小学奥数裂项公式汇总文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即
b
a ?1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a <
b ,那么有:
(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有:
二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
(1)
a
b b a b b a a b a b a 11+=?+?=?+
(2)a
b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2222
裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或 凑整
三、整数裂项基本公式 (1))1()1(3
1)1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(4
1)1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(3
1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(4
1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=?
裂项求和部分基本公式
1.求和: 1
)1(1......541431321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证:1
111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和:1
2)12)(12(1971751531311+=+-++?+?+?+?=n n n n S n
证:
1
2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和:13)13)(23(11071741411+=+-++?+?+?=
n n n n S n 证:)1
31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和:)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++?+?+?+?=
n n n n S n 证:)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=
n n S n 5.求和:???? ??++-=++++??+??+??=
)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证:因为])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n , 特殊数列求和公式
平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-
完全平方和(/差)公式 2222)(b ab a b a +±=±