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2019届高考数学二轮复习学案_专题七_2_第2讲_不等式选讲_含解析

第2讲不等式选讲

年份2018 2017卷别

卷Ⅰ

卷Ⅱ

卷Ⅲ

卷Ⅰ

卷Ⅱ

卷Ⅲ

卷Ⅰ

考查内容及考题位置

绝对值不等式的解

法、不等式的恒成立

问题·T

23

绝对值不等式的解

法、不等式的恒成立

问题·T

23

含绝对值函数图象的

画法、不等式的恒成

立问题·T

23

含绝对值不等式的解

法、求参数的取值范

围·T

23

基本不等式的应用、

一些常用的变形及证

明不等式的方法·T

23

含绝对值不等式的解

法、函数最值的求

解·T

23

含绝对值函数图象的

画法、含绝对值不等

式的解法·T

24

命题分析

1.不等式选讲是高考

的选考内容之一,考

查的重点是不等式的

证明、绝对值不等式

的解法等,命题的热

点是绝对值不等式的

求解,以及绝对值不

等式与函数的综合问

题的求解.

2.此部分命题形式单

一、稳定,难度中等,

备考本部分内容时应

注意分类讨论思想的

应用.

含绝对值不等式的解

2016

卷Ⅱ法、比较法证明不等

式·T

24

含绝对值不等式的解

卷Ⅲ

法、绝对值不等式的

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性质· T

24

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绝对值不等式的解法(综合型)

含有绝对值的不等式的解法

(1)|f (x )|>a (a >0)?f (x )>a 或 f (x )<-a ;

(2)|f (x )|0)?-a

(3)对形如|x -a |+|x -b |≤c ,|x -a |+|x -b |≥c 的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.

[典型例题]

(2018· 太原模拟)已知函数 f (x )=|x +m |+|2x -1|.

(1)当 m =-1 时,求不等式 f (x )≤2 的解集;

3 (2)若 f (x )≤|2x +1|的解集包含 ,2 ,求 m 的取值范围.

【解】 (1)当 m =-1 时,f (x )=|x -1|+|2x -1|,

4

当 x ≥1 时,f (x )=3x -2≤2,所以 1≤x ≤ ;

3

1 1

2 2

1 1

当 x ≤ 时,f (x )=2-3x ≤2,所以 0≤x ≤ ,

2 2

4

综上可得原不等式 f (x )≤2 的解集为x|0≤x ≤ .

3 3 (2)由题意可知 f (x )≤|2x +1|在 ,2 上恒成立,当 x ∈ ,2 时,f (x )=|x +m |+|2x -1|=|x +m |+2x -

11 1≤|2x +1|=2x +1,所以|x +m |≤2,即-2≤x +m ≤2,则-2-x ≤m ≤2-x ,且(-2-x ) =- ,(2-x ) max 4

11 =0,因此 m 的取值范围为 - ,0 .

min

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|x -a |+|x -b |≥c (或≤c )(c >0),|x -a |-|x -b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.

(1)零点分区间法的一般步骤

①令每个绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根.

②将这些根按从小到大排列,把实数集分为若干个区间.

③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集. ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.

(2)利用绝对值的几何意义

4 3

4 4

4

由于|x -a |+|x -b |与|x -a |-|x -b |分别表示数轴上与 x 对应的点到 a ,b 对应的点的距离之和与距离之差,

因此对形如|x -a |+|x -b |≥c (或≤c )(c >0)或|x -a |-|x -b |≥c (或≤c )(c >0)的不等式,利用绝对值的几何意义求 解更直观.

[对点训练]

(2018· 合肥第一次质量检测)已知函数 f (x )=|2x -1|.

(1)解关于 x 的不等式 f (x )-f (x +1)≤1;

(2)若关于 x 的不等式 f (x )

解:(1)f (x )-f (x +1)≤1 |2x -1|-|2x +1|≤1,

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则 1 1 1 x ≥ , -

2x -2x -1≤1

或 x ≤- ,

1-2x +2x +1≤1,

1 1 1

解得 x ≥ 或- ≤x < ,

2 4 2 1

即 x ≥- ,

4

1 所以原不等式的解集为 - ,+∞ .

(2)由条件知,不等式|2x -1|+|2x +1|

则 m >(|2x -1|+|2x +1|) 即可.

min

由于|2x -1|+|2x +1|=|1-2x |+|2x +1|≥|1-2x +2x +1|=2,

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1 1 当且仅当(1-2x )(2x +1)≥0,即 x ∈ - , 时等号成立,故 m >2. 所以 m 的取值范围是(2,+∞).

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不等式的证明(综合型)

含有绝对值的不等式的性质

|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |.

算术—几何平均不等式

定理 1:设 a ,b ∈R ,则 a +b ≥2ab ,当且仅当 a =b 时,等号成立.

a +b

定理 2:如果 a ,b 为正数,则 ≥ ab ,当且仅当 a =b 时,等号成立.

2

a +

b +

c 3

定理 3:如果 a ,b ,c 为正数,则 ≥ abc ,当且仅当 a =b =c 时,等号成立.

3

定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a ,a ,…,a 为 n 个正数,则

1 2 n a +a +…+a 1 2 n

n ≥

或 1

2

4

2 2 2 2

n

a a…a,当且仅当a=a=…=a时,等号成立.

12n12n

[典型例题]

(2018·长春质量检测(一))设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.

(1)求集合A;

1-

abc

(2)若a,b,c∈A ,求证:

ab-c

>1.

【解】(1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|

2,x≥1,

2x,-1

由|f(x)|<2得-1

1-

abc

(2)证明:要证

ab-c

>1,只需证|1-abc|>|ab-c|,

只需证1+a b c>a b+c,只需证1-a b>c(1-a b),

只需证(1-a b )(1-c)>0,

由a,b,c∈A,得a b2<1,c<1,所以(1-a b)(1-c)>0恒成立.

1-

abc综上,

ab-c

>1.

证明不等式的方法和技巧

(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法.

(2)在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法或证明,其简化的基本思路是化去绝对值符号,转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略,而绝对值三角不等式,往往作为不等式放缩的依据.

[对点训练]

(2018·陕西教学质量检测(一))已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.

(1)解不等式f(x)≤3;

(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M,若t∈M,证明t

-3x,x≤-1,

2-x,-

1

解:(1)依题意,得f(x)=2

1

3x,x≥,

2

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22222222222

222

22222

2

1

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3

+1≥+3t.

t

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所以 f (x )≤3

1

1

x ≤-1, -1

解得-1≤x ≤1,

即不等式 f (x )≤3 的解集为{x |-1≤x ≤1}.

(2)证明:g (x )=f (x )+|x +1|=|2x -1|+|2x +2|≥|2x -1-2x -2|=3, 当且仅当(2x -1)(2x +2)≤0 时取等号,

所以 M =[3,+∞).

2 3 t -3t +t -3 (t -3)(t +

1) +1-3t - = = ,

t t t

因为 t ∈M ,

所以 t -3≥0,t +

1>0, (t -3)(t +

1) 所以 ≥0,

t 3

所以 t +1≥ +3t .

t

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含绝对值不等式的恒成立问题(综合型)

[典型例题]

(2018· 郑州第一次质量预测)设函数 f (x )=|x +3|,g (x )=|2x -1|.

(1)解不等式 f (x )

(2)若 2f (x )+g (x )>ax +4 对任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范围.

【解】 (1)由已知,可得|x +3|<|2x -1|,

即|x +3| <|2x -1| ,

所以 3x -10x -8>0, 2

解得 x <- 或 x >4.

3

2 故所求不等式的解集为 -∞,- ∪(4,+∞).

(2)由已知,设 h (x )=2f (x )+g (x )=2|x +3|+|2x -1|=

-4x -5,x ≤-3, 1 7,-3

1 4x +5,x ≥ .

2

当 x ≤-3 时,只需-4x -5>ax +4 恒成立,即 ax <-4x -9 恒成立,

-4x -9 9

因为 x ≤-3<0,所以 a > =-4- 恒成立,

x x

9 所以 a > -4- ,所以 a >-1;

max

2 2 -3x ≤3

2-x ≤3

3x

≤3, t 3 2 2 2 2 2 2 2 2

3

x

1

当-3ax +4 恒成立,即 ax -3<0 恒成立,

2

-3a -3≤0, 只需1 所以

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a -3≤0,

a ≥-1,

所以-1≤a ≤6; a ≤6,

1

当 x ≥ 时,只需 4x +5>ax +4 恒成立,即 ax<4x +1 恒成立.

2 1 4x +1 1

因为 x ≥ >0,所以 a < =4+ 恒成立.

2 x x 1 1

因为 4+ >4,且 x →+∞时,4+ →4,

x x

所以 a ≤4.

综上,a 的取值范围是(-1,4].

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绝对值不等式的成立问题的求解模型

(1)分离参数:根据不等式将参数分离化为 a ≥f (x )或 a ≤f (x )形式.

(2)转化最值:f (x )>a 恒成立?f (x ) >a ;f (x )a 有解?f(x ) >a ;f(x )

min max max

?f (x )

a 无解?f (x ) ≤a ;f (x )

(3)求最值:利用基本不等式或绝对值不等式求最值.

(4)得结论.

[对点训练]

1.(2018· 高考全国卷Ⅰ)已知 f (x )=|x +1|-|ax -1|.

(1)当 a =1 时,求不等式 f (x )>1 的解集;

(2)若 x ∈(0,1)时不等式 f (x )>x 成立,求 a 的取值范围.

-2,x ≤-1,

解:(1)当 a =1 时,f (x )=|x +1|-|x -1|,即 f (x )=

2x ,-11 的解集为{x|x > }. 2 2,x ≥1.

(2)当 x ∈(0,1)时|x +1|-|ax -1|>x 成立等价于当 x ∈(0,1)时|ax -1|<1 成立.

若 a ≤0,则当 x ∈(0,1)时|ax -1|≥1;

2 2

若 a>0,|ax -1|<1 的解集为 0

a a

综上,a 的取值范围为(0,2].

2.(2018· 洛阳第一次联考)已知函数 f(x )=|x +1-2a |+|x -a |,a ∈R ,g (x )=x -2x -4+

4 (x -1) 2

(1)若 f (2a -1)>4|a -1|,求实数 a 的取值范围;

(2)若存在实数 x ,y ,使 f (x )+g (y )≤0,求实数 a 的取值范

围. 解:(1)因为 f (2a -1)>4|a -1|,

21

2

2

.

2

2

所以|2a -2a |+|a -1|>4|a -1|,

所以|a -1|(2|a |+|a +1|-4)>0,

所以|2a |+|a +1|>4 且 a ≠1.

5

①若 a ≤-1,则-2a -a -1>4,所以 a<- ;

3

②若-14,所以 a <-3,此时无解; ③若 a ≥0 且 a ≠1,则 2a +a +1>4,所以 a >1.

5 综上所述,a 的取值范围为 -∞,- ∪(1

,+∞). 4

(2)因为 g (x )=(x -1) + -5

(x -1)

≥2

(x -1) 4

· -5=-1,显然可取等号, (x -1)

所以 g (x ) =-1.

min

于是,若存在实数 x ,y ,使 f (x )+g(y )≤0,只需 f (x ) ≤1.

min

又 f (x )=|x +1-2a |+|x -a |≥|(x +1-2a )-(x -a )|=(a -1) ,

所以(a -1)

≤1,所以-1≤a -1≤1,所以 0≤a ≤2,即 a ∈[0,2].

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1.(2018· 高考全国卷Ⅱ)设函数 f (x )=5-|x +a |-|x -2|.

(1)当 a =1 时,求不等式 f (x )≥0 的解集;

(2)若 f (x )≤1,求 a 的取值范围.

解:(1)当 a =1 时,

2x +4,x ≤-1,

f (x )=

2,-1<x ≤2,

2x +6,x >2.

可得 f (x )≥0 的解集为{x|-2≤x ≤3}.

(2)f (x )≤1 等价于|x +a |+|x -2|≥4.

而|x +a |+|x -2|≥|a +2|,且当 x =2 时等号成立.故 f (x )≤1 等价于|a +2|≥4.

由|a +2|≥4 可得 a ≤-6 或 a ≥2.所以 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 2.(2018· 开封模拟)已知函数 f (x )=|x -m |,m <0.

(1)当 m =-1 时,求解不等式 f (x )+f (-x )≥2-x ;

(2)若不等式 f (x )+f (2x )<1 的解集非空,求 m 的取值范围.

解:(1)设 F(x )=|x -1|+|x +1|

2 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2

= -2x ,x <-1,

2,-1≤x <1,G (x )=2-x ,

2x ,x ≥1.

由 F (x )≥G (x )解得{x|x ≤-2 或 x ≥0}.

(2)f (x )+f (2x )=|x -m |+|2x -m |,m <0.

设 g (x )=f (x )+f (2x ),当 x ≤m 时,g (x )=m -x +m -2x =2m -3x ,则 g (x )≥-m ; m

m

当 m

2 2 m m

当 x ≥ 时,g (x )=x -m +2x -m =3x -2m ,则 g (x )≥- .

2 2

m 则 g (x )的值域为 - ,+∞ , m

不等式 f (x )+f (2x )<1 的解集非空,即 1>- ,解得 m >-2,

2

由于 m <0,则 m 的取值范围是(-2,0).

3.(2018· 石家庄质量检测(一))已知函数 f(x )=|ax -1|-(a -2)x .

(1)当 a =3 时,求不等式 f (x )>0 的解集;

(2)若函数 f (x )的图象与 x 轴没有交点,求实数 a 的取值范围.

解:(1)当 a =3 时,不等式可化为|3x -1|-x >0,即|3x -1|>x ,

1 1

所以 3x -1<-x 或 3x -1>x ,即 x < 或 x > ,

4 2

1 1

所以不等式 f (x )>0 的解集为x|x < 或x > .

2x -1,x ≥ ,

(2)当 a >0 时,f (x )=

2(1-a )x +1,x < ,

a

要使函数 f (x )的图象与 x 轴无交点,

-1>0, 只需 即 1≤a<2;

2(1-a )≤0,

当 a =0 时,f (x )=2x +1,函数 f (x )的图象与 x 轴有交点,不合题意;

2x -1,x ≤ ,

当 a<0 时,f (x )=

2(1-a )x +1,x > ,

a

要使函数 f (x )的图象与 x 轴无交点,

只需

-1<0,

此时无解.

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2(1-a )≤0,

综上可知,若函数 f (x )的图象与 x 轴无交点,则实数 a 的取值范围为[1,2). 4.(2018· 高考全国卷Ⅲ)设函数 f (x )=|2x +1|+|x -1|.

2 4 2 1

a

1

2 a

1

a

1

2

a

(1)画出 y =f (x )的图象;

(2)当 x ∈[0,+∞)时,f (x )≤ax +b ,求 a +b 的最小值.

-3x ,x <- ,

解:(1)f (x )=

1

x +2,- ≤x <1,

2

3x ,x ≥1.

y =f (x )的图象如图所示.

(2)由(1)知,y =f (x )的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2,且各部分所在直线斜率的最大值为 3,故当且仅当 a ≥3 且 b ≥2 时,f (x )≤ax +b 在[0,+∞)成立,因此 a +b 的最小值为 5.

5.(2018· 石家庄质量检测(二))已知函数 f(x )=|2x -a |+|2x +1|.

(1)当 a =1 时,求 f (x )≤2 的解集;

1 a (2)若 g (x )=4x 2+ax -3.当 a >-1 且 x ∈ - , 时,

f (x )≥

g (x ),求实数 a 的取值范围.

2

解:(1)当 a =1 时,f (x )=

2,-12≤x ≤12. 4x ,x >

2

1

当 x <- 时,f (x )≤2 无解;

2 1 1 1 1 当- ≤x ≤ 时,f (x )≤2 的解集为x|- ≤x ≤ ; 2 2

1

当 x > 时,f (x )≤2 无解.

2

1 1

综上所述,f (x )≤2 的解集为x|- ≤x ≤ .

1

2

2 2 1

-4x ,x <-

1

2 2 2 2

1a

(2)当x∈-,时,f(x)=(a-2x)+(2x+1)=a+1,所以f(x)≥g(x)可化为a+1≥g(x).

a+1≥g-

1a1a

又g(x)=4x+ax-3在-,上的最大值必为g-、g之一,则,

a+1≥g

a≥-2

4

4,即-≤a≤2.-≤a≤2

3

又a>-1,所以-1

(1)当a=0时,求不等式f(x)+|x-2|≥3的解集;

(2)若对于任意函数x,不等式|2x+1|-f(x)<2a恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=0时,不等式可化为|2x|+|x-2|≥3,

x<00≤x≤2

得或

-2x+2-x≥32x+2-x≥3

1

解得x≤-或x≥1,

3x>2

2x+x-2≥3

1

所以当a=0时,不等式f(x)+|x-2|≥3的解集为-∞,-∪[1,+∞).

(2)对于任意实数x,不等式|2x+1|-f(x)<2a恒成立,即|2x+1|-|2x+3a2|<2a 恒成立.因为|2x+1|-|2x+3a|≤|2x+1-2x-3a|=|3a-1|,

所以要使原不等式恒成立,只需|3a-1|<2a.

313

当a<0时,无解;当0≤a≤时,1-3a<2a,解得

333

33

当a>时,3a-1<2a,解得

33

所以实数a的取值范围是,1.

7.(2018·福州模拟)已知函数f(x)=x-|x|+1.

(1)求不等式f(x)≥2x的解集;

(2)若关于x的不等式f(x)≥+a在[0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)不等式f(x)≥2x 等价于x-|x|-2x+1≥0,①

当x≥0时,①式化为x-3x+1≥0,

3+53-5

解得x≥或0≤x≤;

22

当x<0时,①式化为x-x+1≥0,

解得x<0,综上所述,不等式f(x)≥2x的解集为(2)不等式f(x)≥+a在[0,+∞)上恒成立,x|x≤

3-53+5

或x≥.

22

22

1

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2

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2

2222a

2

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3

2

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3

222

2

2

2

1

3

2

x

2

2

2

2

x

2

x

等价于-f (x )≤ +a ≤f (x )在[0,+∞)上恒成立,

2

x

等价于-x +x -1≤ +a ≤x -x +1 在[0,+∞)上恒成立,

2

1 3 等价于-x + x -1≤a ≤x - x +1 在[0,+∞)上恒成立,

2 2 1 1 2 15 15 1 由-x + x -1=- x - - ≤- (当且仅当 x = 时取等号), 2

x 3 3 2 7 7 3 - x +1= x - + ≥ (当且仅当 x = 时取等号), 2 4 15 7

所以- ≤a ≤ ,

16 16

15 7

综上所述,实数 a 的取值范围是 - , .

8.(2018· 武汉调研)已知函数 f(x )=x +2,g (x )=|x -a |-|x -1|,a ∈R .

(1)若 a =4,求不等式 f (x )>g (x )的解集;

(2)若对任意 x ,x ∈R ,不等式 f (x )≥g (x )恒成立,求实数 a 的取值范围.

1

2

1

2

解:(1)当 a =4 时,不等式 f (x )>g (x )为 x +2>|x -4|-|x -1|,

g(x )=|x -4|-|x -1|=

-3,x ≥4, -2x +5,1

3,x ≤1.

①当 x ≥4 时,x +2>-3 恒成立,所以 x ≥4.

②当 1

2>-2x +5,即 x +2x -3>0,得 x >1 或 x <-3, 所以 1

③当 x ≤1 时,x +2>3,则 x >1 或 x <-1,所以 x <-1.

由①②③可知不等式 f (x )>g (x )的解集为{x|x <-1 或 x >1}.

1-a ,x ≥a ,

(2)当 a ≥1 时,g (x )=

a +1-2x ,1

a -1,x ≤1,

要使 f (x )≥g (x ),只需 2≥a -1,则 a ≤3,

1

2

所以 1≤a ≤3.

-a +1,x ≥1,

当 a<1 时,g (x )=

2x -a -1,a

要使 f (x )≥g (x ),只需 2≥1-a ,则 a ≥-1,所以-1≤a <1. 1

2

综上,实数 a 的取值范围是[-1,3].

2 2

2 2 2 4 16 16 4 2 4 16 16

16 16 2

2

2

2 2 2

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