高考数学总复习配套教案：7.1合情推理与演绎推理

第七章 推理与证明第1课时

合情推理与演绎推理(对应学生用书(文)、

(理)93～94页)

考情分析

考点新知

能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别．

① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发

现中的作用.

② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和

差异.

1. (选修12P 35练习题4改编)“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝????13x

是指数函数(小前提)，所以y ＝????13x

是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是______________. 答案：大前提错误

解析：y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．

2. (选修12P 35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程________________________________________________________________________

________________________________________________________________________. 答案：每一个矩形的对角线相等(大前提) 正方形是矩形(小前提) 正方形的对角线相等(结论)

3. (选修12P 29练习题3(2) 改编)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________.

答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 解析：等式右边的底数为左边的项数．

4. (选修12P 29练习题3(2)改编)观察下列等式： 21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝16

3；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．

答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n

×(n ＋1)(n ∈N *)

解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1

n

×(n ＋1)＝

（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1

n

×(n ＋1)(n ∈N *)． 5. 已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝1

2

×底×高，

可得扇形的面积公式为________．

答案：12

rl

1. 归纳推理

(1) 归纳推理的定义

从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．

(2) 归纳推理的思维过程大致如图

实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论

(3) 归纳推理的特点

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．

2. 类比推理

(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．

(2) 类比推理的思维过程

观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论

3. 演绎推理

(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．

(2) 主要形式是三段论式推理．

(3) 三段论的常用格式为

M —P(M是P)①

S－M(S是M)②

S —P(S是P)③

其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；

③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

[备课札记]

题型1 归纳推理

例1 在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝1

2?

???a n ＋1a n . (1) 求a 1，a 2，a 3；

(2) 由(1)猜想数列{a n }的通项公式； (3) 求S n .

解：(1) 当n ＝1时，S 1＝1

2????a 1＋1a 1，即a 21－1＝0，解得a 1＝±1.∵ a 1>0，∴ a 1＝1； 当n ＝2时，S 2＝1

2?

???a 2＋1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0. ∵ a 2>0, ∴ a 2＝2－1.同理可得，a 3＝3－ 2. (2) 由(1)猜想a n ＝n －n －1.

(3) S n ＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n. 变式训练

已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n

1－a n

(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2007

＝________．

答案：－1

2

3

解析：(解法1)分别求出a 2＝－3、a 3＝－12、a 4＝1

3、a 5

＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4

＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.

(解法2)由a n ＋1＝1＋a n 1－a n

，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tan θ，则有a 2＝tan ????π

4＋θ，

a 3＝tan ????π2＋θ，a 4＝tan ???

?3π

4＋θ，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，

故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3. 题型2 类比推理

例2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正

方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2

4

.类比到空

间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

答案：a 3

8

解析：在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如图1)，即OM ＝ON.四边形

OPAR 是圆内接四边形，Rt △OPN ≌Rt △ORM ，因此S 四边形OPAR ＝S 正方形OMAN ＝1

4

a 2.

同样地，类比到空间，如图2.

两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为1

8

a 3.

备选变式（教师专享）

已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置

无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

解：类似的性质为：若M 、N 是双曲线：x 2a 2－y 2

b

2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是

双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：

设点M 的坐标为(m ，n)，则点N 的坐标为(－m ，－n)，其中m 2a 2－n 2

b

2＝1.

又设点P 的坐标为(x ，y)，由k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m ，得k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2

x 2－m 2

，

将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2

a 2m 2－

b 2

代入得k PM ·k PN ＝b 2a

2.

题型3 演绎推理

例3 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋2

2

≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M(n ∈N *，M 是与n 无关的常

数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．

(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由． 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，

则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）

2

d ＝－n 2＋9n.

(2) 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2

＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22

＝－????n －922＋81

4(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20.即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.

综上，数列{S n }是“特界”数列． 备选变式（教师专享）

设数列{}a n 满足a 1＝0且11－a n ＋ 1 －1

1－a n

＝ 1.

(1) 求{}a n 的通项公式；

(2) 设b n ＝1－a n ＋1

n

，记S n ＝k ＝1n b k ，证明：S n <1.

(1)解： 由题设11－a n ＋1－1

1－a n

＝1，

即??????

11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n

＝n.所以a n ＝1－1n .

(2) 证明： 由(1)得

b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，

S n ＝

1

1

1

1

1

(

)1111

n n

k k

k b k k n ===

-=-<++邋

1. 观察下列不等式：

1＋122＜32；1＋122＋132＜53；1＋122＋132＋142＜7

4

；…；照此规律，第五个不等式是________． 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<11

6

2. 观察下列各式：a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3；a 3＋b 3＝4；a 4＋b 4＝7；a 5＋b 5＝11；…；则a 10

＋b 10＝________．

答案：123

解析：(解法1)由a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3得ab ＝－1代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10

＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.

(解法2)令a n ＝a n ＋b n ，易得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10

＝123.

3. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

答案：1∶8

解析：考查类比的方法，V 1V 2＝13S 1h

113

S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝1

8

，所以体积比为1∶8.

4. (选修12P 31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半

径等于这正三角形的高的1

3

”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球

半径等于这个正四面体的高的________ .

答案：14

解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h ，底面面积为S ，正四面体SABC 的内切球的半径为R ，球心为O ，连结OS 、OA 、OB 、OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V S ABC

＝V O SAC ＋V O SAB ＋V O SBC ＋V O ABC ＝13SR ＋13SR ＋13SR ＋13SR ＝43SR ＝13Sh ，所以R ＝1

4h.

5. (2013·镇江期末)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，3

1×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×2

3，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×1

2

n ＝________

． 答案：1－1

（n ＋1）·2n

1. (2012·江西文)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12 ….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为________．

答案：80

解析：由已知条件，得|x|＋|y|＝n(n ∈N *)的整数解(x ，y)个数为4n ，故|x|＋|y|＝20的整数解(x ，y)的个数为80.

2. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列S n n 为等差数列，公差为d

2.类似

地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{n

T n }为等比数列，公比为________．

答案：q

解析：T n ＝b n 1q n （n －1）2

，n T n ＝b 1(q)n －1.

3. 若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为m

n

，如图，在长方

体ABCDA 1B 1C 1D 1中，四面体A 1ABC 的直度为________．

答案：1

解析：n ＝4，m ＝4，m n ＝4

4＝1.

4. 若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1、

P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a2＋y 0y

b

2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，

y 0)在双曲线x 2a 2－y

2b

2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则

切点弦P 1P 2所在的直线方程是________．

答案：x 0x a 2－y 0y b

2＝1

解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过P 1、P 2的切线方程分别是x 1x a2－y 1y

b

2＝

1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b

2＝1.

这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x

a

2

－y 0y b 2＝1.

1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．

2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．

3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．

4. 合情推理仅是符合情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．

请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.

[备课札记]

高中数学-合情推理与演绎推理测试题

合情推理与演绎推理测试题 本卷共100分，考试时间90分钟 一、选择题 (每小题4分，共40分) 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式．．． 是 （A ）94H C （B ）114H C （C ）104H C （D ）124H C 2. 四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上（如图），第一次前后排动物互换位置，第二次左右列互换座位，……，这样交替进行下去，那么第2010次互换座位后，小兔的位置对应的是（ ） 开始 第一次 第二次 第三次 A.编号1 B.编号2 C.编号3 D.编号4 4. 记集合3124234{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},{,1,2,3,4}10101010 i a a a a T M a T i ==+++∈=，将 M 中的元素按从大到小排列，则第2011个数是（ ） 2345573. 10101010A +++ 2345572.10101010B +++ 2347989.10101010C +++ 2347991.10101010 D +++ 5. 黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案，则第2011个图案中 ， 白 色 地 面 砖 的 块 数 是 ( ) A ．8046 B ．8042 C ．4024 D ．6033

6. 如图.五角星魅力无穷,移动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动,当第一次结束回到A 处时,数字为6,按此规律无限运动,则数字2010应在 A. B 处 B. C 处 C. D 处 D. E 处 7. 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数 都超过50人； B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质； C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平 分； D.在数列}{n a 中，)1 (21,11 11--+= =n n n a a a a ，由此归纳出}{n a 的通项公式. 8. 已知0x >，由不等式322211444 22,33,,2222x x x x x x x x x x x x +≥?=+=++≥??=L 可以推出结论：*1(),n a x n n N a x +≥+∈则=（ ） A ．2n B ．3n C ．n 2 D ．n n 9. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为}{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中 201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信 息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是 .A 11010 .B 01100 .C 10111 .D 00011 10. 下列推理过程是演绎推理的是（ ） A.两条直线平行，同旁内角互补，由此若,A B 行是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则180A B ???

合情推理演绎推理(带答案)

合情推理 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．． 等．式． 为3333332 12345621+++++=。 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 答案：962 3：与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 213122+<，221151,233 ++<22211171, 2344............. +++< 由上可得出一般的结论为： 。 答案： 22211121 1......,23(1)1n n n ++ ++<++ 练习、由 331441551 ,,221331441 +++>>> +++。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。

高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)

2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理 教学目标： 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点： 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学过程 一、引入新课 1归纳推理 (一)什么是归纳推理 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。 拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。 (二)归纳推理与演绎推理的区别和联系 归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。 归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。 (三)观察与实验 归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，

历年高考数学真题精选46 推理与证明

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示

四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )

苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：

高考数学 合情推理与演绎推理

第36讲 合情推理与演绎推理 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理． ②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别 __ 到__ 一般__的推理． (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理． ②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__. ③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) (3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×) 解析(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理． (2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适． (3)正确．因为大前提错误，所以结论错误． (4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确． 2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C) A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(B) A．28B．32 C．33D．27 解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x－20＝12，因此x＝32. 4．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是(B) A．0B．1 C．2D．3 解析只有③正确． 5．观察下列不等式： 1＋1 22＜3 2， 1＋1 22＋1 32＜ 5 3，

高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题修订稿

高中数学合情推理与演 绎推理专题自测试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题 【梳理自测】 一、合情推理 1．(教材习题改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27 2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高 2 ，可推知扇形面积公式 S 扇 等于( ) A.r2 2 B. l2 2 C.lr 2 D．不可类比 3．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°. 答案：1.B 2.C 3.B 4.①②④ ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

合情推理和演绎推理训练

合情推理和演绎推理训练

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推理与证明 ★知识网络★ 第１讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ １.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理． 从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由 已知推出的判断,叫结论. ２、合情推理： 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: （1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般 原理；（2)小前提--－所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判 断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别推 理 推 证合情演绎归类直接间接 数学综 分 反

与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题１:观察：715211+<; 5.516.5211+<； 33193211-++<;…. 对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与 抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真 命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一,答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论）进行推理 问题3:定义[ｘ]为不超过ｘ的最大整数，则[-2.１］= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]＝-3 ★热点考点题型探析★ 考点１ 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 ［例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(１）结构的一致性，(２)观察角的“共性” [解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα＝右边 【名师指引】(1）先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周 期性） ［例2 ] (0９深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组 蜂

3 第3讲 合情推理与演绎推理

第3讲 合情推理与演绎推理 1．推理 (1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程． (2)分类：推理? ? ???合情推理 演绎推理 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式： 三段论???? ?①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n － 1

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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高考数学试题汇编合情推理与演绎推理

第二节 合情推理与演绎推理 高考试题 考点一 合情推理 1.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55 =3125,56 =15625,57 =78125,…,则52011 的末四位数字为( ) (A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125 解析:∵55 =3125,56 =15625,57 =78125,58 =390625, 59 =1953125,510 =9765625,…, ∴5n (n ∈Z 且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化, 记5n (n ∈Z 且n ≥5)的末四位数为f(n), 则f(2011)=f(501×4+7)=f(7), ∴5 2011 与57 的末四位数字相同,均为8125. 答案:D 2.(2012年湖北卷,理13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则 (1)4位回文数有 个; (2)2n+1(n ∈N +)位回文数有 个. 解析:1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有 1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共90个,5位回文数中,首末位数字不能为0,有9种选法,第2、4位数字有10种选法,第3位数字有10种选法,故5位回文数共有9×102 =900个,故猜想2n+1(n ∈N +)位回文数有9×10n 个. 答案:(1)90 (2)9×10n 3.(2013年陕西卷,理14)观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12 -22 +32 -42 =-10, … 照此规律,第n 个等式可为 . 解析:观察规律可知,第n 个式子为12 -22 +32 -42 +…+(-1)n+1n 2 =(-1)n+1 ()12 n n +. 答案:12 -22 +32 -42 +…+(-1)n+1n 2 =(-1) n+1()12 n n + 4.(2012年陕西卷,理11)观察下列不等式 1+212<32, 1+212+213<53, 1+ 212+213+214<74 , …

高中数学《合情推理—归纳推理》公开课优秀教学设计

《合情推理—归纳推理》教学设计 （人教A版高中课标教材数学选修1—2第二章2.1第一课时） 2016年10月

《归纳推理》教学设计 一、教学内容分析 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修1—2第二章《推理与证明》2.1《合情推理与演绎推理》的第一课时《归纳推理》，归纳推理为合情推理的一个类型.本课作为本章节的起始课要了解推理的含义，通过实例进一步了解归纳推理的含义，通过对归纳推理过程的感知，了解推理过程，进而能利用归纳进行简单的推理. 归纳推理是合情推理的一个重要类型，数学发现的过程往往包含有归纳推理的成分，在人类文明、创造活动中，归纳推理也扮演了重要的角色.归纳推理是作为一种思维活动存在的，教学的内容不是学习某一具体知识，而是感悟一系列的思维过程，逐步形成一种“思维习惯”，作为起始课形成习惯是困难的，但体验“过程”是相对容易的，“体验之旅”将成为本节课的主线.归纳推理的过程我们概括为“观察—分析—归纳—猜想”，对于“证明”我们暂不做要求，因此重点感悟归纳推理的过程，证明做适当引导. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，这本身就体现了特殊与一般的数学思想，由于猜想结果超出了前提界定的范围，前提与结论之间的联系不是必然的，这又体现了必然与或然的数学思想.本课中的实例在数学史中都是赫赫有名的，“四色猜想”、费马数、哥德巴赫猜想、问题4中的毕达哥拉斯平方数等，这些实例展现了一代代数学家对于数学的好奇心和想象力体现了他们不畏困难，坚持不懈的探索精神，抓住这些内容可以培养学生“勇于探究”的精神，这一精神正是新一轮课程改革强调的学生核心素养中“科学精神”的重要体现。新一轮的课程改革即将到来，作为普通教师也有必要在教学中未雨绸缪，避免大寒索裘.数学思想和数学文化将作为本课的一条暗线穿插于教学内容之中. 本节课的教学重点：了解归纳推理的含义，通过实例，掌握“观察—分析—归纳—猜想”的推理过程. 二、教学目标设置

合情推理与演绎推理的意义

合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

合情推理演绎推理(带标准答案)

合情推理演绎推理（带答

案）

作者: 日期:

1:与代数式有关的推理问题 2 a b a b a b , 例1、观察a 3 b 3 a b 2 a ab b 2 进而猜想a n b n 4 a b 4 a b 3 a a 2 b ab 2 b 3 练习：观察下列等式： 13 23 以 3 3 , 1 23 33 6, 13 2" 33 43 10,…，根据上述规律，第五个 等式为 o 解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1+2+.. .+ (i+1 )的平方所以第五个 等式为13空 33 43 5" 21 o 2:与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 练习：观察下列等式: ① COS2 a =2 cos 2 a — 1 ； 4 2 ② cos 4 a =8 cos a — 8 COs a +1 ； ③ cos 6 a =32 cos 6 a — 48 cos 4 a+ 18 cos 2 a — 1； ④ cos 8 a = 128 cos a — 256cos a+ 160 cos a — 32 cos a + 1 ； 10 8 6 4 2 ⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ； 可以推测，m — n+p= . 答案：962 3:与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 1 3 1 1 5 4 1 1 1 7 1尹2「豕孑护豕孕了？由上可得出一般的结论为： ____________________________________________________ 。 .1 1 1 2n 1 答案：1 22 32 ……(n 1)2 n 1， 练习、由 3 5 口 oooooo 可猜想到一个一般性的结论是： _________________________ 。 2 2 1 3 3 1 4 4 1 合情推理 sin 2 30 0 sin 2 60 0 ? 2 Ar 0 sin 45 sin 15 ? 2 “ 0 sin 90 sin 2120 sin 2105 sin 2 75 0 . 2 * LC 0 sin 150 sin 2180 sin 2165 2 X CL 0 sin 135