体现的恒等变换的能力。这种能力在研究不等式中发挥了重要的作用。建议同学们在教师的帮助下更好的发挥这种能力。 e) 由运算思想所体现的恒等变换的能力，是一种重要的逻辑推理的能力。在本专题中，提高这种能力是本专题的基本定位。建议教师思考在本专题中，如何体现这样一个基本定位。 f) 我们知道基本不等式，a2+b2≥2ab,它有着重要的几何背景。如图所示： 令AF=a,BF=b,则AB2=a2+b2,而S正方形ABCD≥4S⊿ABF 即，所以，a2+b2≥2ab， 当AF=BF时，正方形EFGH缩为一点，S正方形ABCD=44S⊿ABF 实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景，特别是重要的几何背景。 教师应思考这样的问题，如何引导学生体会和认识不等式的几何背景，以及这些几何背景在证明不等式的过程中发挥的几何意义？ g) 本专题我们主要介绍以下内容 （1）不等式的基本性质和基本不等式； （2）绝对值不等式及其几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明和求解一些绝对值不等式； 选修4－5不等式选讲 最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法． 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a； (2)|f(x)| 高考数学选修 不等式 课 题： 第01课时 不等式的基本性质 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。怎么证呢 二、不等式的基本性质： 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ，那么bb 。(对称性) 不等式选讲（高考试题汇编） 一、知识点整合： 1． 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)?f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|0)?－a 课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为 a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质： 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ，那么bb 。(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ?a>c 。 ③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ?a+c>b+c 。 推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac 第一讲 第2课时 A ．基础巩固 1．(2017年长春期末)已知x ，y 是正数且1x ＋9 y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．6 B ．12 C ．16 D ．24 【答案】C 【解析】x ＋y ＝(x ＋y )????1x ＋9y ＝1＋9＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9x y ＝10＋6＝16，当且仅当x ＝4，y ＝12时取等号，故x ＋y 的最小值是16.故选C ． 2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】C 【解析】一年的总运费与总存储费用之和为4x ＋400 x ×4＝4????x ＋400x ，∵x ＞0，∴4? ???x ＋400 x ≥4×2x ·400 x ＝160????当且仅当x ＝400x 即x ＝20时取“＝”. 3．(2017年昭通校级期末)已知a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．b a ＞b ＋1 a ＋1 B ．a ＋1a ＞b ＋1 b C ．a ＋1b ＞b ＋1 a D ．2a ＋b a ＋2b ＞a b 【答案】C 【解析】∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，∴a ＋1b ＞b ＋1 a .故选C ． 4．(2016年太原校级二模)若0＜y ≤x ＜π 2且tan x ＝3tan y ，则x －y 的最大值为( ) A ．π 4 B ．π 6 C ．π 3 D ．π2 【答案】B 【解析】∵0＜y ≤x ＜π 2且tan x ＝3tan y ，x －y ∈????0，π2，∴tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝ 2tan y 1＋3tan 2y ＝21tan y ＋3tan y ≤33＝tan π6，当且仅当3tan 2y ＝1时取等号，∴x －y 的最大值为π 6.故选B ． a 1 不等式选讲（高考试题汇编） 一、知识点整合： 1. 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)?f (x )>a 或 f (x )<－a ； (2)|f (x )|0)?－a 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、不等式的基本性质 1.比较实数大小的充要条件 对于任意两个实数a,b 有且只有下列三种情况之一成立： a>b ?a-b>0; ab ?b 数学·选修4－5(人教A版) 1.1不等式 1.1.2 基本不等式 一层练习 1．设x,y∈R,且x＋y＝5,则3x＋3y的最小值为( ) A．10 B．6 3 C．4 6 D．18 3 答案：D 2．下列不等式一定成立的是( ) A．lg(x2＋1 4 )>lg x(x>0) B．sin x＋1 sin x ≥2(x≠kπ,k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.1 x2＋1>1(x∈R) 不等式和绝对值不等式 解析：应用基本不等式：x ,y ∈R ＋,x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分 析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x >0时,x 2＋14≥2·x ·12＝x ,所以lg x 2＋14 ≥lg x (x >0),故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确；由基本不等式可知,选项C 正确；当x ＝0时,有 1x 2＋1＝1,故选项D 不正确． 答案：C 3．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 解析：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0,∴A 错误． 对于B,C,当a <0时,b <0时,明显错误． 对于D,∵ab >0,∴b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2. 答案：D 二层练习 4．(2013·福建卷)若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞) D．(－∞,－2] 解析：利用基本不等式转化为关于x ＋y 的不等式,求解不等式即可． ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ,2x ＋2y ＝1, ∴22x ＋y ≤1, ∴2x ＋y ≤14 ＝2－2, ∴x ＋y ≤－2, 高中数学 选修4--5知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性）b a > ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则） 0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 1 10;1 1 0>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：2 2 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 2 .2a b ab +?? ≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a a b a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 数学人教B 选修4-5第一章1.2 基本不等式 1．了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值． 2．理解定理1和定理2(基本不等式)． 3．探索并了解三个正数的算术—几何平均值不等式的证明过程． 4．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题． 1．定理1 设a ，b ∈__，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当____时，等号成立． 【做一做1】已知θ∈??? ?0，π 2，则sin θcos θ的最大值为__________． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式) (1)如果a ，b 为____，则a ＋b 2 ≥ab ，当且仅当____时，等号成立． (2)称______为正数a ，b 的算术平均值，____为正数a ，b 的几何平均值． (3)基本不等式可用语言叙述为：两个正数的________大于或等于它们的__________． (1)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者 要求a ，b 都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而(－1)＋(－4)2 ≥(－1)×(－4)不成立． (2)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2 ≥ab 都是带有等号的不等式．“当且仅当a ＝b 时，等号成立” 这句话的含义是“a ＝b ”是“＝”成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它，往往会导致解题错误． (3)由公式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2≥ab 可得到结论：①a b ＋b a ≥2(a ，b 同号)；②2 1a ＋1 b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22 (a ，b 是正数)． (4)定理中的a ，b 可以是数字，也可以是比较复杂的代数式． 【做一做2－1】下列不等式中正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2 B ．若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y C ．若x ＜0，则x ＋4x ≥－2x ·4 x ＝－4 D ．若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－ x ＝2 【做一做2－2】若log 2x ＋log 2y ＝4，则x ＋y 的最小值是__________． 3．定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式或平均值不等式) (1)如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3 ≥____，当且仅当________时，等号成立． (2)称________为正数a ，b ，c 的算术平均值，______为正数a ，b ，c 的几何平均值． (3)定理3可用语言叙述为三个正数的____________不小于它们的________． 【做一做3】已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D ．[3lg 2，＋∞) 高中数学选修不等式知识点总结 1、不等式的基本性质 ①（对称性）b a > ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则） 0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()22 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2 a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） 高二数学选修不等式易错知识点总 结 不等式是高二数学知识的理论基础之一，下面是小编给大家带来的，希望对你有帮助。 高二数学不等式易错知识点 1.利用均值不等式求最值时，你是否注意到“一正;二定;三等”。 2.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 3.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式分式不等式的注意事项是什么? 4.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上“综上，原不等式的解集是……”。 5.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。 6.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”。 高二数学学习方法 1记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 2建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来， 以防再犯。争取做到找错、析错、改错、防错。达到能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 3熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 4经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 6及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 7学会从多角度、多层次地进行总结归类。如①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
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