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3.4生活中的优化问题举例

二、预习内容

：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小

二、学习过程

1.汽油使用效率最高的问题

阅读例1，回答以下问题：

（1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？

（2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？

（3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？

2.磁盘最大存储量问题

阅读背景知识，思考下面的问题：

问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

阅读背景知识，思考下面的问题：

（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。

（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。

（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？

三、反思总结

通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：

收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）

§3.4 生活中的优化问题举例教学目标：

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域；

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.

重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论

值应予舍去。

难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值

在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。教学方法：尝试性教学

教学过程：

前置测评：

（1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程.

（2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

【情景引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题

例1.汽油的使用效率何时最高

材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？

通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？

解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v

这样，问题就转化为求g/v 的最小值，从图象上看，g/v

某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

时，利润最小，这时

根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤

3-4 生活中的优化问题举例

能力拓展提升一、选择题 11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3 9 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250 D ．300 [答案] D [解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3 900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300. 当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300

13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.3 3cm B.103 3cm C.163 3cm D.2033cm [答案] D [解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝1 3πx (400－x 2) (0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当203 3＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝203 3时，V 取最大值． 14．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr 2 D.12πr 2 [答案] A [解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 2 1. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0 得r 1＝2 2r . 此时S ＝4π·22r ·r 2 －? ?? ??22r 2

生活中的优化问题举例

高二数学◆选修2-2◆导学案编写：刘方贵张晓丽审核：仇国宗陈兆平袁全升2011-03-21 1 建立数学模型§1.4生活中的优化问题举例教学目标： 1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？本节课精华记录预习心得：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案

3.4生活中的优化问题举例

学习任务单生活中的优化问题举例班级_______________ 学号_______________ 姓名_______________ 学习目标 (1) 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用； (2) 提高将实际问题转化为数学问题的能力．环节一自主完成，课前思考解答应用题就是数学建模的过程，一般都要过三关：一是读懂题意，二是构建相应数学模型，三是利用数学知识解决问题。例、【2018年课标Ⅱ卷理18】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解答：笔记： y y t t 1,2,,17?30.413.5y t =-+t 1,2, ,7?9917.5y t = +20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份 6080

学而不思则罔，思而不学则殆环节二课堂展示，交流探讨例、某大学饭堂邀请你作为分析师分析饭堂窗口开设数量的优化方案，饭堂最多可开设九个窗口，开设窗口数x与用餐人数及平均消费额的变化情况如下表，开设每个窗口需支付的成本费为44（百元）元：（1）结合图中数据，以窗口数为自变量x总用餐人数为f(x)，作出散点图，并用函数建立总用餐人数f(x)与开设窗口数x间的关系；（2）同样请建立平均消费额g(x)与开设窗口数x之间的函数关系式（3）由（1）（2），分析题意，建立饭堂每日盈利h（x）与开设窗口数x间的函数关系式。（4）请利用（3）中的h(x)与实际情况相结合帮助饭堂设计较为合理的方案。问题:①由散点图，用餐人数与开设窗口数之间存在怎样的一种关系？ ②平均消费额与开设窗口数之间又存在怎样的关系？ ③如何计算盈利？ ④何为最优方案？需要计算什么量？

3.4生活中的优化问题举例

二、预习内容：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小

二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题阅读例1，回答以下问题：（1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？（2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？（3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？ 2.磁盘最大存储量问题阅读背景知识，思考下面的问题：问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响阅读背景知识，思考下面的问题：（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？三、反思总结通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：

收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）

§3.4 生活中的优化问题举例教学目标： 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域； 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。教学方法：尝试性教学教学过程：前置测评：（1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。【情景引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题例1.汽油的使用效率何时最高材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v 这样，问题就转化为求g/v 的最小值，从图象上看，g/v

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．内接于半径为的圆的矩形的面积的最大值是（） A ．32 B ．16 C ．16π D ．64 2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ，那么其表面积最小时，底面边长为（） D ．3．若商品的年利润y （万元）与年产量x （百万件）的函数关系式为y ＝－x 3 ＋27x ＋123（x>0），则获得最大利润时的年产量为（） A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件 D ．4百万件 4．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（） A ．1∶ 2 B ．1∶π C ．2∶1 D ．2∶π 5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为（） A cm B ．100cm C ．20cm D ．20 cm 3 6．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关数据统计显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y （分钟）与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示：3 213368 4y t t t =-- +-6294 ，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是（） A ．6时 B ．7时 C ．8时 D ．9时 7．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为（） A ．4 B ．8 C ． 43 D ．83 8．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100 元，若总收入R （x ）元与年产量x 的关系是()R x =3 400,0390,90090090,390,x x x x ?- +≤≤???>? 则当

生活中数学最优化问题的研究

生活中数学最优化问题的研究教学目标： 1）知识与技能：能够把理论与实践相结合，将现实生活中的实际问题抽象、归纳并转化成数学中的最优化问题来解决。 2）能力目标： 1、运用已掌握的数学知识及其他相关的知识，将实际问题转化为数学问题去解决； 2、培养学生发现问题、分析问题和解决题的能力； 3、培养学生探索数学问题的能力。 3）情感目标： 1、通过主动发现、自主探索的过程，让学生有发现、有收获，从而获得成功的经验，激发学生的求知欲； 2、培养学生的合作精神和创新精神。参与者特征分析高中生相对来说独立性较强，具有一定的独立处理事情的能力，但他们生活经验不够，看待问题欠准确，往往会以点概面，不过高中生很容易接受新生事物，只要进行适当的引导，相信能使活动顺利开展。教学过程： 1、深入生活，从生活中取得课题生活中处处充满着数学，处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏，细心的同学会发现，牙膏的包装有大有小，其价格也不相同，你想过大小包与其价格之间的关系吗？你吃东西时，想过营养成份的搭配吗？你在开灯关灯时，想过灯的位置与照明度问题吗？你在开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的问题吗？烈日下，你想过遮阳棚搭建方式与遮挡太阳光线有关吗？你在购买商品时，想过哪儿如何才能买到最便宜的吗？生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、费用最少、路线最短、容积最大等

将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择，何种方案最实惠。分几次付清付款方法首期所付款额付款总额与一次性付款差额 3次购买后四个月第一次付款，每四个月付一次款 1775.8元5327元327元 6次购买后2个月第一次付款，后每两个月付一次款，购买后12个月是第6次付款 880.8 5285 285 12次购买后一个月第一次付款，每一个月付一次款 438.6元5263元263元注规定月利率为0.8％，每月利息按复利计算方案一：设每期所付款额x元，那么到最后一次付款时付款合部本利和为x×(1+1.0084+1.0088)元x×(1+) 另外，5000元商品在购买后12个月后的本利和为5000×1.00812元。得x×(1+1.0084+1.0088)＝5000×1.00812 解得x＝1775.8元方案2： =5000×1.00812 x=880.8元方案3： =5000×1.00812 x＝438.6元不难得出第三种方案时间既宽松而且更实惠。四、成本最低化问题

生活中的最优化问题

生活中的最优化问题新乡市一中刘秀辉初中生的数学学习过程，事实上是一个体验生活、不断积累生活经验的过程。数学课程中许多问题的解决，实际上就是为学生创设一个或若干个选择的情境，让学生在模拟的实际背景下学会解决问题，在解决问题的过程中学会“选择”。教师应尽可能多地为学生设置“真实情景”的活动平台，使学生在对数学实际问题的探究活动中学会选择最佳解决方案。下面是我在《生活中的最优化问题》的教学过程中，利用生活中的几个实际问题，引导学生学会如何做出最佳选择的。一、创设问题情景，搭建“选择”平台师：数学来源于生活。生活中许多实际问题可以转化为数学问题来解决，请同学们看大屏幕，认真观察老师为大家收集的几个生活中的问题，看这些问题背景材料有什么共同特点？背景材料1：（人教版七年级上册教材100页数学活动1）一种笔记本售价为2.3元/本，如果买100本以上（不含100本），售价为2.2元/本。某班级要统一购买练习本，怎样购买才划算？背景材料2：某地上网有两种收费方式用户可以任选其一：（A）记时制：2.8元/时（B）包月制：60元/月此外，每一种上网方式都加收通信费1.2元/时。你能帮一位新上网客户策划一下选用哪种收费方式？背景材料3：为了使学生更多地了解牧野文化，新乡市一中七年级某班班主任带领学生准备去牧野公园参观，参观门票是每张20元，售票员告诉老师说有两种优惠方式：一种是老师免费，学生按7.25折优惠；一种是全体师生都按7折优惠。如果你是这个班的班主任，怎样购买门票划算？背景材料4：某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元。如果你的爸爸因为工作需要刚刚购买一部手机，你能帮他参考选用哪种收费方式吗？ (同学们边看边小声议论，问题展示完毕，便有同学站起来回答老师的问题。) 生1：我认为这些生活的数学问题，都提供了多种方案，让我们做出选择。生2：在选择这些实际问题的方案时要结合自己的实际情况，没有最好，只有更好！师：同学们的见解很独到，很精彩！对问题的理解比较到位。让我们快行动起来，来探究这些有趣的数学问题吧！二、实际问题探究，引领学生学会“选择”

3.4生活中的优化问题举例(含答案)

§3.4 生活中的优化问题举例课时目标通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________． 2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．一、选择题 1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2?? ?? 60－x 2 (0400) ，则总利润最大时，年产量是( )

生活中的优化问题举例(教学设计)含答案

3.4生活中的优化问题举例（教学设计）（1）（2）（2课时）教学目标：知识与技能目标：会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。过程与方法目标：在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。情感、态度与价值观目标：在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．教学过程：一．创设情景、新课引入生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．师生互动，新课讲解导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。例1（课本P101例1）．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要贴海报进行宣传。现让你设计一如图1.4-1所示的竖向贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128 x dm,此时四周空白面积为 128512 ()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。求导数，得 '2 512()2S x x =- 。令' 2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。于是宽为128128 816x ==。当(0,16)x ∈时，' ()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，' ()S x >0. 因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

生活中的优化问题带答案

生活中的优化问题举例 1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) cm B ．1033cm cm D ．2033cm [答案] D 2．用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3：4，那么容器容积最大时，高为( ) A ．0.5m B ．1m C ．0.8m D ．1.5m [答案] A [解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m 、4x m ，则高为6－12x －16x 4＝? ?? ??32－7x (m)，容积V ＝3x ·4x ·? ????32－7x ＝18x 2－84x 3? ?? ??00，x ∈? ?? ??17，314时，V ′<0，所以在x ＝17处，V 有最大值，此时高为0.5m. 3．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R R D ．34R [答案] C [解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R . 当00；当4R 3

3.4生活中的优化问题举例

第三章第4节生活中的优化问题举例课前预习学案一、预习目标了解解决优化问题的思路和步骤二、预习内容 1．概念：优化问题：_______________________________________________________ 2.回顾相关知识：（1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3, 求此点的坐标。 3：生活中的优化问题, 如何用导数来求函数的最小(大)值？ 4.解决优化问题的基本思路是什么？三、提出疑惑同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系, 正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x , 把实际问题转化为数学问题, 即列出函数解析式()y f x =, 根据实际问题确定函数()y f x =的定义域； 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤, 细心运算, 正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时, 一定要从问题的实际意义去考察, 不符合实际意义的理论值应予舍去。难点：在实际问题中, 有()0f x '=常常仅解到一个根, 若能判断函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到, 则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题阅读例1, 回答以下问题：（1）是不是汽车速度越快, 汽油消耗量越大？（2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？（3）如何根据图3.4-1中的数据信息, 解决汽油的使用效率最高的问题？ 2.磁盘最大存储量问题阅读背景知识, 思考下面的问题：问题：现有一张半径为的磁盘, 它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小, 磁盘的存储量越大？（2）r为多少时, 磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响阅读背景知识, 思考下面的问题：（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？三、反思总结通过上述例子, 我们不难发现, 解决优化问题的基本思路是：

生活中的优化问题举例教案张华

学校：临清一中学科：数学编写人：张华审稿人：张林 § 1.4.1生活中的优化问题举例【教学目标】 1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用； 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。【教学重难点】教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。【教学过程】 ( 一 ) 预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量 w （单位：L）与汽车的速度 v （单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： ①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ ②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。（三）合作探究、精讲点拨（ 1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（ 2）引导探究例 1：海报版面尺寸的设计优化问学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2, 上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究 1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例 2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r 2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2分 , 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ ②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究 2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例 3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成

生活中数学最优化问题的研究

军事、决策等各领域。对于上述问题，有些你也许想过，有些你也许从未想过。这些问题都与数学最优化问题有关！这堂课让我们共同发现并研究这些数学最优化问题吧！ 2、结合生活、联系社会实际选择课题解决最优化问题是一个发现、探索的过程，也是我们亲身感受问题、寻找解题策略，实现再创造以及体验数学价值的过程。在这个过程中，肯定我们的见解不全相同，就让我们彼此关心、合作探讨、互相评价、取得共识、达到群体算法多样化，获得探索成功的快乐吧。使不同的人在数学活动中得到不同的收获，让我们每个人都能有所发展、有所创新，提高创造思维水平高，丰富实践经验，增强探索能力。下面我就列举几个生活中数学最优化问题的例子吧。一、商品价格最优化问题在生活中，有许多生活必需品需要我们购买，就如妈妈要购买一台电磁炉，但如何才能买到最实惠的呢？于是我们开始为妈妈出谋划策，前往各大超市调查这件商品的价格。我们将收集的信息列成下表：各大超市电磁炉价目表：从上表我们不难发现天天新最便宜，如果只从价格方面考虑我们不难得出结论，妈妈在天天新买最合算。上述这个问题是一个很直接也很简单的数学最优化问题，我们收集信息——分析信息——得出结论，加以使用数学最为简单的加减运算，就为妈妈节省了一笔钱。二、预算最优化问题在研究过程中，我们不仅需要动脑，更需要调查行动。学习了长方体的表面积后，让我们来测算一下粉刷教室的费用。我们首先动手测定教室的粉刷面积，了解市场上涂料价格如何，需要多少涂料，粉刷的工钱如何计付，明确了这些因素以后我们就能对粉刷教室的费用做个初步的结算。三、分期付款最优化问题现在让我们来完成一道较为复杂的数学最优化问题，它与时下流行的分期付款的计算有关，为了更加迎合消费者的需要，开发商往往会提出几种销售方案供顾客选择，如何选最优的销售方案，也是我们研究的关键所在。顾客购买一件售价为5000元的商品时，那在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择，何种方案最实惠。

3.4-1生活中的优化问题举例

3.4-1 生活中的优化问题举例【学习目标】 1、求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去； 2、理解0)(/ x f 仅解到一个根时，若能判断函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。【学习过程】模块一教材助读 1、生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 2、用导数解决优化问题的实质是 3、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1)与几何有关的最值问题； 2)与物理学有关的最值问题； 3)与利润及其成本有关的最值问题； 4)效率最值问题。利用导数解决优化问题的基本思路：模块二优化问题举例例1、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值.

小结利用导数解优化问题的步骤：【思考】在课本例1中，“16x =是函数()S x 的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？结论：在实际问题中，由于()'f x =0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 2 0.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？分析：先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.

3.4生活中的优化问题举例 (2)

课内探究学案一、学习目标 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式() =， y f x 根据实际问题确定函数() =的定义域； y f x 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。 '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）难点：在实际问题中，有()0 f x 值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题阅读例1，回答以下问题：（1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？（2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？（3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？

2.磁盘最大存储量问题阅读背景知识，思考下面的问题：问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响阅读背景知识，思考下面的问题：（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？

生活中的优化问题举例导学案及练习题

生活中的优化问题举例导学案及练习题【学习要求】1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 【学法指导】1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想.2.感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力. 1.在经济生活中，人们常常遇到最优化问题.例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是 2.利用导数解决最优化问题的实质是 . 3.解决优化问题的基本思路是上述解决优化问题的过程是一个典型的过程. 引言数学源于生活，寓于生活，用于生活.在我们的生活中处处存在数学知识，只要你留意，就会发现经常遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题，这些问题通常称为最优化问题，在数学上就是最大值、最小值问题.导数可以解决这些问题吗？如何解决呢？探究点一面积、体积的最值问题问题如何利用导数解决生活中的最优化问题？例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

跟踪训练1如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积. 探究点二利润最大问题例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝ax－3＋10(x－6)2，其中3

生活中的优化问题

§第三章第4节生活中的优化问题举例课前预习学案一、预习目标了解解决优化问题的思路和步骤二、预习内容 1．概念：优化问题：_______________________________________________________ 2.回顾相关知识：（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程. （2）求曲线y=x2在点P(1,-3)处的切线方程. （3）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。 3：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小(大)值 4.解决优化问题的基本思路是什么

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标复习：如何用导数来求函数的最值一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.，特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式() =，根据实际问题确定函数 y f x y f x =的定义域； () 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。 '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的难点：在实际问题中，有()0 f x 变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。二、学习过程生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.

生活中的一些最优化问题研究

内容摘要数学与我们日常生活密切相关，日常生活中的许多问题来源于数学思想的应用。在掌握一定的数学基础的前提下，结合日常当中可能出现的数学问题，通过适当的规划安排，运用数学原理求解出行之有效的最优化方案。本文的主要研究方向是通过对日常生活中经常涉及到的若干最优化问题进行归纳总结，分析其所涉及的数学原理并将其推广应用到其他生活案例当中去。本文的主要贡献是通过对运输成本问题和效益分配问题的最优化分析，详细地介绍了表上作业法和Shapley值法的求解过程，指出了模型存在的缺陷和不足，并对模型进行修改以及推广应用。关键词: 最优化；表上作业法；Shapley值；推广应用

Abstract Mathematics to our daily lives are closely related to many of the problems in our daily life from the application of mathematical thinking. Master the mathematical basis of the premise of the mathematical problems that may arise in day-to-day which, through appropriate planning arrangements, the use of mathematical principles for solving optimization program effective. The main research directions to daily life often related to certain optimization problem to summarize,analyze its mathematical principles involved and promote the application to which the case of other life to go.The main contribution of this paper is the optimization analysis on transportation costs and efficiency of the distribution of the mostdetailed description of the solution process of the tabular method and the Shapley Value,pointed out that the model defects and deficiencies,and to modify the model and application. Keywords:Optimization; Tabular method; Shapley method; Application