【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第3讲推理与证明

第3讲推理与证明

【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．

1．合情推理

(1)归纳推理

①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

②归纳推理的思维过程如下：

实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

(2)类比推理

①类比推理是由特殊到特殊的推理

②类比推理的思维过程如下：

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论

2．演绎推理

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般性原理．

②小前提——所研究的特殊情况．

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)合情推理与演绎推理的区别

归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

3．直接证明

(1)综合法

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法

可用框图表示为

P ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?Q (2)分析法

用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→ 得到一个明显成立的条件 4． 间接证明

反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．

5． 数学归纳法

数学归纳法证明的步骤

(1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时结论成立．

(2)假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也成立． 由(1)(2)可知，对任意n ≥n 0，且n ∈N *时，结论都成立.

考点一 归纳推理

例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数

1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，

以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋1

2n ，

正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－1

2n ，

六边形数

N (n,6)＝2n 2－n

………………………………………

可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000

解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：

当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k

2n ，

∴N (10,24)＝24－22×100＋4－24

2×10

＝1 100－100＝1 000.

归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已

知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．

(1)在数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＝6，且当n ∈N *时，a n ＋2是a n ·a n ＋1的个位数

字，则a 2 014＝________. 答案 2

解析 由a 1＝2，a 2＝6，

得a 3＝2，a 4＝2，a 5＝4，a 6＝8，a 7＝2，a 8＝6，…， 据此周期为6， 又2 014＝6×335＋4， 所以a 2 014＝a 4＝2.

(2)如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

a ．每次只能移动一个金属片；

b ．在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f (n )． 则①f (3)＝________；②f (n )＝________. 答案 ①7 ②2n －1

解析 ①f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝2f (2)＋1＝7. ②先把上面的n －1个金属片移到2号针，

需要f (n －1)次，然后把最下面的一个金属片移到3号针， 需要1次，再把2号针上的n －1个金属片移到3号针，

需要f (n －1)次，所以f (n )＝2f (n －1)＋1， 得f (n )＋1＝2[f (n －1)＋1]，

故数列{f (n )＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以f (n )＋1＝2n ，于是f (n )＝2n －1. 考点二 类比推理

例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为

S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，

外接球体积为V 2，则V 1

V 2

＝________.

(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝

1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2

a 2.那么对

于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原

点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)127 (2)b 2a

2

解析 (1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理．平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝1

27.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则有???

??

x 0

＝x 1

＋x 2

2，y 0

＝y 1

＋y 2

2

.

将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1中得

x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22

a 2－y 2

2b 2＝1， 两式相减得x 21－x 22a 2＝y 2

1－y 22

b

2，

即

(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)

b 2

，

即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2a 2， 即k OM ·k AB ＝b 2

a

2.

类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，

有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．

(1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有

两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这 两个正方形重叠部分的面积恒为a 2

4

.类比到空间，有两个棱长均为a 的

正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ________．

(2)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个

动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个

焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________． 答案 (1)a 3

8

(2)内角平分线 a

解析 (1)两个正方体重叠部分的体积为一个常数，可考虑极端情况，即两个正方体重叠部分恰好构成一个棱长为a 2的正方体，这个小正方体的体积为a 3

8.

(2)对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q . 由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，

从而OM ∥F 1Q 且OM ＝1

2

F 1Q .

而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .

对于双曲线，过F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ， 类比可得OM ＝a .

因为OM ＝12F 1Q ＝12(PF 1－PF 2)＝1

2·2a ＝a .

考点三 直接证明与间接证明

例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )

1－a n ＋1

，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：

b n ＝a 2n ＋1－a 2

n (n ≥1)．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．

(1)解 已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2

n ＋11－a 2n

＝2

3， 而1－a 21＝34

，

所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为2

3的等比数列， 则1－a 2n ＝34×????23n －1，则a 2n

＝1－34×????23n －1， 由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现， 因此a n ＝(－1)n ＋1

1－34×???

?23n －1

， b n ＝a 2n ＋1－a 2

n

＝－34×????23n ＋34×????23n －1 ＝14×???

?23n －1. (2)证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m

而b n ＝14×????23n －1

随n 的增大而减小，

那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，

可得2×14×????23n －1＝14×????23m －1＋14×????23p －1

，

则2×????23n －m ＝1＋???

?23p －m .

当n －m ≥2时，2×????23n －m ≤2×????232＝89，上式不可能成立，则只能有n －m ＝1，此时等式为4

3

＝1＋????23p －m ， 即13＝????23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等． 所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．

(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．

(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．

已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝2

3

a n ＋n －4，

b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，

其中λ为实数，n 为正整数．

(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列．

(1)证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列， 则有a 22＝a 1a 3

，即????23λ－32＝λ????49λ－4 ?49λ2－4λ＋9＝4

9λ2－4λ?9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列．

(2)解 因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21] ＝(－1)n ＋1????2

3a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－2

3b n ，

又b 1＝－(λ＋18)，所以

当λ＝－18时，b n ＝0 (n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－2

3b n ，

可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－2

3

(n ∈N *)．

故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－2

3

为公比的等比数列；

综上知，当λ＝－18时，数列{b n }构不成等比数列；

当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－2

3为公比的等比数列．

考点四 数学归纳法

例4 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n

2a n ＋1

.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若2b n ＝1

a n ＋1，且P n ＝(1＋

b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2n －1)，求证：P n >2n ＋1.

(1)解 1

a n ＋1

＝2a n ＋1a n ＝2＋1

a n

，

所以{1

a n }是首项为1，公差为2的等差数列，

所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＝12n －1.

(2)证明

2b n ＝1a n ＋1＝2n ，所以b n ＝1

n

， 所以P n ＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2n －1) ＝(1＋1)????1＋13????1＋15…? ????1＋12n －1.

用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，P 1＝2> 3. ②假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立， 即P k ＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2k －1)

＝(1＋1)????1＋13????1＋15…? ????1＋12k －1>2k ＋1，

则n ＝k ＋1时，

P k ＋1＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2k －1)(1＋b 2k ＋1)

＝(1＋1)????1＋13????1＋15…? ????1＋12k －1? ????1＋12k ＋1>? ????1＋12k ＋12k ＋1.

因为? ???

?

1＋12k ＋12k ＋1＝2k ＋22k ＋1

，

所以

P 2k ＋1－(

2k ＋3)2

＝?

??

???

2k ＋22k ＋12－(2k ＋3)2 ＝4k 2＋8k ＋4－(4k 2＋8k ＋3)2k ＋1＝1

2k ＋1>0，

所以P k ＋1>

2k ＋3，即当n ＝k ＋1时结论成立．

由①②可得对于任意正整数n ，P n >

2n ＋1都成立．

(1)用数学归纳法证明不等式问题时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中，证明

不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题，运用放缩法时，要注意放缩的“度”．

(2)用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．

已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足S 2n －1

＝12a 2

n ，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝?????

2n －1

，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求a n ，b n ；

(2)试比较T 2n 与2n 2＋n

3

的大小．

解 (1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝12a 2

n 中，令n ＝1,2得?????

a 21＝2S 1，a 2

2＝2S 3，即

?????

a 2

1＝2a 1，(a 1＋d )2

＝2(3a 1＋3d )，

解得a 1＝2，d ＝4，∴a n ＝4n －2.

∴b n ＝?

????

2n －1

，n 为奇数，2n －3，n 为偶数.

(2)T 2n ＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n －2＋2×2n －3

＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4·n (n ＋1)2－3n ＝4n 3－13＋2n 2－n .

∴T 2n －(2n 2＋n 3)＝1

3(4n －4n －1)．

当n ＝1时，13(4n －4n －1)＝－1

3<0，

当n ＝2时，13(4n －4n －1)＝7

3>0，

当n ＝3时，13(4n －4n －1)＝51

3>0，…

猜想当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n

3，

即n ≥2时，4n >4n ＋1. 下面用数学归纳法证明：

①当n ＝2时，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立； ②假设当n ＝k (k ≥2)时成立，即4k >4k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，4k ＋1＝4·4k >4·(4k ＋1) ＝16k ＋4>4k ＋5＝4(k ＋1)＋1， ∴n ＝k ＋1时成立．

由①②得，当n ≥2时，4n >4n ＋1成立． 综上，当n ＝1时，T 2n <2n 2＋n 3，

当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n

3

.

1． 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比

推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．

2． 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时

常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．

3．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．

(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n

＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k 到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．

(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论.

1．将全体正奇数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．

答案 2 013

解析观察数阵，记第n行的第1个数为a n，则有

a2－a1＝2，

a3－a2＝4，

a4－a3＝6，

a5－a4＝8，

……

a n－a n－1＝2(n－1)．

将以上各等式两边分别相加，得a n－a1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，

所以a n＝n(n－1)＋1，所以a45＝1 981.

又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.

2． 在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，

k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝1

3(1×2×3－0×1×2)，

2×3＝1

3(2×3×4－1×2×3)，

…

n (n ＋1)＝1

3

[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．

相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝1

3

n (n ＋1)(n ＋2)．

类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________． 答案 1

4

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)

解析 类比k (k ＋1)＝1

3

[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，

可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝1

4

[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，

先逐项裂项，然后累加即得1

4

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．

(推荐时间：60分钟)

一、填空题

1． 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．

答案 a n ＝n (n ＋1)

2

解析 从图中观察五角星构成规律， n ＝1时，有1个；

n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个； n ＝4时，有10个；…

所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)

2

.

2． 已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则

AG GD

＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO

OM 等于________．

答案 3

解析 设四面体内部一点O 到四面体各面都相等的距离为d ，则题意知d ＝OM ，设各个面的面积为S ，则由等体积法得：4·13S ·OM ＝13S ·AM,4OM ＝AM ＝AO ＋OM ，从而AO

OM ＝

3

1

＝3. 3． 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，

(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________． 答案 (5,7)

解析 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数时，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数时，注意到

10(10＋1)

2<60<11(11＋1)

2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个

位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．

4． 已知正三角形内切圆的半径是其高的1

3

，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论

是________________________________________________________________________． 答案 正四面体的内切球的半径是其高的14

解析 原问题的解法为等面积法， 即S ＝12ah ＝3×12ar ?r ＝13

h ，

类比问题的解法应为等体积法， V ＝13Sh ＝4×13Sr ?r ＝14

h ，

即正四面体的内切球的半径是其高的14

.

5． 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设

a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 014，则i ，j 的值的和为________．

答案 79

解析 观察偶数行的变化规律，2 014是数列：2,4,6,8，…的第1 007项，前31个偶数行的偶数的个数为(2＋62)×31

2＝32×31＝992，所以2 014是偶数行的第32行第15个

数，即三角形数表中的第64行第15个数，所以i ＝64，j ＝15，所以i ＋j ＝79. 6． 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个

数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________． 答案 a n ＝n 3

解析 由题意知a 1＝1＝13，a 2＝3＋5＝8＝23，a 3＝7＋9＋11＝27＝33，a 4＝13＋15＋17＋19＝64＝43，….因此可归纳出a n ＝n 3. 7． (2013·陕西)观察下列等式：

(1＋1)＝2×1

(2＋1)(2＋2)＝22×1×3

(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …

照此规律，第n 个等式可为______________． 答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)

解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即

2n ×1×3×…×(2n －1)．

8． 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n

行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，1

2＝

13＋16，13＝14＋1

12

，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．

答案

1360

解析 由上面的规律可知第n 行的第一个数为1n ，第二个数为1

n (n －1)，所以第9行的第

二个数为18×9，第10行的第一个数为110，第二个数为19×10＝1

90，设第3个数为x ，即

x ＋190＝19×8?x ＝1

360

. 9． 对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23???

3

5，33??

???

79

11

，

43

?????

13

15

1719

，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．

答案 8

解析 由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8

时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8.

二、解答题

10．已知a >0且a ≠1，f (x )＝

1

a x ＋a

. (1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；

(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明；

(3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )． 解 (1)f (0)＋f (1)＝

1

1＋a ＋1a ＋a ＝1a ＝a a ，

f (－1)＋f (2)＝1a －1＋a ＋1a 2＋a ＝1a ＝a

a .

(2)由(1)归纳得到对一切实数x ， 有f (x )＋f (1－x )＝

a

a

. 证明如下f (x )＋f (1－x )＝1a x ＋a ＋1

a 1－x ＋a

＝

1

a x

＋a ＋a x

a (a ＋a x

)

＝

a ＋a x

a (a ＋a x )

＝1a ＝a

a .

(3)设S ＝f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )， 又S ＝f (n )＋f (n －1)＋…＋f (2)＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－(n －1))， 两式相加，得(由(2)的结论) 2S ＝2n ·a a ，∴S ＝n a

a

.

11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.

(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；

(2)设b n ＝S n

n

(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

(1)解 由已知得?????

a 1＝2＋1，

3a 1＋3d ＝9＋32，

∴d ＝2，

故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S n

n

＝n ＋ 2.

假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2

q ＝b p b r .

即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.

∵p ，q ，r ∈N *，∴?

???

?

q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，

∵(p ＋r 2)2

＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .

与p ≠r 矛盾．

所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．

12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2

n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．

(1)求a 1，a 2，a 3；

(2)猜想{a n }的通项公式，并加以证明；

(3)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). (1)解 分别令n ＝1,2,3，得

????

?

2a 1＝a 21＋1，

2(a 1＋a 2)＝a 2

2＋2，2(a 1

＋a 2

＋a 3

)＝a 23

＋3，

∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. (2)解 猜想：a n ＝n ， 由2S n ＝a 2n ＋n ，

① 可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)，

②

①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1. (ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2；

(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k . 那么当n ＝k ＋1时，

?[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.

这就是说，当n ＝k ＋1时也成立， ∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也适合．

故对于n ∈N *，均有a n ＝n . (3)证明 要证a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2).

即证

nx ＋1＋

ny ＋1≤

2(n ＋2)，

只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)， 即n (x ＋y )＋2＋2

n 2xy ＋n (x ＋y )＋1≤2(n ＋2)，

将x ＋y ＝1代入，得2

n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2，

即要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2，即4xy ≤1. ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝1

2，

即xy ≤1

4，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立．

2014《步步高》高考数学第一轮复习13 数学归纳法

§13.4 数学归纳法 2014高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力． 复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [难点正本 疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 1． 凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π 解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π. 2． 用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1 2n －1 1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证 n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________． 答案 2k 解析 n ＝k 时，左边＝1＋12＋…＋1 2k －1， 当n ＝k ＋1时，

高三数学二轮复习重点及策略

高三数学二轮复习重点及策略 高三数学二轮复习时间安排 1：第一阶段为重点知识的强化与巩固阶段，时间为3月1日—3月27日。 2：第二阶段是对于综合题型的解题方法与解题能力的训练，时间为3月28日—4月 16日。 专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点 函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。这些性质通常会综 合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。 一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些 基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向， 与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负， 最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。 不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。 当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的 综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。 专题二：数列。以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式， 通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法， 这些知识点需要掌握。 专题三：三角函数，平面向量，解三角形。三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单 调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定 理是很好的工具。向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还 可以和数学的一大难点解析几何整合。 专题四：立体几何。立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。 另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中， 应该掌握三棱柱，长方体。空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察 的方法为间接证明。

2020版高考数学二轮复习专题汇编全集

第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．

B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；

高三数学第二轮专题复习(4)三角函数

高三数学第二轮专题复习系列(4) 三角函数 一、本章知识结构： 二、高考要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。 5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。 三、热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议 应用 同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用 应用 应用 应用

高考数学能力测试步步高数学基础训练含答案 (25)

高考能力测试步步高数学基础训练43 基础训练43 概率与统计(一) ●训练指要 掌握离散型随机变量的分布列、期望和方差的意义，会求简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差. 一、选择题 1.随机变量ξ1是1个无线寻呼台1 min 内接到的寻呼次数；随机变量ξ2是某工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸误差；随机变量ξ3是测量1个学生身高所得的数值(精确到1 cm)；随机变量ξ4是1个沿数轴进行随机运动的质点的坐标，那么这4个随机变量中，离散型随机变量的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.1± 22 C.1+ 2 2 D.1- 2 2 3.如果ξ是离散型随机变量，η=3ξ+2,那么 A.E η=3E ξ+2,D η=9D ξ B.E η=3E ξ,D η=3D ξ+2 C.E η=3E ξ+2,D η=9E ξ+4 D.E η=3E ξ+4,D η=3D ξ+2 二、填空题 5.(胡文2021年年两省一市高考题)一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答) 三、解答题 6.一个袋子里装有分别标有数字的小球，其中标有1的有1个，标有2的有2个，…标有9的有9个，现从中任意取出1个，求取出的球上所标数字的分布列以及所取之球所标数字为奇数的概率. 求：(1)E ,D ,; (2)设η=2ξ+3,求E η,D η.

8.现要从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比武比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下： 次品数ξ 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 次品数ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 高考能力测试步步高数学基础训练43答案 一、1.B 2.D 3.A 二、4.0.2 0.7 5.1.2 ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 451 452 453 454 455 456 457 458 45 9 其中所取之球所标数字为奇数的概率为： .9 54597531459457455453451=++++=++++ 7.(1)E ξ=－ 31;D ξ=9 5 σξ=35=ξD (2)E η=2E ξ+3= 37D η=4D ξ=9 20 . 8.E ξ1=E ξ2=1.3 D ξ1=0.41 D ξ2=1.21 故两人平均水平基本一致，但乙技工的波动性较大，故应选甲参赛.

2018年高三数学(理科)二轮复习完整版【精品推荐】

高考数学第二轮复习计划 一、指导思想 高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。 强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。 第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说． “二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求．具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法． 二、时间安排： 1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。 2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。 3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。 三、怎样上好第二轮复习课的几点建议： （一）.明确“主体”，突出重点。 第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题. 第二轮复习的形式和内容 1．形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。 （1）集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 （2）三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 （3）数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 （4）立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 （5）解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 （6）不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 （7）排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。 （（9）高考数学思想方法专题。此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。 （二）、做到四个转变。 1．变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用．

高考数学第二轮备考指导及复习建议

2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法

运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。

高三数学文科第二轮专题复习

大田职专11级1—5班数学专题复习 立体几何模块 1、如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，'A A ⊥平面ABCD .。（I ）计算：多面体A 'B 'BAC 的体积； （II ）求证：C A '//平面BDE ； (Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE ． 2、如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，ο45=∠ABC ，1DC =， 2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ． （Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ； （Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积． 3、如图，在三棱锥A —BCD 中，AB ⊥平面BCD ，它的正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为cm 。（I ）在正视图右边的网格内,按网格尺寸和画三视图的要求，画出三棱锥的侧（左）视图；（II ）证明：CD ⊥平面ABD ；（III ）按照图中给出的尺寸，求三棱锥A —BC D 的侧面积。 B ' ? D C A ' B A E M C A P

5、（11-3泉质） 6、如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=?，点M 是棱PC 的中点，N 是棱PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，AC 、BD 交于点O 。 （1）求证：平面OMN//平面PAD ； （2）若DM 与平面PAC 所成角的正切值为2，求三棱锥 P —BCD 的体积。

8、 9、已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点． 求证：（Ⅰ）直线MF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1． A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M F

数学必修2黄色步步高答案珍藏版

第二章点、直线、平面之间的位置关系 §2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1平面 1．A 2.D 3.C 4.D 5．0 6．A∈m 7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 即点S在交线上， 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示． ∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD 和平面SAC的 交线． 8．证明∵l1?β，l2?β，l1D∥\l2， ∴l1、l2交于一点，记交点为P. ∵P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3， ∴l1，l2，l3交于一点． 9．C10.C 11．③ 12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上． 13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1， 又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上， ∴C1、O、M三点共线． (2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E、C、D1、F四点共面． 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1．D2．C3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60°(2)45° 7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，

可得GH 綊12AD .又BC 綊1 2AD ， ∴GH 綊BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解 由BE 綊1 2AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角， 又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°. (2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ， ∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ， ∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形， 又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°. 9．D 10．B 11．①③ 12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相 交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在 Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝1 2AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 13．解 如图，取AC 的中点P . 连接PM 、PN ， 则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝1 2CD ， 所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，

2018届高三数学二轮复习计划

宾阳中学2018届高三数学备课组第二轮复习计划 为使二轮复习有序进行，使我们的复习工作卓有成效并最终赢得胜利，在校、年级领导指导下，结合年级2018届高考备考整体方案的基础上，经数学基组研究，制定本工作计划。 一、成员： 韦胜华（基组长）、黎锦勇、文育球、韦振、施平凡、候微、张善军、蓝文斌、陈卫庆、黄凤宾、李雪凤、韦衍凤、梁建祥、卢焕荣、黄恩端、林祟标。 本届高三学生由于高一、高二赶课较快，训练量较少，所以基础相对薄弱，数学的五大能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力都较差，处理常规问题的通解通法未能落实到位，常见的数学思想还未形成。 二、努力目标及指导思想： 1、承上启下，使知识系统化、条理化，促进灵活应用。 2、强化基础夯实，重点突出，难点分解，各个击破，综合提高。 三、时间安排：2018年1月下旬至4月中旬。 四、方法与措施： （一）重视《考试大纲》（以2018年为准）与《考试说明》（参照2017年的考试说明）的学习，这两本书是高考命题的依据，是回答考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。 （二）重视课本的示范作用，虽然2018年高考是全新的命题模式，但教材的示范作用绝不能低估。 （三）注重主干知识的复习，对于支撑学科知识体系的重点知识，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。 （四）注重数学思想方法的复习。在复习基础知识的同时，要进一步强化基本数学思想和方法的复习，只有这样，在高考中才能灵活运用和综合运用所学的知识。 （五）注重数学能力的提高，数学能力包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 （六）注重数学新题型的练习。以高考试题为代表，构建新题型。 宾阳中学2018届高三理科数学备课组第二轮复习计划第1页（共2页）

高三数学二轮复习计划

高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

高三数学二轮复习方法技巧

高三数学二轮复习方法技巧 有人说高三数学是一只拦路虎,拦着我们通向大学的校门,上课听不懂,课下不会做,很 多同学在数学上面花费了很多时间,但是效果却甚微,其实只要方法得当,我们就能轻而易 举地打掉这只拦路虎 一、学习《考纲》，研究高考 第二轮复习，教师必须认真学习《考纲》与《考试说明》，并通过备课组活动交流学 习心得与认识，对高考“考什么”、“怎样考”每位教师都要心中有数，只有这样，才能 讲深讲透，讲得到位。注重备课组活动与师徒挂钩，要求每周集体备课一次，由老教师主讲，把本周的教学内容、课时安排、教学重点、教学方法进行解读，同时开展学习活动。 近几年，高考数学试题稳中有变，变中求新。其特点是：稳以基础为主体，变以选拔为导向，增大思维量，减少运算量，倡导理性思维，能力寓“灵活”之中。鉴于此，复习安排 要做到“三个加强三个突出”： 1 ．加强客观题的解题速度和正确率的强化训练 高考采取了客观题选择与填空减少运算量，降低难度，让学生有更多的时间完成解答题，充分发挥选拔功能的做法，这就需要第二轮复习要在“速度”与“准确率”上下功夫。一方面在平时讲评中要不断强化选择题的解法，如特值法、数形结合等，另一方面要定时 定量进行训练，可以在第二轮复习中每周安排一节课训练或每节课先安排十分钟训练，也 可在第三轮回归基础时进行训练。通过训练，要达到这样一个目的：让较好的同学都能在40分钟以内完成十道选择题和四道填空题，并且失误控制在两题之内。 2 ．加强思维训练，规范答题过程 第二轮复习中要重视对学生的每一次测试，通过严格训练让学生过好四关，形成良好 的思维品质和学习习惯，做到卷面规范、清楚，树立自己良好的形象。哪四关呢?一是审 题关，审题要慢，答题要快，要逐句逐字看题，找出关键句，发掘隐含条件，寻找突破口;二是运算关，准字当先，争取既快又准，为此，平时让同学们熟记一些常用的中间结论是 非常必要的;三是书写关，要一步一步答题，重视解题过程的语言表达，培养学生条理清楚，步步有据，规范简洁，优美整齐的答题习惯。在第三轮复习中我们要组织学生学习高 考评分标准，让学生学会踩得分点，俗话说：不怕难题不得分，就怕每题都扣分。四是题 后反思关，做题不在多而在精，想要以少胜多，贵在反思，形成题后三思：一思知识提取 是否熟练?二思方法运用是否熟练?三思自己的弱点何在?熟练的前提是练熟，能力的提高 在于反思。要求每位学生准备错题集，注明错误原因与反思心得，时常翻阅。 3 ．加强代数与几何的有机联系

高考数学二轮复习五大技巧

2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习

中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合

高三数学二轮复习试题

数学思想三（等价转化） 1．设M={y|y=x+1, x ∈R}, N={ y|y=x 2+1, x ∈R},则集合M ∩N 等于 ( ) A.{(0,1),(1,2)} B.{x|x ≥1} C.{y|y ∈R} D.{0,1} 2．三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为M,N,Q ，则体积为 ( ) A.32MNQ B.42MNQ C.62MNQ D.8 2MNQ 3．若3sin 2 +2sin 2 =2sin ，则y= sin 2 +sin 2 的最大值为 ( ) A. 21 B.32 C.94 D.9 2 4．对一切实数x ∈R ，不等式x 4+(a-1)x 2+1≥0恒成立，则a 的取值范 围为 ( ) A.a ≥-1 B.a ≥0 C.a ≤3 D.a ≤1 5．(1-x 3)(1+x)10的展开式中，x 5的系数是 ( ) A.-297 B.-252 C.297 D.207 6．方程|2|)1(3)1(32 ++=-+-y x y x 表示的曲线是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7．AB 是抛物线y=x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 长度的最大值 ( ) A. 45 B.2 5 C.2 D.4 8．马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9只路灯，为节约用电，可以把其中的3只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的2只或3只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___________________种。 9．正三棱锥A BCD 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，过B 点作与侧棱AC,AD 都相交的截面BEF ，则截面⊿BEF 的周长的最小值为_______________ 10．已知方程x 2+mx+m+1=0的两个根为一个三角形两内角的正切值，则 m ∈________________________________________ 11．等差数列{a n }的前项和为S n , a 1=6,若S 1,S 2,S 3,···S n ,···中S 8最大，问数列{a n -4}的前多少项之和最大？

高三数学二轮复习计划

高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三

高三数学二轮复习专题—数列

2013高三数学二轮复习专题—数列 【高频考点解读】 一、等差数列的性质 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 推广： d m n a a m n )(-+=． 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或 b a A +=2 （2）数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项 数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶ 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及 n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求 出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）

(完整版)高三数学第二轮复习的一些想法

高三数学第二轮复习的一些想法 清泉中学高三数学组 高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主。通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用。但知识较为零散，综合应用存在较大的问题，因此第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的“树形图”。同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。如何才能在第二轮的复习中提高复习效率，取得满意效果呢？ 一、抓《考试说明》与信息研究 第二轮复习中，不可能再面面俱到。要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》和《新课程高中数学教学要求》吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求。比较新、旧《考试说明》的差异、变动和强调之处。注意哪些内容降低了要求，哪些内容又将成为新的高考热点。明确各章节知识的考点分布及要求层次。同时关注高考信息，研究高考走向，明确高考命题的指导思想。同时还应关注近三年施行新课程改革的省市高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课中的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。二、突出对课本基础知识的再挖掘 近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。贴近、源于课本是近年来高考题的一个特点，这

就要求我们深入挖掘教材，如变换课本中例习题的背景、改变图形位置、增减题设或结论等，达到深化“三基”、培养能力的目的。要引申得当，我们还要注意充分发挥典型题的作用，同时深化推广或变式变形以及引伸创新。尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，引导学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。 三、抓好专题复习，领会数学思想 高考数学第二轮复习重在知识和方法专题的复习。在知识专题复习中可以进一步巩固第一轮复习的成果，加强各知识板块的综合。尤其注意知识的交叉点和结合点，进行必要的针对性专题复习。例如以函数为主干，不等式、导数、方程、数列与函数的综合；再如平面向量与三角函数，平向向量与解析几何的综合等。在复习中，以这些重点知识的综合性题目为载体，渗透对数学思想和方法的系统介绍。专题复习对备课的要求很高，通过对例习题的精选、精讲、精练，力求归纳出知识模块形成体系，同时也要能提炼出数学思想层次的东西。例如对分式、根式、绝对值的处理、角度、线段长度的处理、方程、不等式恒成问题的研究。大小比较二元函数问题、图象的应用、解析几何中对称问题、轨迹问题等，在教师的指导下，学生对知识的再现、整合过程中，可以伴随一系列思维活动，如分析、综合、比较、类比、归纳、概括等，这一过程也是逻辑思维综合训练的过程。经过这一过程可以加深对知识的理解，强化记忆，同时也可以发现问题，纠正错误，查漏补缺，学生对解题规律的探究、发现、归纳和应用过程中掌握数学基本方法，达到举一反三的目的，才能将所学知识转化为解决问题的能力。主要对“三角函数与向量、概率统计、立体几何、解析几何、数列、函数与不等