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从位移的合成到向量的加法

《从位移的合成到向量的加法》

说课教案

题目：从位移的合成到向量的加法

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《从位移的合成到向量的加法》说课教案各位评委老师上午好！我今天说课的题目是《从位移的合成到向量的加法》，我将从以下九个方面展开我的说课：一，教学理念；二，教材分析；三，学情分析；四，教学目标；五，教学重难点；六，教学方法；七、教学过程；八、形成性评价；九、板书设计。以下依次展开。

一、教学理念

本节课充分体现以学生为主体，教师为主导的教育理念。

本节课充分体现主动学习的教育理念。

二、教材分析

本节内容选自北师大版数学必修四，第二章第二节从位移的合成到向量的加法。本节内容主要包括向量及其相关的概念和向量模的计算，这是前面学习物理位移、速度等概念的延伸，也是后面学习向量相关运算的基础，因此本节内容在教材中有着承前启后的重要作用。本节内容侧重于向量定义的理解，因此这部分内容非常重要。三、学情分析

我所教的学生是高一学生，他们思维活跃，抽象思维能力好，经过教师引导，能够将感性认识上升为理性认识。他们已经学习了物理中位移和速度概念等方面的相关知识和基本方法，所以他们对向量并不陌生，已经有一定的实践经验，但是这些都还处于感性认识阶段，对于将向量理论联系实际的能力还有待提高。

四、教学目标

知识与技能方面目标

1、用法则计算向量之和。

2、画出向量加法的几何表示。

过程与方法方面目标

1、分析三角形法则的使用要求。

2、归纳向量加法的运算定律。

情感态度与价值观方面目标

1、通过学习向量在其他学科中的应用，形成对向量加法学习的兴趣。

2、在小组合作讨论的过程中，体验团队合作精神。

五、教学重难点

基于以上对学习内容和学习者的分析，以及教学目标的设计，我将本节课的教学

重点为

1、向量加法定义的理解。

2、向量加法的法则。

3、向量加法的几何意义。

教学难点为

向量加法定义的理解。

这部分内容是向量加法学习的关键，属于理性知识，学生需要将原有的感性认识上升到理性的高度，这对于学生来说有一定的难度，我将引导学生通过小组讨论的方式进行对比和分析，层层深入，从而突出教学重点突破教学难点。

六、教学方法

结合本节教学内容我使用了讲授法、对话法、讨论法和多媒体教学法等教学方法。这些教学方法的使用层层深入，从而突出教学重点突破教学难点。

七、教学过程

1、创设情境，导入新课

课件展示：由于大陆到台湾没有直航，因此要回大陆探亲，需要先飞到香港，然后从香港到上海。

教师提问：这两次位移的结果是什么？

学生回答，得出答案。

教师讲解，引入向量加法的定义。

2、现场感知，构建新知

课件展示：向量加法的概念。教师通过讲授法巩固学生的知识基础。

板书呈现：通过给出物理位移变化过程，让学生通过小组讨论找出其中的合位移和分位移，将位移求和。

通过反复的概念讲解和案例分析，在讲解中可以适当联系物理中位移求和的概念，加深学生对向量的理解和印象，突出本节课的教学重点——向量的加法。

3、师生对话，达成共识

教师提问：请同学们例举出现实生活中是向量加法的具体实例。

学生思考并回答。教师针对学生回答的结果给予一定的点评和指导。

学生通过学习举例能够基本掌握向量加法的概念并判定。

教师板书展示向量加法的法则和几何意义，将不同的法则和几何意义进行对比，

加深印象。

4、小组讨论，突出重点

课件展示：简单的向量加法。教师在此基础上讲解向量加法的定义，并加深向量加法的几何意义。

针对学生例举出的实际案例，学生前后六人分为一组进行小组讨论，得出案例中向量加法的几何表示。教师在学生讨论过程中适当给予一定的引导，帮助学生更好地得出结论。

通过讨论，加深学生对于向量加法几何意义的印象，更好地理解向量加法，为学生能够更好地学习教学重点——向量减法打下良好的基础，在教学过程中更好地突出教学重点。

5、激疑启思，提升能力

教师提问：我们已经介绍了两个向量相加，但如果三个向量相加有没有什么相应的定律？是否满足普通量相加的的交换定律？

学生思考，根据之前向量加法定义推测可能满足。

学生回答，通过推导和猜测得出结论。教师在学生回答的基础上讲解交换律和结合律。

教师板书向量加法交换律和结合律，学生笔记。通过学生自我猜测总结得出向量加法的相关定律，进一步突破教学难点——向量的加法计算。

6、总结应用，拓展延伸

请学生总结本节课的教学重点——向量加法定义及几何意义，教师在学生回答的基础上进行总结和补充。

适当拓展向量减法的知识，相当于加上一个相反向量。

八、形成性评价

课本第77页习题2—1第1题、第2题。

九、板书设计

最后我将呈现本节课的板书设计

从位移、速度、力到向量

1、平行四边形法则：起点相同

2、三角形法则：首尾相接

3、运算律：

（1）交换律a + b= b + a

（2）结合律(a + b) + c = a +( b + c)

以上就是我今天说课的主要内容，恳请各位专家批评指正。谢谢！

(完整版)平面向量练习题集答案

平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： a?； ①|a|＝a ②(a?b) ?c＝a?(b?c)； ③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 a?正确；(a?b) ?c≠a?(b?c)；OA－OB＝BA正确；如下图所示，【解析】选D.| a|＝a MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确.

题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM = DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 3 1 ,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN . 【解析】在?ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝1 2 (a －b )， AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1 2(a ＋b ). 又DM ＝13DO ， ON ＝1 3OC ，所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1 3DO ＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56 b ， AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1 3OC ＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝2 3(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16 b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1 2 时，则PA ?(PB ＋PC )的值为 . 【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝1 2(AB ＋AC )，所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ，所以BP ＝PC ，所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，所以PA ? (PB ＋PC )＝PA ?0＝0，故填0.

平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题一．填空题。 1． BA CD DB AC +++等于________． 2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________． 4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________． 5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与CD 共线，则|BD |的值等于________． 7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______ 9. 已知向量a,b 的夹角为ο120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____ 11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____ 13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 . 14．将圆22 2=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。 1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹角；

平面向量及其加减运算课后训练

数学《平面向量》复习卷一、填空题 1、向量的两个要素是：和。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为。二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是（） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B

向量的加法与减法运算练习

练习一选择题： 1．如图，等腰梯形两腰上的向量、是( ) (A)相等的向量(B)模相等的向量(C)方向相反的向量(D)方向相同的向量2．如图，在菱形中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ). 第2题 (A)和(B)和(C)和(D)和 3．如图，，－＋等于( ). (A) (B) (C) (D) 4．如图，在中，－＋等于( ) (A) (B) (C) (D) 填空题： 5．如图，正六边形，为中心，图中所示向量中： (1)与相等的向量有__________； (2)与相等的向量有__________； 6．＝_________；

7．化简 (1)＋＋—_____________； (2)____________； (3)＋＋＝_____________； (4)－＋＝_____________；解答题： 8．已知向量、，求作＋，－. 9．河水自西向东流，流速为3 m/s，轮船垂直水流方向以18.7 km/h的速度向北航行，求轮船的实际航速. 答案、提示和解答： 1．B．2．B．3．C．4．B. 5．(1)，；(2). 6．0. 7．(1)0；(2)；(3)；(4)0.8．略. 9．设＝“向东方向，3 m/s”，＝“向东方向，18.7 km/h”≈“向北方向，5.19 m/s”，如图，适当选取比例尺，作

＝＝“向东3 m/s” ＝＝“向北，5.19 m/s”，＝＋＝＋. ｜｜＝与夹角的余弦值为，则与夹角为60°. 所以轮船的实际航速为东偏北60°，6 m/s. 练习二选择题： 1．如图，梯形，其中｜｜＝｜｜，相等的向量是( ). (A)与(B)与(C)与(D)与 2．已知如图，、分别是与的中点，、、、、、中,相等的向量共有( ). (A)1组(B)2组(C)3组(D)4组

高一数学向量的加法一人教版

高一数学向量的加法一一．课题：向量的加法二．教学目标：1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2.熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量； 3.理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。三．教学重、难点：1.如何作两向量的和向量； 2.向量加法定义的理解。四．教学过程：（一）复习： 1．向量的概念、表示法。 2．平行向量、相等向量的概念。 3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）（A ）OB uuu r 、CD uuu r 、FE u u u r 、CB u u u r （B ）AB u u u r 、CD uuu r 、FA u u u r 、DE u u u r （C ）FE u u u r 、AB u u u r 、CB u u u r 、OF u u u r （D ）AF u u u r 、AB u u u r 、OC u u u r 、OD u u u r （二）新课讲解： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ．规定：零向量与任一向量a r ，都有00a a a +=+=r r r r r ．说明： ①共线向量的加法： a r b r a b +r r ②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a r ，b r ，求作向量a b +r r . 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =u u u r r ，AB b =r r ，则OB a b =+u u u r r r . （1）（2） 2.向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a r ，b r 为邻边作ABCD Y ，则则以A 为起点的对角线AC u u u r 就是a r 与b r 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。 b r a r O B A b r a r b r a r A B C D A B C

平面向量综合试题

《平面向量》综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k ,4k ） B. (-10，2） C. (54 ,k k -) D.（5k , -4k ） 3. △ABC 中,BC =a , =b ,则等于 ( ) +b (a+b ) 4.化简 52(a －b )－3 1 (2a +4b )+152(2a +13b)的结果是 ( ) 5 1±51 B.0 C. 51a +51b D. 51a －5 1b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为 4 π ,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( ) B.15 C. 16 6.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥,则k 的值为 ( ) A.109- B.109 C.1019- D.10 19 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( ) A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是AB 边上的一个三等分点 D. P 是AC 边上的一个三等分点 8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B (-2,4)，C (-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的 4 1 ,则线段AM 的长度是 ( ) 259.设e 1,e 2是夹角为450 的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,则|a +b |的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+ 10.若|a |=1,|b a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为 ( ) .450 C

平面向量简单练习题

一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+=r r r r r g ，则向量b r 与a r 的夹角为（） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则,r r a b 的夹角等于（） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→ →b a （） 8．已知()()0,1,2,3-=-=，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a =r ，(2,)b y =-r ，若向量,a b r r 共线，则3a b +r r =（） 10．平面向量a r 与b r 的夹角为60o ，(2,0)a =r ，1b =r ，则2a b +r r = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→ →?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥r r r r r r r 且，则向量a b r u r 与的夹角为（） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（） 15．已知向量AB u u u r ＝(cos120°，sin120°)，AC u u u r ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--=r r r r 则a （） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20．已知向量,a b r r 满足0,1,2,a b a b ?===r r r r 则2a b -=r r （） 21．设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（） 23．化简 AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r （）

2020年高中数学新教材同步必修第二册第6章 6.2.1 向量的加法运算

6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.

知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则

向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. 思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 知识点二向量加法的运算律向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 1.0＋a ＝a ＋0＝a .( √ ) 2.AB →＋BC →＝AC → .( √ ) 3.AB →＋BA → ＝0.( √ ) 4.AB →＋BC →>AC → .( × ) 5.|AB →|＋|BC →|＝|AC → |.( × )

一、向量加法法则例1(1)如图①所示，求作向量a＋b. (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. →＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图③所示. 解(1)首先作向量OA

向量的加法与减法2

向量的加法与减法综合训练卷（120分钟，满分150分）一、选择题（每题5分，共60分） 1 .下列命题中，正确的是（） C.才二农=卞卩？ D.若方"马且正,则方“三 —■- __^&. 2 .化简以下各式：（1）嵌曲+阪；（2）朋一也+班；（3）OA-DD十疝；」+」 (4) 「“「?」—。结果为零向量的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.若|< |CD |,且应|二！5,则1曲I的值是（） A .必小于5 B .必大于10 C.有可能为0 D .不可能为0 4.若屈=3,1乩|=5,则阿的取值范围是（） A . [3 , 8] B . （3, 8）C. [3 , 13] D . （3, 13） 5.在平行四边形ABCD中，若卜「讣'：'?-卜,则必有（） A . ABCD是菱形 B . ABCD是梯形 C . ABCD是正方形 D . ABCD是矩形 6.把所有单位向量的起点平移到同一点P,各向量终点的集合构成什么图形（A .点P B .过点P的一条直线 C.过点P的一条射线D .以点P为圆心，1为半径的圆 7.下列有关零向量的说法正确的是（） A .零向量是无长度，无方向的向量B.零向量是无长度，有方向的向量 C.零向量是有长度，无方向的向量 D .零向量是有长度，有方向的向量 8 .已知丽，同丁,则匠一而的取值范围是（） A . [2 , 12] B . （2, 12） C . [2 , 7] D . （2, 7） 9.“谢昭CA=O”是“ A , B , C是三角形三个顶点的”的（） A .充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分又不必要条件 10 .已知两个向量鱼，^ ,则下列说法正确的是（） A .向量可以比较大小 B .向量不可以比较大小，但是模可以比较大小是共线向量时，可以比较大小 D.当自，11两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小 11.一艘船从A点出发以2?3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流

高一数学测试题—向量的加减法.doc

一、选择题： 1、下列说法正确的有( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线,④零向量只能与零向量共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a , = b , = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD 中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是（）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、△ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B ．C．D． 6、如图.点M是△ABC的重心,则MA+MB－MC为（） A．0 B．4 C ．4 D．4 7、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是（） A ．+ B ．－ C ．+D．+ 8、a=－b是|a| = |b|的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件二、填空题： 9、化简：+ + + + = ______.

10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且 = 3 1 , = 3 1 , = 3 1,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知：= a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， . 14、如图：若G 点是△ABC 的重心，求证： + + = 0 . 15、求证：|a +b | 2 +|a －b | 2 =2 (|a | 2+|b | 2). 16、如图 ABCD 是一个梯形,AB ∥CD 且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若 = a , = b ,试用a,b 表示和 . 一、BCDBD DCA E

平面向量综合试题(含答案)

A C 平面向量一.选择题: 1. 在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论： ①= -②= +③2 - = 其中正确．．结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．0个 2．下列命题正确的是（） A．向量的长度与向量的长度相等B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C．若非零向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线D．若 → a → b → c，则 → a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于( ) A.+ B. C. D.+ 4．若，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A． B.6 C. D.3 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（）A. B. C. D. 6．己知(2,－1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.(,3) D.(2,－7) 7．设， a b是非零向量，若函数()()() f x x x =+- a b a b的图象是一条直线，则必有（） A．⊥ a b B．∥ a b C．|||| = a b D．|||| ≠ a b 8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（A） 2 AC AC AB =?（B）2 BC BA BC =? （C） 2 AB AC CD =?（D）2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ??? = 10．设两个向量22 (2,cos) aλλα =+-和(,sin), 2 m b mα =+其中,,m λα为实数.若2, a b =则 m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1] - B.[4,8] C.(,1] -∞ D.[1,6] - 10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ，的夹角为 60，1 a b ==，则() a a b -=． 12．向量2411 ()() ，，， a=b=．若向量() λ ⊥ b a+b，则实数λ

数学必修平面向量综合练习题

、选择题【共12道小题】 1、卜列说法中止确的是 ( ) A.两个单位向量的数量积为 1 B.若 a ? b=a ?c 且 a * 0,则 b=c C. AS = 0A — 0B D.若 b 丄 c,则(a+c) ? b=a ?b 参考答案与解析：解析：A 中两向量的夹角不确定；B 中若a 丄b,a 丄c,b 与c 反方向则不成立；C 中应为-亠 _ 一丄， ;D 中 b lc = b ? c=0,所以(a+c) ? b=a ? b+c ? b=a ? b. 答案：D 主要考察知识点：向量、向量的运算 2、设e 是单位向量，二L=2e, -二=-2e,|」丄|=2,则四边形ABCD 是( ) 又因为|上」|=| H 丄1=2,所以四边形 ABCD 是菱形? 答案：B 主要考察知识点：向量、向量的运算 3、已知|a|=|b|=1 , a 与b 的夹角为90° ,且c=2a+3b , d=ka-4b,若c ±d,则实数k 的值为( ) A. 6 B.-6 C.3 D.-3 参考答案与解析：解析：I c 丄d, ??? c ? d=(2a+3b) ? (ka -4b)=0,即 2k- 12=0, A k=6. 答案：A 主要考察知识点：向量、向量的运算 4、设 O WBv 2 n ,已知两个向量 '■ - =(cos 0, sin 0 ), ' - =(2+sin 0, 2-cos 0 )，则向量-二长度的最大值是( ) B. / 参考答案与解析：解析：-」亠 -=(2+sin 0 - cos 0 ,2 - cos 0 - sin 0), 所以〔丽 $ J 【2 +拠即斗(2-皿。-血册=-区血日三屈鼻伍答案：C 主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示 5、设向量 a=(1,-3) , b=(-2,4) , c=(-1,-2)，若表示向量 4a 、4b-2c 、2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 参考答案与解析：解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以 d=-6a+4b-4c=(-2 , -6). 答案：D A.梯形形 B.菱形 C.矩 D.正方形参考答案与解析 :解析：儿- -- ,所以|亠厶|=| |,且AB// CD 所以四边形 ABCD 是平行四边形 A.

平面向量简单练习题

试卷第1页，总5页一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+= ，则向量b 与a 的夹角为（） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则, a b 的夹角等于（） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→→b a （） 8．已知()()0,1,2,3-=-=b a ，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a = ，(2,)b y =- ，若向量,a b 共线，则3a b + =（） 10．平面向量a 与b 的夹角为60 ，(2,0)a = ，1b = ，则2a b + = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→→?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥ 且，则向量a b 与的夹角为（） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（） 15．已知向量AB ＝(cos120°，sin120°)，AC ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--= 则a （） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20．已知向量,a b 满足0,1,2,a b a b ?=== 则2a b -= （） 21．设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于（） 23．化简AC - BD + CD - AB = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF （）

平面向量的加法

教学主题向量加法教学目标： 1、能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量掌握向量加法概念； 2、理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义； 3、掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。教学设计：求和向量的问题→法则→简单应用。教学方法：引导启发式，讲练结合。教学过程（一）组织教学（二）复习回顾 ①复习向量的概念； ②思考下面问题。我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断. 另外，向量和我们熟悉的数一样可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法. 我们先给出向量加法的定义 1.向量加法的定义已知ａ，ｂ，在平面内任取一点A，作AB＝ａ，BC＝ｂ，则向量AC叫做ａ与ｂ的和，记作ａ＋ｂ. 即ａ＋ｂ＝AB＋BC＝AC. 求两个向量和的运算叫向量的加法. 2.向量加法的三角形法则师：在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则，运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点

指向第二个向量的终点的向量即为和向量. 3.向量加法的平行四边形法则如图，由于平行四边形对边平行且相等，则可把向量ｂ的起点由B 移到A，即AD =BC =ｂ，则：AC＝AB＋BC＝AB＋AD 即：在平面内过同一点A作AB＝ａ，AD＝ｂ，则以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线向量AC即ａ与ｂ的和，这种方法即为向量加法的平行四边形法则. 说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. 4.向量加法所满足的运算律交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ结合律：(ａ＋ｂ)＋с＝ａ＋（ｂ＋с）说明：运算律验证引导学生完成. 下面我们通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法则与平行四边形法则. 例1、如图，已知向量ａ，ｂ，求作向量ａ＋ｂ. 分析：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移为两向量同起点情形. 作法一：设ａ＝AB，ｂ＝CD，过点B作BE＝CD＝ｂ，则根据向量加法的三角形法则可得AE＝AB＋BE＝ａ＋ｂ作法二：过A作AE＝CD＝ｂ，然后根据向量加法的平行四边形法则，以AB、AC 作出的平行四边形的对角线AF＝ａ＋ｂ. 评述：在求作两已知向量的和向量时，对于向量加法的三角形法则和平行四边形法则，

高一数学向量的加法二人教版

高一数学向量的加法二一．课题：向量的减法二．教学目标：1.掌握向量减法及相反向量的的概念； 2.掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量； 3.能用向量运算解决一些具体问题。三．教学重、难点：向量减法的定义。四．教学过程：（一）复习：1. 向量的加法法则。 2．数的运算：减法是加法的逆运算。（二）新课讲解： 1．相反向量：与a r 长度相等，方向相反的向量，叫做a r 的相反向量，记作a -r 。说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。（2）性质：()a a --=r r ；()()0a a a a +-=-+=r r r r r ． 2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示()a b a b -=+-r r r r ． 3．向量减法的法则：已知如图有a r ，b r ，求作a b -r r ．（1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则BA a b =-u u u r r r ．说明：a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量（a r ，b r 有共同起点）．（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a =u u u r r ，BO b =-u u u r r ，则BA BO OA a b =+=-u u u r u u u r u u u r r r ．思考：若//a b r r ，怎样作出a b -r r ？ 4．例题分析：例1．试证：对任意向量a r ，b r 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ．证明：（1）当a r ，b r 中有零向量时，显然成立。（2）当a r ，b r 均不为零向量时： ①a r ，b r ，即//a b r r 时，当a r ，b r 同向时，||||||||||||a b a b a b -<+=+r r r r r r ；当，b r 异向时，||||||||||||a b a b a b -=+<+r r r r r r ． ②a r ，b r 不共线时，在ABC ?中，||||||AB BC -

平面向量的加减法测试题

平面向量的加减法练习题一、选择题１、下列说法正确的有 ( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线，④零向量只能与零向量共线. Ａ.１? B.2 ? C.３?Ｄ．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有（ )个. ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程Ａ.０ B．1 C.２ D.3 ３、已知正方形ABCＤ的边长为1, = a， =b, =c，则|a+b+ｃ｜等于（） A．０B．３? C.2 ? D.22４、在平行四边形ＡBＣD中，设= a, = b，＝c, = ｄ,则下列不等式中不正确的是( ) A.a+b=c? B.a－b＝dＣ.b－a＝d?D．c－d＝b-ｄ 5、△ABＣ中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A.Ｂ.C．?D． 6、如图．点Ｍ是△ABC的重心,则MA+MB-ＭC为（ ) Ａ.0 Ｂ．4

?C ．４ D ．4 7、在正六边形ＡＢＣDEF 中，不与向量相等的是（ ) ?Ａ. + B.- C ．＋ ?Ｄ.+ ８、a =－ｂ是|a ｜ = |b |的 ( ) A.充分非必要条件 ?B ．必要非充分条件 ?C ．充要条件 ? D.既非充分也非必要条件二、填空题: 9、化简：＋ + + + ＝＿_＿＿__. 1０、若a ＝“向东走８公里”,b ＝“向北走8公里”,则| a + b |=___,a +b 的方向是＿ __＿＿. 1１、已知Ｄ、Ｅ、F 分别是△ABC 中ＢC 、ＣA 、ＡB 上的点,且＝ 3 1 ， = 3 1 , ＝ 3 1,设 = a , = ｂ，则 = ___＿___＿__. 1２、向量ａ,b 满足:｜ａ|=2，|ａ＋ｂ|=3，|a -b |=3,则|b |=_＿___．三、解答题: １３、如图在正六边形AB ＣDEF 中,已知： = ａ，＝ b ，试用a 、b 表示向量 , ，， .

平面向量及其应用综合练习题百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！ 2．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b = B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22 ()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+，则a 与b 垂直 D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2 π 3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++= 6．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（） A ．BD AD AB -= B ．1 ()2 AD AB AC = + C ．8BA BC ?= D ．AB AC AB AC +=- 7．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（） A ． B ． 23 C ．23 - D 8．设a 为非零向量，下列有关向量 || a a 的描述正确的是（） A ．| |1|| a a = B ． //|| a a a C ． || a a a = D ． |||| a a a a ?= 9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b

《平面向量的加法教案》

《平面向量的加法》教案课题名称：平面向量的加法教材版本：苏教版《中职数学基础模块—*下册》年级：______________ 高一 ___________ 撰写教师：_____________ 徐艳__________ 一、理解课程要求教材分析： (1)地位和作用《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法、减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律?向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用?因此，本节学习起着承上启下的作用? (2)教学内容及教材处理教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知?同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情? 教学目标： (1)知识目标 ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；

③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算? (2)能力目标 ①经历向量加法的概念、三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力?⑶情感目标努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. ⑵能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流? 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法、启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作、自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源媒体资源1 名称：—两岸直航视频 _____________________ 媒体格式：—avr ___________________________ 媒体资源2 名称： _________ 《爱的直航》_____________ 媒体格式： ______ MP3—

从位移的合成到向量的加法

(完整版)平面向量练习题集答案

平面向量练习题(附答案)

平面向量及其加减运算课后训练

向量的加法与减法运算练习

高一数学向量的加法一 人教版

平面向量综合试题

平面向量简单练习题

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.1 向量的加法运算

向量的加法与减法2

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