一、第六章 圆周运动易错题培优(难)
1.如图所示,在水平圆盘上放有质量分别为m 、m 、2m 的可视为质点的三个物体A 、B 、C ,圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO '转动.三个物体与圆盘的动摩擦因数均为0.1μ=,最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力.三个物体与轴O 共线且OA =OB =BC =r =0.2 m ,现将三个物体用轻质细线相连,保持细线伸直且恰无张力.若圆盘从静止开始转动,角速度极其缓慢地增大,已知重力加速度为g =10 m/s 2,则对于这个过程,下列说法正确的是( )
A .A 、
B 两个物体同时达到最大静摩擦力 B .B 、
C 两个物体的静摩擦力先增大后不变 C .当5/rad s ω>时整体会发生滑动
D 2/5/rad s rad s ω<<时,在ω增大的过程中B 、C 间的拉力不断增大 【答案】BC 【解析】
ABC 、当圆盘转速增大时,由静摩擦力提供向心力.三个物体的角速度相等,由2F m r ω=可知,因为C 的半径最大,质量最大,故C 所需要的向心力增加最快,最先达到最大静摩擦力,此时
2122C mg m r μω= ,计算得出:11
2.5/20.4
g
rad s r
μω=
=
= ,当C 的摩擦力达到最大静摩擦力之后,BC 开始提供拉力,B 的摩擦力增大,达最大静摩擦力后,AB 之间绳开始有力的作用,随着角速度增大,A 的摩擦力将减小到零然后反向增大,当A 与B 的摩擦力也达到最大时,且BC 的拉力大于AB 整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动,此时A 与B 还受到绳的拉力,对C
可得:2
2222T mg m r μω+= ,对AB 整体可得:2T mg μ= ,计算得出:2g
r
μω=
当
1
5/0.2
g
rad s r
μω>
=
= 时整体会发生滑动,故A 错误,BC 正确; D 、 2.5rad/s 5rad/s?ω<<时,在ω增大的过程中B 、C 间的拉力逐渐增大,故D 错误; 故选BC
2.如图所示,水平圆盘可绕竖直轴转动,圆盘上放有小物体A 、B 、C ,质量分别为m 、2m 、3m ,A 叠放在B 上,C 、B 离圆心O 距离分别为2r 、3r 。C 、B 之间用细线相连,圆盘静止时细线刚好伸直无张力。已知C 、B 与圆盘间动摩擦因数为μ,A 、B 间摩擦因数为3μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g ,现让圆盘从静止缓慢加速,则( )
A .当23g
r
μω=时,A 、B 即将开始滑动 B .当2g
r
μω=32
mg
μ C .当g
r
μω=C 受到圆盘的摩擦力为0
D .当25g
r
μω=C 将做离心运动 【答案】BC 【解析】 【详解】
A. 当A 开始滑动时有:
2033A f mg m r μω==??
解得:
0g
r
μω=
当23g
g
r
r
μμω= B. 当2g g r r μμω= < 时,以AB 为整体,根据2 F mr ω向 =可知 29 332 F m r mg ωμ??= 向= B 与转盘之间的最大静摩擦力为: 23Bm f m m g mg μμ=+=() 所以有: Bm F f >向 此时细线有张力,设细线的拉力为T , 对AB 有: 2333mg T m r μω+=?? 对C 有: 232C f T m r ω+=?? 解得 32mg T μ= ,32 C mg f μ= 选项B 正确; C. 当g r μω= 时, AB 需要的向心力为: 2339AB Bm F m r mg T f ωμ'??=+== 解得此时细线的拉力96Bm T mg f mg μμ'-== C 需要的向心力为: 2326C F m r mg ωμ??== C 受到细线的拉力恰好等于需要的向心力,所以圆盘对C 的摩擦力一定等于0,选项C 正确; D. 当25g r μω= 时,对C 有: 212 325 C f T m r mg ωμ+=??= 剪断细线,则 12 35 C Cm f mg f mg μμ= <= 所以C 与转盘之间的静摩擦力大于需要的向心力,则C 仍然做匀速圆周运动。选项D 错误。 故选BC 。 3.两个质量分别为2m 和m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上,a 与转轴OO ’的距离为L ,b 与转轴的距离为2L ,a 、b 之间用强度足够大的轻绳相连,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍,重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,开始时轻绳刚好伸直但无张力,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( ) A .a 、b 所受的摩擦力始终相等 B .b 比a 先达到最大静摩擦力 C .当ω=a 刚要开始滑动 D .当ω=b 所受摩擦力的大小为kmg 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】 AB .木块随圆盘一起转动,静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律可知,木块受到的静摩擦力f =mω2r ,则当圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动时,木块b 的最大静摩擦力先达到最大值;在木块b 的摩擦力没有达到最大值前,静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律可知,f=mω2r ,a 和b 的质量分别是2m 和m ,而a 与转轴OO ′为L ,b 与转轴OO ′为2L ,所以结果a 和b 受到的摩擦力是相等的;当b 受到的静摩擦力达到最大后,b 受到的摩擦力与绳子的拉力合力提供向心力,即 kmg +F =mω2?2L ① 而a 受力为 f′-F =2mω2L ② 联立①②得 f′=4mω2L -kmg 综合得出,a 、b 受到的摩擦力不是始终相等,故A 错误,B 正确; C .当a 刚要滑动时,有 2kmg+kmg =2mω2L +mω2?2L 解得 ω 选项C 错误; D. 当b 恰好达到最大静摩擦时 2 02kmg m r ω=? 解得 0ω= >> ω=b 所受摩擦力达到最大值,大小为kmg ,选项D 正确。 故选BD 。 4.如图所示,叠放在水平转台上的物体 A 、B 及物体 C 能随转台一起以角速度 ω 匀速转动,A ,B ,C 的质量分别为 3m ,2m ,m ,A 与 B 、B 和 C 与转台间的动摩擦因数都为 μ ,A 和B 、C 离转台中心的距离分别为 r 、1.5r 。设最大静摩擦力等于 滑动摩擦力,下列说法正确的是(重力加速度为 g )( ) A . B 对 A 的摩擦力一定为 3μmg B .B 对 A 的摩擦力一定为 3m ω2r C .转台的角速度需要满足g r μω D .转台的角速度需要满足23g r μω 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】 AB .对A 受力分析,受重力、支持力以及B 对A 的静摩擦力,静摩擦力提供向心力,有 ()()233f m r m g ωμ= 故A 错误,B 正确; CD .由于A 、AB 整体、C 受到的静摩擦力均提供向心力,故对A 有 ()()233m r m g ωμ 对AB 整体有 ()()23232m m r m m g ωμ++ 对物体C 有 ()21.52m r mg ωμ 解得 g r μω 故C 错误, D 正确。 故选BD 。 5.如图所示,可视为质点的、质量为m 的小球,在半径为R 的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,下列有关说法中正确的是( ) A .小球能够到达最高点时的最小速度为0 B gR C 5gR 为6mg D .如果小球在最高点时的速度大小为gR ,则此时小球对管道的外壁的作用力为3mg 【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】 A .圆形管道内壁能支撑小球,小球能够通过最高点时的最小速度为0,选项A 正确, B 错误; C .设最低点时管道对小球的弹力大小为F ,方向竖直向上。由牛顿第二定律得 2 v F mg m R -= 将5v gR =代入解得 60F mg =>,方向竖直向上 根据牛顿第三定律得知小球对管道的弹力方向竖直向下,即小球对管道的外壁有作用力为6mg ,选项C 正确; D .小球在最高点时,重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律有 2 v F mg m R '+= 将2v gR = 30F mg '=>,方向竖直向下 根据牛顿第三定律知球对管道的外壁的作用力为3mg ,选项D 正确。 故选ACD 。 6.如图所示,在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m 的A 、B 两个物块(可视为质点)。A 和B 距轴心O 的距离分别为r A =R ,r B =2R ,且A 、B 与转盘之间的最大静摩擦力都是f m ,两物块A 和B 随着圆盘转动时,始终与圆盘保持相对静止。则在圆盘转动的角速度从0缓慢增大的过程中,下列说法正确的是( ) A . B 所受合力一直等于A 所受合力 B .A 受到的摩擦力一直指向圆心 C .B 受到的摩擦力先增大后不变 D .A 、B 两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度ωm =2m f mR 【答案】CD 【解析】 【分析】 【详解】 当圆盘角速度比较小时,由静摩擦力提供向心力。两个物块的角速度相等,由2F m r ω=可知半径大的物块B 所受的合力大,需要的向心力增加快,最先达到最大静摩擦力,之后保持不变。当B 的摩擦力达到最大静摩擦力之后,细线开始提供拉力,根据 2 m 2T f m R ω+=? 2A T f m R ω+= 可知随着角速度增大,细线的拉力T 增大,A 的摩擦力A f 将减小到零然后反向增大,当A 的摩擦力反向增大到最大,即A m =f f -时,解得 m 2f mR ω= 角速度再继续增大,整体会发生滑动。 由以上分析,可知AB 错误,CD 正确。 故选CD 。 7.高铁项目的建设加速了国民经济了发展,铁路转弯处的弯道半径r 是根据高速列车的速度决定的。弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨高度差h 的设计与r 和速率v 有关。下列说法正确的是( ) A .r 一定的情况下,预设列车速度越大,设计的内外轨高度差h 就应该越小 B .h 一定的情况下,预设列车速度越大,设计的转弯半径r 就应该越大 C .r 、h 一定,高速列车在弯道处行驶时,速度越小越安全 D .高速列车在弯道处行驶时,速度太小或太大会对都会对轨道产生很大的侧向压力 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示,两轨道间距离为L 恒定,外轨比内轨高h ,两轨道最高点连线与水平方向的夹角为θ。 当列车在轨道上行驶时,利用自身重力和轨道对列车的支持力的合力来提供向心力,有 2 =tan h v F mg mg m L r θ==向 A . r 一定的情况下,预设列车速度越大,设计的内外轨高度差h 就应该越大,A 错误; B .h 一定的情况下,预设列车速度越大,设计的转弯半径r 就应该越大,B 正确; C .r 、h 一定,高速列车在弯道处行驶时,速度越小时,列车行驶需要的向心力过小,而为列车提供的合力过大,也会造成危险,C 错误; D .高速列车在弯道处行驶时,向心力刚好有列车自身重力和轨道的支持力提供时,列车对轨道无侧压力,速度太小内轨向外有侧压力,速度太大外轨向内有侧压力,D 正确。 故选BD 。 8.如图所示,在水平圆盘上放有质量分别为m 、m 、2m 的可视为质点的三个物体A 、B 、C ,圆盘可绕垂直圆盘的中心轴'OO 转动。三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。三个物体与轴O 共线且OA OB BC r ===,现将三个物体用轻质细线相连,保持细线伸直且恰无张力。使圆盘从静止开始转动,角速度极其缓慢地增大,则对于这个过程,下列说法正确的是( ) A .A 、 B 两个物体同时达到最大静摩擦力 B .B 、 C 两个物体所受的静摩擦力先增大后不变,A 物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大 C .当g r μω> 时整体会发生滑动 D 2μμω<< g g r r 时,在ω增大的过程中,B 、C 间的拉力不断增大 【答案】BCD 【解析】 【分析】 【详解】 ABC .当圆盘转速增大时,静摩擦力提供向心力,三个物体的角速度相等,由2F m r ω=知,由于C 的半径最大,质量最大,故C 所需要的向心力增加最快,最先达到最大静摩擦力,此时 ()21222m g m r μω=? 解得 12g r μω= 当C 的摩擦力达到最大静摩擦力之后,B 、C 间细线开始出现拉力,B 的摩擦力增大,达到最大静摩擦力后,A 、B 间细线开始有力的作用,随着角速度增大,A 的摩擦力将减小到零然后反向增大,当A 达到最大静摩擦力时,对C 有 ()2 2222T m g m r μω+=? 对A 、B 整体有 2T mg μ= 解得 2g r μω= 当g r μω> 时整体会发生滑动,故A 错误,BC 正确; D .当 2μμω<< g g r r 时,C 所受摩擦力已是最大静摩擦力,对C 分析有 224T mg mr μω+= 在ω增大的过程中,B 、C 间的拉力不断增大,故D 正确。 故选BCD 。 9.如图所示,在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2,转台绕转轴OO ′以角速度ω匀运转动过程中,轻绳始终处于水平状态,两滑块始终相对转台静止,且与转台之间的动摩擦因数相同,滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离.关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f 1和f 2与ω2的关系图线,可能正确的是 A . B . C.D. 【答案】AC 【解析】 【详解】 两滑块的角速度相等,根据向心力公式F=mrω2,考虑到两滑块质量相同,滑块2的运动半径较大,摩擦力较大,所以角速度增大时,滑块2先达到最大静摩擦力.继续增大角速度,滑块2所受的摩擦力不变,绳子拉力增大,滑块1的摩擦力减小,当滑块1的摩擦力减小到零后,又反向增大,当滑块1摩擦力达到最大值时,再增大角速度,将发生相对滑动.故滑块2的摩擦力先增大达到最大值不变.滑块1的摩擦力先增大后减小,在反向增大.故A、C正确,B、D错误.故选AC. 10.如图甲,一长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点,另一端系住一小球,使小球在竖直面内圆周运动,小球经过最高点的速度大小为v,此时绳子拉力大小为F,拉力F与速度的平方r2的关系如图乙所示,以下说法正确的是() A.利用该装置可以得出重力加速度 R g a = B.利用该装置可以得出小球的质量 aR m b C.小球质量不变,换绳长更长的轻绳做实验,图线a点的位置不变 D.绳长不变,用质量更大的球做实验,得到的图线斜率更大 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 A.由图乙可知当2v a =时,此时绳子的拉力为零,物体的重力提供向心力,则 2 v mg m R = 解得 2 v gR = 所以 a gR = 则重力加速度 a g R = A 错误; B .当22v a =时,对物体受力分析,有 2 v mg b m R += 解得小球的质量为 b m g = B 错误; D .小球经过最高点时,根据牛顿第二定律有 2 T v mg F m R += 解得 2 T m F v mg R = - 所以图乙图线的斜率为 m k R = 所以绳长不变,用质量更大的球做实验,得到的图线斜率更大,D 正确; C .当0T F =时,有 2v gR = 所以小球质量不变,换绳长更长的轻绳做实验,图线a 点的位置将会发生变化,C 错误。 故选D 。 11.如图所示,放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R ,质量为m 的带孔小球穿在环上,同时有一长为R 的细绳一端系于球上,另一端系于圆环最低点,绳上的最大拉力为2mg ,当圆环以角速度ω绕竖直直径转动,且细绳伸直时,则ω不可能... 为( ) A . 2g R B .2 g R C . 6g R D . 7g R 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 因为圆环光滑,所以小球受到重力、环对球的弹力、绳子的拉力等三个力。细绳要产生拉力,绳要处于拉伸状态,根据几何关系可知,此时细绳与竖直方向的夹角为60°,如图所示 当圆环旋转时,小球绕竖直轴做圆周运动,向心力由三个力在水平方向的合力提供,其大小为 2F m r ω= 根据几何关系,其中 sin60r R ?= 一定,所以当角速度越大时,所需要的向心力越大,绳子拉力越大,所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力,此时角速度最小,需要的向心力最小,对小球进行受力分析得 min tan60F mg ?= 即 2 min tan60sin60mg m R ω??= 解得 min 2g R ω= 当绳子的拉力达到最大时,角速度达到最大, m max N ax 606sin sin 0F T F ?=+? N max cos cos 6060T mg F =??+ 可得 max 33g F m = 同理可知,最大角速度为 max 6g R ω= 则7g R 不在 26 g g R R ω ≤≤范围内,故选D。 12.如图所示为某一传动机构中两个匀速转动的相互咬合的齿轮,a、b、c、d四点均在齿轮上。a、b、c、d四个点中角速度ω与其半径r成反比的两个点是() A.a、b B.b、c C.b、d D.a、d 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 a、b同轴转动,c、d同轴转动,角速度相同, b、c紧密咬合的齿轮是同缘传动,边缘点线速度相等,根据v=ωr得b、c两点角速度ω与其半径r成反比,选项B正确,ACD错误。 故选B。 13.如图所示,转台上固定有一长为4L的水平光滑细杆,两个中心有孔的小球A、B从细杆穿过并用原长为L的轻弹簧连接起来,小球A、B的质量分别为3m、2m。竖直转轴处于转台及细杆的中心轴线上,当转台绕转轴匀速转动时() A.小球A、B受到的向心力之比为3:2 B.当轻弹簧长度变为2L时,小球A做圆周运动的半径为1.5L C.当轻弹簧长度变为3L时,转台转动的角速度为ω,则弹簧的劲度系数为1.8mω2D.如果角速度逐渐增大,小球A先接触转台边沿 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 A .由于弹簧的拉力提供小球做圆周运动的向心力,弹簧对两个小球的拉力相等,因此两个小球的向心力相等,A 错误; B .由于向心力相等,因此 221232m r m r ωω= 而轻弹簧长度变为2L 时 122r r L += 可得 10.8r L =,2 1.2r L = 当轻弹簧长度变为2L 时,小球A 做圆周运动的半径为0.8L ,B 错误; C .当长度为3L 时,即 123r r L ''+= 可得 1 1.2r L '= 此时弹簧的弹力提供A 球做圆周运动的向心力,则 2(3)3 1.2k L L m L ω-=? 整理得 21.8k m ω= C 正确; D .由于B 球的轨道半径总比A 球的大,因此B 球先接触转台边沿,D 错误。 故选C 。 14.上海磁悬浮线路需要转弯的地方有三处,其中设计的最大转弯处半径达到8000米,用肉眼看几乎是一条直线,而转弯处最小半径也达到1300米。一个质量50kg 的乘客坐在以360km/h 不变速率驶过半径2500米弯道的车厢内,下列说法不正确的是( ) A .弯道半径设计特别长可以使乘客在转弯时更舒适 B .弯道半径设计特别长可以减小转弯时列车的倾斜程度 C .乘客受到来自车厢的力大小约为539N D .乘客受到来自车厢的力大小约为200N 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 A .根据 2v a R = 在速度一定的情况下,转弯半径越大,需要的向心加速度越小,乘客在转弯时感觉越平稳、舒适,A 正确; B .为了使列车行驶安全,在转弯时一般内轨比外轨低,让支持力的水平分力提供列车做圆周运动的向心力,转弯半径越大,需要的向心力越小,列车的倾斜程度越小,B 正确; CD .根据 2 v F m R = 代入数据可得,转弯时的向心力大约为200N ,而车箱给人的合力 22=()539N F mg F +=合 C 正确, D 错误。 故不正确的应选D 。 15.质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 分别系于一轻质细杆的 A 点和 B 点,如图所示,绳 a 与水平方向成θ角,绳 b 在水平方向且长为 l ,当轻杆绕轴 AB 以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周 运动,则下列说法正确的是( ) A .a 绳的张力可能为零 B .a 绳的张力随角速度的增大而增大 C .若 b 绳突然被剪断,则 a 绳的弹力一定发生变化 D .当角速度tan g l ωθ >,b 绳将出现弹力 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 A 、小球做匀速圆周运动,在竖直方向上的合力为零,水平方向上的合力提供向心力,所以a 绳在竖直方向上的分力与重力相等,可知a 绳的张力不可能为零,故A 错; B 、根据竖直方向上平衡得,F a sinθ=mg ,解得sin a mg F θ =,可知a 绳的拉力不变,故B 错误. D 、当b 绳拉力为零时,有:2mgcot m l θω= ,解得tan g l ωθ = ,可知当角速度 ω>,b绳将出现弹力,故D对; C、由于b绳可能没有弹力,故b绳突然被剪断,a绳的弹力可能不变,故C错误 故选D 【点睛】 小球做匀速圆周运动,在竖直方向上的合力为零,水平方向上的合力提供向心力,所以a 绳在竖直方向上的分力与重力相等,可知a绳的张力不可能为零;由于b绳可能没有弹力,故b绳突然被剪断,a绳的弹力可能不变.