2000年考研数学一真题完整打印版
2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)
?
=_____________.
(2)曲面2
2
2
2321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.
(4)已知方程组12312
112323120x a x a x ????????????+=????????????-??????
无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1
9
,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当
a x
b <<时,有
(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >
(C)()()()()f x g x f b g b >
(D)()()()()f x g x f a g a >
(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1
4S
S xdS xdS =????
(B)1
4S
S ydS xdS =????
(C)
1
4S
S zdS xdS =????
(D)
1
4S
S xyzdS xyzdS =????
(3)设级数
1n
n u
∞
=∑收敛,则必收敛的级数为
(A)1
(1)n
n n u
n ∞
=-∑
(B)
2
1n
n u
∞
=∑
(C)
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑
(D)
11
()n
n n u
u ∞
+=+∑
(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为
(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B)向量组1,,m ββL 可由向量组1,,m ααL 线性表示
(C)向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价 (D)矩阵1(,,)m =A ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价
(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为
(A)()()E X E Y =
(B)2
2
2
2
()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-
(C)2
2
()()E X E Y =
(D)22
2
2
()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+
三、(本题满分6分)
求142e sin lim(
).1e
x
x x
x
x
→∞
++
+
四、(本题满分5分)
设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z
x y
???
五、(本题满分6分)
计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=
+??,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),
R >取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有
2()()e 0,x
S
xf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=??ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0
lim ()1,x f x +
→=求()f x .
七、(本题满分6分) 求幂级数1
13(2)n n n
n x n ∞
=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.
八、(本题满分7分)
设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到
0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数()f x 在[0,]π上连续,且
()0,()cos 0.f x dx f x xdx π
π
==?
?试证:在(0,)π内至
少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==
十、(本题满分6分)
设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10
100308?????
?=??
?
?-??
A 且11
3--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单
位矩阵,求矩阵B .
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将
1
6
熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
2
5
成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ??
???
(1)求11n n x y ++?? ???与n n x y ?? ???的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++????= ? ?????
A
(2)验证1241,11-????
== ?
?????
ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.
(3)当111212x y ??
?
??= ? ? ?
?? ???
时,求11.n n x y ++?? ???
十二、(本题满分8分)
某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .
十三、(本题满分6分)
设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0
x x f x x θθ
θθ-->?=?≤?,其中0θ>为未知
参数.又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.