第五讲：因式分解提高篇(春季班)

第五讲：因式分解提高篇（春季班）

姓名：自主评价

【励志故事】

两匹马各拉一辆大车。前面的一匹马走得很好，后面的那匹马常常停下来。主人以为这匹马拉不动了，于是，就试着把后面那辆车上的货物挪到前面那辆车上去。

前面的这匹马说：“主人，你就把那东西全都放到我车上吧，我拉得动。”

等到后面那辆车上的东西都搬完了，后面那匹马便轻快地前进，并且对前面那匹马说：“你使劲干吧，流汗吧，你越是努力干，人家越是要折磨你。”

来到车马店时，主人说：“这匹马真能干。即然只用一匹马拉车就够了，我养两匹马干嘛，不如只喂这一匹，把另一匹杀掉，总还能拿到一张马皮。”

于是，主人就真的这样做了。后面那匹马被杀死了。

书外人语：如果你对自己的期望值高，那么你就会获得回报，得到成功。姚明的人生感悟：“自己对自己的期望值，时刻都要比别人的高。”

【知识要点】

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；

(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；

(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7．

例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

分析本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．我们已经知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

解原式=

说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

a3+b3+c3-3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．

解:

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x3-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1:解法2 :

解法3 : 解法4 :

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例5 分解因式：

(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1．

说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解 :

说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解:

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．

解 :

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

说明 本解法实际上是将x 2

-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．(试一试其它解法)

解法2:

例10、分解因式613622-++-+y x y xy x

分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++

解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++

∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622

∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得??

???-==-=+613231m n m n n m ，解得???=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x

例12、（1）当m 为何值时，多项式652

2-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++ 解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++

则

校园冷笑话

◎一个人骑摩托车喜欢反穿衣服，就是把扣子在后面扣上，可以挡风。 一天他酒后驾驶，翻了，一头栽在路旁。 员警赶到后... 员警甲：好严重的车祸。 员警乙：是啊，脑袋都撞到后面去了。 员警甲：嗯，还有呼吸，我们帮他把头转回来吧。 员警乙：好.....一、二使劲，转回来了。 员警甲：嗯，没有呼吸了......

◎有一只狼来到了北极，不小心掉到冰海中，被捞起来时变成了什么?

..........槟榔...........

◎神农尝百草,请问在他死前讲的最后一句话,是什么话?

他说...这...这个....这个有毒...

◎一个火柴走在路上觉得头很痒,抓一抓久着火了~~

续集：火柴去医院包扎，出来以后就变成了棉花棒

因式分解的应用

一、利用因式分解判断整除性

例1 2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明：

例2、证明x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．

二、因式分解解计算题

例3计算下列各题：

(1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314 (2)1995219951993 199519951996

32

32

－－

＋－

解：

数学阅读：高斯（1777～1855）

高斯是德国数学家、物理学家和天文学家，英国皇家学会会员。

高斯是一个农民的儿子，幼年时，他在数学方面就显示出了非凡的才华。3岁能纠正父亲计算中的错误；10岁便独立发现了算术级数的求和公式；11岁发现了二项式定理。少年高斯的聪颖早慧，得到了很有名望的布瑞克公爵的垂青与资助，使他得以不断深造。19岁的高斯在进大学不久，就发明了只用圆规和直尺作出正17边形的方法，解决了两千年来悬而未决的几何难题。1801年，他发表的＜＜算术研究＞＞，阐述了数论和高等代数的某些问题。他对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大贡献。作为一个物理学家，他与威廉.韦伯合作研究电磁学，并发明了电极。为了进行实验，高斯还发明了双线磁力计，这是他对电磁学问题研究的一个很有实际意义的成果。高斯30岁时担任了德国著名高等学府天文台台长，并一直在天文台工作到逝世。他平生还喜欢文学和语言学，懂得十几门外语。他一生共发表323篇（种）著作，提出了404项科学创见，完成了4项重要发明。

高斯去世后，人们在他出生的城市竖起了他的雕像。为了纪念他发现做出17边形的方法，雕像的底座修成17边形。世人公认他是一位和牛顿、阿基米德、欧拉齐名的数学家。

因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用

三、利用因式分解化简求值

例4、已知ac＋bd=0，则ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)的值。

解：

例8 已知a－b=3, a－c=2, 求(c—b)[(a－b)2+2(a－c)(a－b)+(a－c)2]的值

分析：所求的代数式中含有c－b，可以通过已知的a－b=3与a－c=2来推得c－b 解：

课后作业

1．分解因式：

X2n+X n

( 2)x10+x5-2；

(3)2x3n-1+8x2n-1y n+8x n-1y2n (4)2x2+xy-y2-4x+5y-6 (5)(x-1)(x-3)(x+2)(x+4)-144 (6)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)

(7)2x4-11x3+22x2-19x+6 (8)xyz-2xy-2yz-2xz+4x+4y+4z-8

老师和学生的笑话

下午第一节是历史课，老师在课堂上讲得兴致勃勃。

一个外号叫三毛的同学却趴在课桌上呼呼大睡，老师十分生气，就把三毛叫了起来。

老师问：你说，王安石和欧阳修有什共同点？

三毛脱口而出：他们都是宋朝人。

老师接着问：那你说说，他们和唐太宗、诸葛亮有什么共同点？

三毛愣了愣，答道：他们都是古代人。

课堂上一阵大笑，老师将错就错，干脆当个游戏玩下去，也算活跃课堂气份，于是他问道：那他们和孙中山、鲁迅有共同点吗？

三毛想了想，说：他们都是男人。

老师接着又问：如果加上李清照、慈禧呢？

三毛急了：他、他们都是中国人。

老师笑了笑，问道：你再说说，拿破仑和凯撒有什么共同点？

三毛：他们都当过皇帝。

老师问：他们和达尔文、希特勒有什么共同点？

三毛答到这时已经摸到窍门了，他得意地回答：他们都是外国人。

老师又紧逼了一句：那他们和我前面提到的这些人有什么共同点呢？

三毛一竿子捅到底：他们都是人。

老师又问：据我所知，这些人中诸葛亮养过鸡，慈禧、凯撒还养过狗，把这些动物都算上，他们和它们有共同点吗？

老师这么一问，三毛的头上开始冒汗了：这个……他们和它们都死了。

嗯，的确都死了。老师点了点头。

三毛腿一软，坐了下来，心想，这下问题该到头了吧？

不料老师又说：你站起来，还有最后一个问题……

假如现在他们和它们都还活着，能找出共同点吗？

三毛傻眼了，他想了足有五分钟，才哭丧着脸说：如果不算时差的话，他们和它们应该都吃过午饭了。

著名物理学家爱因斯坦编的问题：

在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。

请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？