文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 > 高数定义

高数定义

格林公式:设闭区域D由分段光滑曲线L围成,若函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有,其中L是D的取正向的边界曲线,公式叫做格林公式下册P205

介值定理:设函数f(x)在闭区间【a,b】上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,则对于A和B之间的任意一个数C,再开区间(a,b)内至少有一点,使得f()= 上册P68

全微分的定义:设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,如果函数在点(x,y)的全增量可表示为其中A和B不依赖于和而仅与x 和y有关,,那么称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,而称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即下册P72*

莱布尼兹定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式.

多元函数的最值定理:若函数,在无界闭集 D Rn z元c上连续,当动点P∈D无限远离原点时,且P趋于正无穷或负无穷。则在D上必能取得最小值(最大值)

二重极限的定义:设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的点集.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点P(x,y)∈D∩U(P0,δ)时,都有 |f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ε成立,那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限.

二元函数的连续:已知定义在区间A上的函数f(x),如果对于任意给定的正数ε>0,存在一个实数ξ>0 使得对任意A上的x1,x2且x1,x2满足|x1-x2|<ζ时,有|f(x1)-f(x2)|<ε。一致连续性表示,无论在连续区间的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度(ζ),就可使对应的函数值达到所指定的接近程度(ε) 这个接近程度ε不随自变量x的位置而变. 还有个定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续。

偏导数定义:设有二元函数z=f(x,y),点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数(partial derivative)。记作f'x(x0,y0)。y方向的偏导函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x 的偏导数,实际上就是把y固定在y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数同样,把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限存在,那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.记作f'y(x0,y0)

全微分形式的不变性定理:对于多元复合函数的求导,经常使用"链锁法则",这个公式对一般的复合函数而言,是一个很有效的方法,但对于比较复杂的函数的偏导数,变量之间的关系不好区分,而利用多元函数的一阶全微分形式不变性来求,则无需知道变量之间的相互关系,只需知道谁是自变量就可以了,从而简化了计算设y=f(u),u=g(x),如果u=g(x)对x可微,y=f(u)对相应的u可微,则y=f[g(x)]对x可微,为dy = f[g(x)]’dx = f’(u)g’(x)dx = f’(u)du可以知道,无论u是自变量还是别的自变量的可微函数,微分形式dy=f’(u)du保持不变。这就是一阶

全微分的形式不变性

隐函数存在定理:隐函数存在定理主要讲述如何从二元函数F(x,y)的性质来判定由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)是存在的,并且,这个函数还具有某些特性。

二重积分的定义:设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域,并以表示第个子域的面积。在上任取一点作

和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时,此和式的极限存在,且该极限值与区域D的分法及的取法无关,则称此极限为函数在区域

上的二重积分,记为,即。

这时,称在上可积,其中称被积函数,称为被积表达式,称为面积元素,称为积分区域,称为二重积分号。

积分第二中值定理:设f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调,则存在ξ∈[a,b],使得

特别地,若对于任意x∈[a,b]有

g(x)=1,则原公式可化为:存在[a,b]上的点ξ使

第一类换元法:第一类换元法,也称为凑微分法,推导过程如下:[1]

设在上有定义,在上可导,且,,并记,。

若在上存在原函数,则在上也存在原函数,

,即

高数定义

第二类换元法:设在上有定义,在上可导,且,,并记,。

若,,则当在上存在原函数时,在上也存在原函数,且,即

高数定义

(其中是的反函数

高斯公式:设空间有界闭合区域,其边界为分片光滑闭曲面。函数

及其一阶偏导数在上连续,那么:

高数定义

或记作:

高数定义

其中的正侧为外侧,为的外法向量的方向余弦。

狄利克雷条件定理:对于任意互质的正整数a,d,有无限多个质数的形式如a + nd,其中n 为正整数,即在算术级数a + d,a + 2d,a + 3d,...中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a

绝对收敛条件收敛:

斯托克斯公式:

相关文档
  • 高等数学基本概念

  • 高数定理定义总结

相关推荐: