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bav-xqj_y高中数学 排列组合方法汇总素材 新人教A版选修2

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世界上有两种人,一种人,虚度年华;另一种人,过着有意义的生

活。在第一种人的眼里,生活就是一场睡眠,如果在他看来,是睡在既温暖又柔和的

床铺上,那他便 十分心满意足了;在第二种人眼里,可以说,生活就是建立功绩……

人就在完成这个功绩中享到自己的幸福。 --别林斯基

排列组合的常见题型及其解法

排列、组合的概念具有广泛的实际意义,解决排列、组合问题,关键要搞清楚是否与

元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制,因此掌握一些基

本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。

一. 特殊元素(位置)用优先法

把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采取特殊元

素(位置)优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?

分析:解有限制条件的元素(位置)这类问题常采取特殊元素(位置)优先安排的方

法。

解法1:(元素分析法)因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的

任一位置上,有A 41种站法;第二步再让其余的5人站在其他5个位置上,有A 55种站法,

故站法共有:A A 415

5?=480(种) 解法2:(位置分析法)因为左右两端不站甲,故第一步先从甲以外的5个人中任选两

人站在左右两端,有A 52种;第二步再让剩余的4个人(含甲)站在中间4个位置,有A 44

种,

故站法共有:A A 5244480?=(种)

二. 相邻问题用捆绑法

对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:即将这几个元素看作一

个整体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。

例2. 5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法?

解:把3个女生视为一个元素,与5个男生进行排列,共有A 66种,然后女生内部再进

行排列,有A 33种,所以排法共有:A A 66334320?=(种)。

三. 相离问题用插空法

元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已

排好的元素位置之间和两端的空中。

例3. 7人排成一排,甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法?

解:先将其余4人排成一排,有A 44种,再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、

丙插入,有A 53种,所以排法共有:A A 44531440?=(种)

四. 定序问题用除法

对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。解题方法是:先将n 个元素进行

全排列有A n n 种,m m n ()≤个元素的全排列有A m m 种,由于要求m 个元素次序一定,因此

只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中

m 个元素次序一定,则有A A n n m

m 种排列方法。 例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个?

解:不考虑限制条件,组成的六位数有A A 515

5?种,其中个位与十位上的数字一定,所以所求的六位数有:

A A A 51552

2300?=(个)

五. 分排问题用直排法

对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法求解。

例5. 9个人坐成三排,第一排2人,第二排3人,第三排4人,则不同的坐法共有多少种?

解:9个人可以在三排中随意就坐,无其他限制条件,所以三排可以看作一排来处理,

不同的坐标共有A 99种。

六. 复杂问题用排除法

对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面去考虑,先求出无限制条件的方法种数,然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。

例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点,取其中4个不共面的点,则不同的取法共有( )

A. 150种

B. 147种

C. 144种

D. 141种

解:从10个点中任取4个点有C 104

种取法,其中4点共面的情况有三类。第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面内,有464C 种;第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个点共面,有3种。以上三类情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有:C C 10464463141---=(种)。

七. 多元问题用分类法

按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计算,最后计算总数。

例7. 已知直线ax by c ++=0中的a ,b ,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。 解:设倾斜角为θ,由θ为锐角,得tan θ=-

>a b

0,即a ,b 异号。 (1)若c =0,a ,b 各有3种取法,排除2个重复(330x y -=,220x y -=,x y -=0),故有:3×3-2=7(条)。

(2)若c ≠0,a 有3种取法,b 有3种取法,而同时c 还有4种取法,且其中任意两条直线均不相同,故这样的直线有:3×3×4=36(条)。

从而符合要求的直线共有:7+36=43(条)

八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略

处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。

例8. 将4名教师分派到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分派方案共有多少种?

解:可分两步进行:第一步先将4名教师分为三组(1,1,2),(2,1,1),(1,

2,1),共有:C C C A 4221112

26??=(种),第二步将这三组教师分派到3种中学任教有A 33种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有:C C C A A 4221112

23336???=(种)。因此共有36种方案。

九. 隔板模型法

常用于解决整数分解型排列、组合的问题。

例9. 有10个三好学生名额,分配到6个班,每班至少1个名额,共有多少种不同的分配方案?

解:6个班,可用5个隔板,将10个名额并排成一排,名额之间有9个空,将5个隔

板插入9个空,每一种插法,对应一种分配方案,故方案有:C 95126=(种)

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