数学渣必备!如何做几何证明题(含答案)

14、如何做几何证明题

【知识精读】

1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】

1、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF

C

F

B

A E

D

图1

分析：由?ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=?A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明：连结CD

AC BC A B

ACB AD DB

CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD

=∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，

∴?∴=??A D E CDF

DE DF

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F

D

B

C

F

E A

图2

证明：连结AC 在?ABC 和?CDA 中，

AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF

BE DF

===∴?∴∠=∠==∴=，，，??()

在?BCE 和?DAF 中，

BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F

=∠=∠=???

?

?∴?∴∠=∠??()

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：

（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示，设BP 、CQ 是?ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。

求证：KH ∥BC

A

B

C M

N

Q P

K

H 图3

分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。同理，延长AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。

证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M ∵BH 平分∠ABC ∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH

∴==?∠∠A H B N H B 90 BH ＝BH

∴?∴==??ABH NBH ASA BA BN AH HN

()，

同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是?AMN 的中位线 ∴KH MN // 即KH//BC

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4. 已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =?==90。 求证：FD ⊥ED

B

C A F

E

D

3

21图4

证明一：连结AD

AB AC BD DC

DAE DAB

BAC BD DC

BD AD

B DAB DAE

==∴+=?==?=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090

在?ADE 和?BDF 中，

AE BF B DAE AD BD ADE BDF

FD ED

===∴?∴∠=∠∴∠+∠=?∴⊥，∠∠，??31

3290

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用

辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED 到M ，使DM ＝ED ，连结FE ，FM ，BM

B

C

A E

F

D M

图5

BD DC

BDM CDE DM DE BDM CDE CE BM C CBM BM AC

A ABM A

AB AC BF AE AF CE BM

=∠=∠=∴?∴=∠=∠∴∠=?

∴∠=?=∠==∴==，，，??//9090

∴?∴==∴⊥??AEF BFM FE FM DM DE FD ED

说明：证明两直线垂直的方法如下：

（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。

3、证明一线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

例5. 已知：如图6所示在?ABC 中，∠=?B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

求证：AC ＝AE ＋CD

图6

B C

A

E

D

F O

1423

5

6

分析：在AC 上截取AF ＝AE 。易知??AEO AFO ?，∴∠=∠12。由∠=?B 60，知∠+∠=?∠=?∠+∠=?566016023120，，。∴∠=∠=∠=∠=?123460，得：

??FOC DOC FC DC ?∴=，

证明：在AC 上截取AF ＝AE

()

∠=∠=∴?∴∠=∠BAD CAD AO AO

AEO AFO SAS ，??42

又∠=?B 60

∴∠+∠=?∴∠=?

∴∠+∠=?∴∠=∠=∠=∠=?∴?∴=566016023120123460??FOC DOC AAS FC DC

()

即AC AE CD =+

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=?EAF 45。 求证：EF ＝BE ＋DF

G

B E

C A

F

D

12

3图7

分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB 至G ，使BG ＝DF 。

证明：延长CB 至G ，使BG ＝DF

在正方形ABCD 中，∠=∠=?=ABG D AB AD 90，

∴?∴=∠=∠??ABG ADF SAS AG AF ()，13

又∠=?EAF 45

∴∠+∠=?

∴∠+∠=?23452145

即∠GAE ＝∠FAE ∴=∴=+GE EF

EF BE DF

4、中考题：

如图8所示，已知?ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED

E B

D F A

C 图8

证明：作DF//AC 交BE 于F ?ABC 是正三角形 ∴?BFD 是正三角形

又AE ＝BD

∴==∴==AE FD BF

BA AF EF

即EF ＝AC

AC FD

EAC EFD EAC DFE SAS EC ED

//()∴∠=∠∴?∴=??

题型展示：

证明几何不等式：

例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。 求证：BD DC >

D B A

1C 2

E

图9

证明一：延长AC 到E ，使AE ＝AB ，连结DE 在?ADE 和?ADB 中，

AE AB AD AD ADE ADB

BD DE E B DCE B DCE E

DE DC BD DC

=∠=∠=∴?∴=∠=∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>，，，，21??

证明二：如图10所示，在AB 上截取AF ＝AC ，连结DF

D B

A

2

C 1F 图10

4

3

则易证??ADF ADC ?

∴∠=∠=>∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>3434，，DF DC BFD B BFD B BD DF BD DC

说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。

【实战模拟】

1. 已知：如图11所示，?ABC 中，∠=?C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==。求证：DE CD =

1

2

C

图11

A

B D E

2. 已知：如图12所示，在?ABC 中，∠=∠A B 2，CD 是∠C 的平分线。 求证：BC ＝AC ＋AD

A C

B

D

图12

3. 已知：如图13所示，过?ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证：MP ＝MQ

B

P M

Q

C

A 图13

4. ?ABC 中，∠=?⊥BAC AD BC 90，于D ，求证：()AD AB AC BC <++1

4

【试题答案】

1. 证明：取CD 的中点F ，连结AF

3

E

A

D

41

C

B

F

AC AD AF CD AFC CDE =∴⊥∴∠=∠=?

90

又∠+∠=?∠+∠=?14901390，

∴∠=∠=∴?∴=∴=431

2

AC CE

ACF CED ASA CF ED

DE CD

??()

2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。

B

D

C

A E

证明：延长CA 至E ，使CE ＝CB ，连结ED 在?CBD 和?CED 中，

CB CE BCD ECD CD CD CBD CED

B E

BAC B BAC E

=∠=∠=???

?

?∴?∴∠=∠∠=∠∴∠=∠??22

又∠=∠+∠BAC ADE E

∴∠=∠∴=∴==+=+A D E E AD AE

BC CE AC AE AC AD

，

3. 证明：延长PM 交CQ 于R

Q

P

B

M C

A R

CQ AP BP AP BP CQ PBM RCM

⊥⊥∴∴∠=∠，//

又BM CM BMP CMR =∠=∠，

∴?∴=??BPM CRM

PM RM

∴QM 是Rt QPR ?斜边上的中线 ∴=MP MQ

4. 取BC 中点E ，连结AE

A

B

C

D E

∠=?∴=BAC AE BC

902

AD BC AD AE

BC AE AD

⊥∴<∴=>，22

() AB AC BC BC AB AC BC

AD AB AC BC

AD AB AC BC +>∴<++∴<++∴<

++241

4