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江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试理科数学试卷

南京市2011届高三第一次模拟考试(数学) 2011.01

一、填空题:(5分×14=70分)

1.

函数y =

的定义域是 .

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2. 已知复数z 满足(2)1z i

i -=+(i 为虚数单位)

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,则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,0,

1,x y x y x -+≥??+≥??≤?

则2z x y =+的最小值是 . 4. 如图所示的流程图,若输入的9.5x =-,则输出的结果为 . 5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ,在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ,得到点(,)P m n ,则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .

6. 已知平面向量,a b 满足||1,||2a b == ,a 与b 的夹角为3

π,以,a b

为邻边作

平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .

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7. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在6场比赛中的得分,用茎叶图表示如图所示,则该组数据的方差为 .

8. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若tan 21tan A c B b

+=,则角A 的大小为 .

9. 已知双曲线C:22

22

1(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ,若A

是线段BF 的中点,则双曲线C 的离心率为 .

10. 已知正数数列{}n a 对任意,p q N *

∈,都有p q p q a a a +=?,若24a =,则9a = .

11.已知,l m 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面。下列命题:

①若,,||,||,l m l m ααββ??则||αβ; ②若,||,,l l m αβαβ?= 则||l m ; ③若||,||,l αβα则||l β; ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥. 其中真命题是 .(写出所有真命题的序号).

12. 已知2()log (2)f x x =-,若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=,则m n +的最小值是 . 13. 在△ABC 中,已知BC=2,1AB AC ?=

,则△ABC 面积的最大值是 . 14. 若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件:

① P 、Q 都在函数()f x 的图象上;

②P 、Q 关于原点对称,则称点对(P ,Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ,Q )与(Q ,P )看作同一个“友好点对”).

已知函数2241,0,

()2

,0,x x x x f x x e

?++

已知函数()2sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的最小正周期为π

,且()4

f π

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=(1)求,ω?的值;

(2)若6()(0)2

5

f α

απ=-<<,求cos2α的值。

16. (本题满分14分)

如图,在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中,D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点. (1)求证:11A D ∥平面1AB D ;

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(2)若平面ABC ⊥平面11BCC B ,160O

B B

C ∠=,求三棱锥1B ABC

-的体积。

17. (本题满分14分)

如图,在半径为30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ,其中点A 、B 在直径上,点C 、D 在圆周上。

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(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大?并求最大面积; (2)若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.

18. (本题满分16分)

在直角坐标系xOy 中,中心在原点O ,焦点在x 轴上的椭圆C

上的点

到两焦点的距离之和为

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(1)求椭圆C 的方程;

(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点,其中点A 在x 轴下方,且3AF FB = .

求过O 、A 、B 三点的圆的方程.

19. (本题满分16分)

将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:

1

234

56789a a a a a a a a a

已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列,记为{}n b ,且254,10b b ==.

表中每一行正中

间一个数137,,,a a a 构成数列{}n c ,其前n 项和为n S .

(1)求数列{}n b 的通项公式;

(2)若上表中,从第二行起,每一行...中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数,且131a =.①求n S ;②记{

}|(1),n M n n c n N λ*

=+≥∈,若集合M 的元素个数为3,求实数λ的取值范

围.

20. (本题满分16分)

已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.

(1)若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=,求实数a 的值; (2)求证:()f x ≥0恒成立的充要条件是1a =;

(3)若0a <,且对任意12,(0,1]x x ∈,都有1212

11

|()()|4||f x f x x x -≤-,求实数a 的取值范围.

南京市2011届高三第一次模拟考试 数学附加题 2011.01

21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分. A.选修4-1:几何证明选讲

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如图,AB 是半圆O 的直径,C 是圆周上一点(异于A 、B ),过C 作圆O 的切线l ,过A 作直线l 的垂线AD ,垂足为D ,AD 交半圆于点E.求证:CB=CE.

B. 选修4-2:矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy 中,直线20x y ++=在矩阵14a M b ??

=????

对应的变换作用下得到直线

:40m x y --=,求实数,a b 的值.

C. 选修4-4: 坐标系与参数方程

在极坐标系中,圆C :10cos ρθ=和直线:3cos 4sin 300l ρθρθ--=相交于A 、B 两点,求线段AB 的长.

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D.选修4-5: 不等式选讲 解不等式|24|4||x x -<-.

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分. 22. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,

190,30,1,O O ACB BAC BC A A ∠=∠===M 是1CC 的中点.

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(1)求证:11A B AM ⊥;

(2)求二面角B AM C --的平面角的大小.

23. 已知等比数列{}n a 的首项12a =,公比3q =,n S 是它的前n 项和.求证:131

n n S n S n

++≤

.

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