等差数列讲义(学生版)
2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念、通项公式
【学习目标】
1.理解等差数列的定义(重点)；
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题；
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点).
【要点整合】
1. 等差数列的概念
2. 等差中项
如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.
注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2
，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2
3. 等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .
上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为：
(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；
(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项；
(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】
题型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
题型二等差中项
例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
题型三等差数列的通项公式及应用
例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
（3）等差数列2,5,8,...,107共有项
练习3：已知{a n }为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.
(1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为：a ，2a －1，3－a .
题型四 等差数列的判定
例4若a n ＝7n ＋
2，b n ＝lg a n ，证明{b n }为等差数列.
练习4：已知a 1＝2，若a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，证明????
??a n 2n 为等差数列，并求{a n }的通项公式.
2.2.2 等差数列的性质
【学习目标】
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质；
2.能运用等差数列的性质解决有关问题.
【要点整合】
1.等差数列与一次函数
（1）等差数列的图象
等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，当d ＝0时，a n 是关于n 的常数函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，点(n ，a n )，(m ，a m )分布在以d 为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.
（2）公差d 与斜率
等差数列{a n }的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d ，即d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m
(m,n≥2，m ≠n ，m,n ∈N *)，故等差数列的通项公式也可写为a n ＝a m ＋(n －m)d.
2.等差数列的性质
（1）等差数列的项的对称性 ①在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…
②下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .（2）由等差数列衍生的新数列
若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有
【典例讲练】
题型一等差数列与一次函数的关系
例1 已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
练习1若数列{a n}满足a1＝15，3a n＋1＝3a n－2(n∈N*)，则使a k·a k＋1<0的k值为________.
题型二等差数列性质的应用
例2在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
练习2数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于() A.0 B.3 C.8 D.11
例3已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.
练习3已知{a n}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为()
A.10
B.－10
C.15
D.－15
例4已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
练习4已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
例5、已知两个等差数列5,8,11，...和3,7,11，...都有100项，问它们有多少共同项？