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河南省潢川一中2013届高三数学(文)综合训练(六) Word版含答案]

2012-2013潢川一中高三数学（文）综合测试六

命题人：王辉时间：2013-4-8

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分

1．集合}1,0,1{},2|{-==∈=B y R y A x ，则下列结论正确的是（）（A ）}1,0{=B A （B ）),0(+∞=B A （C ）)0,()(-∞=B A C R （D ）}0,1{)(-=B A C R

2．若复数z 满足i z i 31)3(+-=-（其中i 是虚数单位），则z 的实部为（）（A ）6 （B ）1 （C ）1- （D ）6-

3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（）（A ）8，8 （B ）9，7 （C ）10，6 （D ）12，4 4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：

①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 5．函数x

x x f 1

ln )(-

=的零点所在区间是（）（A ）1(0,)2

（B ）1(,1)2

（C ）(1,2) （D ）(2,3)

6．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（）

（A ）4 （B ）8 （C ）10 （D ）12

7．对于命题p ：双曲线

)0(1422

2>=-b b y x 的离心率为2；命题q ：椭圆

)0(12

2>=+b y b x 的离心率为23，则q 是p 的（）

（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件

侧视图

正视图

8．在ABC ?中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，若2

22a bc c b =-+，且

3=b

，则角C 的值为（）

（A ）?45 （B ）?60 （C ）?90 （D ）?120 9．已知首项是1的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，08462=-a a a ，则=2

S S （）（A ）5 （B ）8 （C ）8- （D ）15

10．已知函数x e x f x +=)(，b ax x g +=)((0>a )，若对]2,0[1∈?x ，]2,0[2∈?x ，使得)()(21x g x f =，则实数a ,b 的取值范围是（）

（A ）2102+≤

02+≤

（C ）212+≥e a ,1≥b （D ）2

2+≥e a ,1≤b

11．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（）（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4

成中心对称（B ）两个函数的图象均关于直线4

x π

=-成轴对称（C ）两个函数在区间(,)44

ππ

上都是单调递增函数（D ）两个函数的最小正周期相同

12．函数2

cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式)1()(ln f x f <的解集为（）

（A ）),0(e （B ）),1(e （C ）),1(e e （D ）),1(),1(e e e

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知数列}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若279=S ,则423a a -等于．

14．设,,是单位向量，且+=，则向量,的夹角等于____________．

15．已知抛物线)0(2:2

>=p px y C 的准线为l ，过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相

交于点A ，与C 的一个交点为B ，若MB AM =，则p 等于____________． 16．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，

使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体

ABCD 外接球表面积为____________．

三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）

函数)2

||,0,0)(sin()(π

?ω?ω<>>+=A x A x f 的一段图象如图

所示．（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）求函数)(x f 的单调减区间，并求出)(x f 的最大值及取到最大值时x 的集合；（18）（本小题满分12分）

某校从参加高三一模考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：

（1）请把表中的空格都填上，并估计高三学生成绩在85分以

上的比例和全体同学的平均分；

（2）为了帮助成绩差的同学提高成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从)100,90[成绩中选两名同学，共同帮助)50,40[中的某一位同学。已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率（19）（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为菱形，

PAD ?为等边三角形，平面⊥PAD 平面A B C D ，且

2,60=?=∠AB DAB ，E 为AD 的中点．（1）求证：PB AD ⊥；

（2）求点E 到平面PBC 的距离.

（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

，过焦点

且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当3||=

AB 时，

求实数t 的值．

（21）（本小题满分12分）已知函数x e x g x x f ==)(,ln )( （1）若函数1

)()(-+-

=x x x f x ?，求函数)(x ?的单调区间；（2）设直线l 为函数)(x f 的图像上的一点))(,(00x f x A 处的切线，证明：在区间),1(+∞上

存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB 是⊙O 的直径，弦CA BD ,的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．

求证：（1）2

CE CE AC DE BE =?+?；（2）B C F E ,,,四点共圆．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为???-=--=t

y t

x 322（t

为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点

（1）求||AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)4

22(π

，求点P 到线段AB 中点M 的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数

)|5||1(|log )(2a x x x f --+-=

（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的

取值范围．

高三数学（文）综合测试六参考答案

一、选择题

1D 2A 3B 4D 5 C 6B 7C 8C 9A 10 D 11C 12C 二、填空题 13、6- 14、3π 15、2 16、3

13π 三、解答题：

17．解（1）解（1）由图知ππ

π4

,3=

-==T A ， ∴π5=T ，∴52=

ω，∴)5

sin(3)(?+=x x f …… 2分 ∵)(x f 的图象过点)3,4(-π，∴)58sin(33?π+=-，∴Z k k ∈-=+,2

258π

π?π，∴Z k k ∈-=,10

212π

π?， ∵2

||π

，∴10

=，∴)10

52sin(

3)(π

-=x x f …… 6分（2）由Z k k x k ∈+≤-≤

3210522

2π

πππ

π 解得函数)(x f 的单调减区间为Z k k k ∈++

],45,2

35[πππ

π，…… 9分函数)(x f 的最大值为3，取到最大值时x 的集合为

},2

35|{Z k k x x ∈+

=π

π .…… 12分 18解：（1）

高三学生成绩在85分以上的比例约为0.2；

.7308.09524.0853.07528.06506.05504.045=?+?+?+?+?+?

估计平均分约为8.73分 …… 6分

（2）将)100,90[中的4人记为,,,321a a a 甲；)50,40[中的2人记为

b 和乙

则所有的分组结果为

乙）,,(),,,(2121a a b a a ，

乙）,,(),,,(3131a a b a a ，甲，乙）甲，（,(),,11a b a ，

乙）,,(),,,(3232a a b a a ，

分组频数频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[ 3 0.06 )70,60[ 14 0.28 )80,70[ 15 0.30 )90,80[

12 0.24 )100,90[

4 0.08 合计

甲，乙）甲，（,(),,22a b a ，甲，乙）甲，（,(),,33a b a ，共12种，甲乙恰好在一组的结果有甲，乙）,(1a ，甲，乙）,(2a ，甲，乙）,(3a 3种，设“甲乙恰好在一组”为事件A ，则4

123)(==

A P …… 12分 19．解（1）证明：连接PE ，E

B ，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ?为等边三角形，

E 为AD 的中点，所以⊥PE 平面ABCD ，AD PE ⊥ …… 2分

因为四边形ABCD 为菱形，且?=∠60DAB ，E 为AD 的中点，所以AD BE ⊥…… 4分

E BE PE = ，所以⊥AD 平面PBE ，所以PB AD ⊥ …… 6分

（2）过E 作PB EF ⊥

由（1）知⊥AD 平面PBE ，∵AD ∥BC ∴⊥BC 平面PBE 平面PBC ⊥平面PBE,又平面PBC ∩平面PBE =PB,故⊥EF 平面PBC

PB EB PE EF …… 12分 20解（1）

由已知2c e a ==，所以2234c a

=，所以22224,3a b c b ==

所以222214x y b b += 又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为2

21b a =所以1b = …… 3分所以2

214

x y += …… 4分

（2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y

设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得

(3)14

y k x x y =-???+=??

整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=2

2416(91)(14)0k k k ?=--+> 得

15k < 22121222

24364,1414k k x x x x k k -+=?=++ …… 6分

1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=

224(14)

k t k +

[]12122116()()6(14)

y y y k x x k t t t k -=+=+-=

+由点

在椭圆上得

22222(24)(14)k t k ++2222

1444(14)

k t k =+ 22

236(14)k t k =+ …… 8分

又由34)(1||212212=-++=x x x x k

AB , 所以2212(1)()3k x x +-<

(1)k +3]41)436(4)41(24[

22242=+--+k k k k 解得812

=k …… 10分由2

36(14)k t k =+得22

369

91414k t k k ==-++

所以3±=t …… 12分

21解：（1）2

22)1(1

)1(21)(-+=

-+='x x x x x x ? …… 2分 1,0≠>x x ，0)(>'∴x ?，增区间为（0,1）和（1，+∞） …… 4分

（2）,1)(,1)(00x x f x x f ='∴=

' 切线方程为)(1

ln 00

0x x x x y -=-① ……6分设)(x g y l =与切于点),,(11x

e x 010

ln ,1

,)(1

x x x e

e x g x x

-=∴=

∴=' ， l ∴方程0

0001ln 1x x x x x y ++=

，② …… 8分由①②可得1

ln ,1ln 1ln 00

00000-+=∴+=

-x x x x x x x ，由（1）知，1

ln )(-+-

=x x x x ?在区间),1(+∞上单调递增，又01211ln )(<--=-+-

=e e e e e ?，01

311ln )(22222

2>--=-+-=e e e e e e ?，由零点存在性定理，知方程0)(=x ?必在区间),(2

e e 上有唯一的根，这个根就是0x ，故在区间),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切 …… 12分 22证明：（1）,~CDE ABE ?? DE AE CE BE ::=∴，

∴2CE CE AC DE BE =?+? …… 5分

（2） AB 是⊙O 的直径，所以?=∠90ECB ，BE CD 2

∴， BF EF ⊥，

BE FD 2

∴，∴B C F E ,,,四点与点D 等距，∴B C F E ,,,四点共圆 …… 10分 23解（1）直线l 的参数方程为标准型???

???

+=+-=t y t x 232212（t 为参数） …… 2分

代入曲线C 方程得01042

=-+t t

设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ，所以142||||21=-=t t AB …… 5分（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分所以点P 在直线l ， …… 7分中点M 对应参数为

1-=+t t ，由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……1 0分 24解（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域，即解05|5||1|>--+-x x 不等式

…… 2分

所以定义域为21|{<

x x 或}2

>x …… 5分（2）设函数)(x f 的定义域为A ，因为函数)(x f 的值域为R ，所以A ?+∞),0(…… 7分由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1| …… 9分所以04≤-a 所以4≥a …… 10分