一年级奥数.几何.发现不同

如日出与日落的交替，一年四季春夏秋冬的交替……这些都是自然现象的规律。在数学知识中也有许多规律。比如，给你几行图或几行数，你能发现与其他不同的那一行图或数，能发现与其他不同的那一行图或数吗？这就要请你仔细观察，认真比较，从中发现相同的规律。这样就能轻松地找到与规律不同的那一行了。从多个方面，比如形状、大小、颜色、多少、横向、纵向等等，进行对比分析。

【例 1】请你把每组中不同的图形圈出来，并说说理由。

【例 2】把下列六幅图进行分类，你有几种分法？

【例 3】看下面的图形，左边的图形中包含着与右边一样的图形。找到后涂上颜色。【例 4】小兔的好朋友小猫与其他猫不一样，找到了吗？

例题精讲

知识框架

发现不同

（1）（2）（3）（4）（5）

【例 5】下图每一行有什么规律？根据规律继续画，并指出哪一行与其他三行不同？

【例 6】观察下图每一行的排列规律，找出与其他三行不同的是哪一行？

第一行有（）个

第二行有（）个

第三行有（）个

第四行有（）个

【例 7】先观察图，再在方框中画两个图形，使每种图形至少有两个。

【例 8】图中哪一行与其他几行不同？

7 5 3 1

8 6 4 2

10 8 6 4

7 6 5 4

【例 9】 根据前面几行规律，写出下面三行数。

1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 6 7 8 9 10 10

【例 10

】 找出下列图形中不同类的图形。

【随练

1】

在圆圈里面画一个与下边图形相似而又不同的图形。

【随练

2】

下图每一行的规律是什么？根据规律继续画，哪一行与其他三行不同？

_________

_________

_________

_________

课堂检测

【作业1】 观察下图，找出完全相同的两个图形。

1

2

3

4

5

6

7

8

【作业2】 观察下图，找出完全相同的两个图形。

1 2

3 4

5

6

7 8

【作业3】 米老鼠看到四辆拖拉机中有一辆与其他三辆有些不一样，是哪辆呢？

【作业4】 下列这组图形中，其中有两个图形完全相同，用线把它们连起来！

（1）

（2）

（3）

家庭作业

（4）

（5） （6）

【作业5】 下表中哪两行的规律完全相同的？

第一行 1 3 5 7 9 第二行 2 3 4 5 6 第三行 0 2 4 6 8 第四行

9

8

7

6

5

【作业6】 仔细观察，找出下面每行图形只与众不同的那一个。

【作业7】 仔细观察，找出下面每行图形只与众不同的那一个。

小学四年级奥数几何面积的计算

小学四年级奥数几何面积的计算 1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米? 【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：(90+10)×(45+5)=5000(平方米)，操场原来的面积是：90×45=4050(平方米)。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。(90+10)×(45+5)-(90×45)=950(平方米) 练习(1)有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米? 练习(2)一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米? 2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米? 【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9(米);又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12(米)，所以，这个长方形的面积是12×9=108(平方米)。(36÷3)×(54÷9)=108(平方米) 练习(1)一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米? 练习(2)一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增

加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米? 练习(3)一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

举一反三-一年级奥数-第3讲变与不变

第二章比一比看一看 第3 讲变与不变 小朋友，你知道吗？把一块石头放进瓶子里，瓶子里的水会有什么变化？对了，瓶子里的水位就会升高。把放进去的石头再拿出来，水又会怎样变化呢？下面，我们就来找一找变与不变的规律。 在某一物体中再添加一些物体，总量就会增加，在某一物体中取走一些物体，总量就会减少。而仅仅是把物体改变它的形状或大小，质量就不会改变。 【专题导引】 【B1】杯子外面有两块石头，一块大的，一块小的。大的石头放进杯子里与小的石头放进杯子里，水的变化有什么不同？ 【试一试】杯子外面有两块铁块，一块大的，一块小的，大铁块放进杯子里与小铁块放进杯子里，水的变化有什么不同？ 1

2 【B1】下面左边两只杯子一样大， 里面盛的水也一样多。 如 果把左边杯子里的水分别倒入右边的杯子里， 右边的两个杯 子里的水还是一样多吗？ 【试一试】 有两块石头，一块大的， 一块小的， 分别放进了 同样大小的杯子里， 且杯子里装的水同样多。 请问哪杯是放 进了大的石头，哪杯是放进了小的石头？ 【B3】分别在没有石头的上排的杯里放入石头后变成下排之 图，哪个杯里的石头最大？ 【试一试】分别在上排没有石头的杯子里各放一块铁块后变 成下排的图，哪个杯子里面的铁块最小？ A B A B C

A1】两块一样的方糖，各放一块到杯子里，哪杯水甜？ A B 试一试】在下面的4 杯淡水中，每杯放进同样的2 块方糖， 哪一杯水最甜，为什么？ A2】三杯糖水一样甜，哪杯水里放进去的糖最少？ 试一试】四杯糖水一样甜，哪杯水放进去的糖最少？ 课外作业 家长签名： 1、白球的个数和花球的个数一样多，如果把白球放入左边玻璃杯内，把花球放入右边杯内，左边杯里的白球多还是右边杯里的花球多？ 3

小学奥数 几何计数 专题

1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数

二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三 角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级） 【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多

小学奥数之几何蝴蝶定理问题完整版

小学奥数之几何蝴蝶定 理问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

C F E A D B C B E F D A 几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 1 2 AD AB = ，例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且 13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形 EDCA 的面积 是35，求三角形ABC 的面积. 例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积 和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角 形。已知

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??） 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

小学一年级奥数第3讲 变与不变 - 教师版

第二章比一比看一看 第3讲变与不变 【专题导引】 小朋友，你知道吗？把一块石头放进瓶子里，瓶子里的水会有什么变化？对了，瓶子里的水位就会升高。把放进去的石头再拿出来，水又会怎样变化呢？下面，我们就来找一找变与不变的规律。 在某一物体中再添加一些物体，总量就会增加，在某一物体中取走一些物体，总量就会减少。而仅仅是把物体改变它的形状或大小，质量就不会改变。 【专题导引】 【B1】杯子外面有两块石头，一块大的，一块小的。大的石头放进杯子里与小的石头放进杯子里，水的变化有什么不同？ 解答：大石块放进杯子里，水面升高得多；小石块放进杯子里，水面升高得少。 【试一试】杯子外面有两块铁块，一块大的，一块小的，大铁块放进杯子里与小铁块放进杯子里，水的变化有什么不同？

解答：大铁块放进杯子里，水面要比小铁块放进杯子里升高得多。 【B1】下面左边两只杯子一样大，里面盛的水也一样多。如果把左边杯子里的水分别倒入右边的杯子里，右边的两个杯子里的水还是一样多吗？ 解答：水倒入另外一个容器中不变，右边两个杯子里的水一样多。 【试一试】有两块石头，一块大的，一块小的，分别放进了同样大小的杯子里，且杯子里装的水同样多。请问哪杯是放进了大的石头，哪杯是放进了小的石头？ 解答：A杯中水面要比B杯中水面高，所以A杯放进了大石头，B杯放进了小石头。 【B3】分别在没有石头的上排的杯里放入石头后变成下排之图，哪个杯里的石头最大？ 解答：B杯中水面升高得最多，所以B杯里的石头最大。【试一试】分别在上排没有石头的杯子里各放一块铁块后变 C A B A B

成下排的图，哪个杯子里面的铁块最小？ 解答：第（3）个杯子中水面升高 得最少，所以第（3）个杯子里面 的铁块最小。 【A1】两块一样的方糖，各放一块到杯子里，哪杯水甜？ 解答：B杯中水少一些，所以B杯中水更甜。 【试一试】在下面的4杯淡水中，每杯放进同样的2块方糖，哪一杯水最甜，为什么？ 解答：第（2）杯最甜，因为第（2）杯水最少。 【A2】三杯糖水一样甜，哪杯水里放进去的糖最少？ 解答：第（1）杯最少，因为第（1）杯中水最少。 【试一试】四杯糖水一样甜，哪杯水放进去的糖最少？ A B

四年级奥数几何知识面积的计算

四年级奥数几何知识------面积的计算 1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米？ 【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。 （90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米） 练习（1）有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？ 练习（2）一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？ 2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？ 【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。（36÷3）×（54÷9）=108（平方米） 练习（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？ 练习（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？ 练习（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。 3、下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积有多大。 【思路导航】根据题意，因为一面利用墙，所以两条长加上一条宽等于16米，而宽是4米，那么长是（16-4）÷2=6（米）。因此，占地面积是6×4=24（平方米） （16-4）÷2×4=24（平方米） 练习（1）下图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成一个长方形的养鸡场，求养鸡场的占地面积有多大？

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数系列训练题-几何计数通用版

2015年小学奥数计数专题——几何计数 1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴? 2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍? 3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔? 4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？ 5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和． 6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?

7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个? 8．图中共有多少个三角形? 9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 11．在图中，共有多少个不同的三角形? 12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?

13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个? 14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? 15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少? 16．数一数下列图形中各有多少条线段. 17．数出下图中总共有多少个角. 18．数一数下图中总共有多少个角？ 19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ① 等底等高的两个三角形面积相等； ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 S 1：S a:b ③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 E A CD 足BCD ； 反之，如果S ACD S A BCD ，则可知直线AB 平行于CD . ④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）； ⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比. 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比. 如图在A ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在 AC 上）, 贝S S A ABC : S A ADE （AB AC ）： （AD AE ） 图⑵ 任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： ① S ：S 2 S 4 ：S 3 或者 S i S 3 S 2 S 4 ② AO:OC S i & : S 4 S 3 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造 Si S 2 a A B C D C D

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： ① S ：S a 2：b 2 ② S 1 : S 3 : S 2: S 4 a 2: b 2: ab: ab ; ③ S 的对应份数为a b 2 . 四、相似模型 （一）金字塔模型 ① AD AE DE AB AC BC ^② ADE :& ABC 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具 /、? 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点O ，那么 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 ABO :S ACO BD:DC . 二）沙漏模型 AF AG ； AF 2 :AG 2 .

小学奥数-几何五大模型

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长 度是多少？ 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ， 所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+． 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？ 【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。 【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△， 任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数几何专题

小学几何面积问题一 姓名 引理：如图1 ABCD 中。P 是AD 上一点，连接PB,PC 则S △PBC =S △ABP +S △pcD = 2 1 S ABCD 1．已知：四边形ABCD 为平行四边形，图中的阴影部份面积占平行四边形ABCD 的面积的几分之几 2. 的面积为18，E 是PC 的中点，求图中的阴影部份面积 3. 在中,CD 的延长线上的一点E ，DC=2DE,连接BE 交AC 于P 点，（如图）知S △PDE =1, S △ABP =4， 求：平行四边形ABCD 的面积 4..四边形ABCD 中，BF=EF=ED,（如图） (1) 若S 四边形ABCD =15 则S 阴 = （2）若S △AEF + S △BFC =15 则S 四边形ABCD = （第一题图） （3）若S △AEF= 3 S △BFC =2 则S 四边形ABCD = 5. 四边形ABCD 的对角线BD 被E,F ，G 三点四等份，（如图）若四边形AECG=15 则S 四边形ABCD = M P E B P 图1 A B A D C B （适应长方形、正方形） B

ＧＢ Ｆ Ｃ 　Ａ Ｅ ＤA B 6.四边形ABCD 的对角线BD 被E,F ，G 三点四等份，（如图）若阴影部份面积为15 则S 四边形ABCD = 7.若ABCD 为正方形，F 是DC 的中点，已知：S △BFC = 1 （1）则S 四边形ADFB = （2） S △DFE = （3） S △AEB = 8.直角梯形ABCD 中.AE=ED,BC=18,AD=8,CD=6,且BF=2FC,S △GED =S △GFC .求S 阴= 小学几何面积问题二 姓名 1.如图S △AEF= 2, AB=3AE CF=3EF 则S △ABC= 2. 如图S △BDE=30 ，AB=2AE ， DC=4AC 则S △ABC= 3.正方形ABCD 中，E,F,G 为BC 边上四等份点， M,N,P 为对角线AC 上的四等份点（如图） 若S 正方形ABCD=32 则S △NGP= 4.已知：S △ABC=30 D 是BC 的中点 AE=2ED 则S △BDE= B A C B D E 第1题 第2题

小学奥数几何图形的面积

1，已知三角形EBC的面积是105平方厘米，AD=13厘米，BC=15厘米，求阴影部分的面积。2，有两个相同的长方形，长14厘米，宽8厘米，如果把他们按右图叠加在一起，这个图形的面积是多少？ 3，求下图中阴影部分面积。（单位：厘米） 4，如图所示：一个打谷场长是70米，宽是40米，扩建后长增加了15米，宽增加了7米，这个打谷场的面积增加了多少平方米？

5，梯形草坪（如下图）有一平行四边形人行道，求人行道的面积是多少平方米？ 1，求下图中阴影部分面积。（单位：米） 2，梯形面积是48平方厘米，求下图中阴影部分面积。（单位：厘米） 3，下图是平行四边形，面积是35平方厘米，求下图中阴影部分面积。（单位：厘米）

4，把一个长10米的长方形草地的一条边长增加4米，面积增加12平方米，求增加后草地的面积是多少平方米？ 5，求下图中阴影部分面积。（单位：厘米） 6，在长方形中，A、B分别是两边是中心，三角形ABC的面积是6平方厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？

7，如图，在平行四边形ABCD之中，AE=EB,BF=FC,CG=GD,平行四边形ABCD的面积是阴影面积的多少倍？ 8，如图在平行四边形ABCD的面积是80平方分米，E、F分别是AB和AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米？

9，如图，在平行四边形ABE之中，BC=CE=7l厘米如果三角形DCE的面积是21平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？ 10，A和B分别是正方形边上的中心，求下图中阴影部分面积。（单位：厘米）

1，图中平行四边形的面积是36平方厘米，求下图中阴影部分面积。（单位：厘米） 2，如图ABCD是长方形，长是24厘米，宽是18厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，试求出这个四边形的面积是多少？（单位：厘米）

小学奥数几何专题训练附答案

学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。 六年级几何专题复习 如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接 而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)

小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两 个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图 S i：S2 a:b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S A CD &BCD ； 反之，如果S A A CD S A B CD，则可知直线AB平行于CD . ④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的咼之比. 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比. 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上，E在 AC 上）, 则S A ABC : S A ADE（AB AC）：（AD AE） 图⑴图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： ① S1 :S2 S4 : S3或者MS S2 S4② AO:OC s S2 : S4 S3 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不 规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一 方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： ①S1: S3a2: b2 C ②S i: S3: S? : S4 a2 : b2 : ab : ab ； ③S的对应份数为a b2. 四、相似模型

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862， 根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

一年级奥数第3讲 变与不变

一年级奥数精讲 第二章比一比看一看 第3讲变与不变 【专题导引】 小朋友，你知道吗？把一块石头放进瓶子里，瓶子里的水会有什么变化？对了，瓶子里的水位就会升高。把放进去的石头再拿出来，水又会怎样变化呢？下面，我们就来找一找变与不变的规律。 在某一物体中再添加一些物体，总量就会增加，在某一物体中取走一些物体，总量就会减少。而仅仅是把物体改变它的形状或大小，质量就不会改变。 【专题导引】 【B1】杯子外面有两块石头，一块大的，一块小的。大的石头放进杯子里与小的石头放进杯子里，水的变化有什么不同？ 【试一试】杯子外面有两块铁块，一块大的，一块小的，大铁块放进杯子里与小铁块放进杯子里，水的变化有什么不同？

【B1】下面左边两只杯子一样大，里面盛的水也一样多。如 果把左边杯子里的水分别倒入右边的杯子里，右边的两个杯 子里的水还是一样多吗？ 【试一试】有两块石头，一块大的，一块小的，分别放进了 同样大小的杯子里，且杯子里装的水同样多。请问哪杯是放 进了大的石头，哪杯是放进了小的石头？ 【B3】分别在没有石头的上排的杯里放入石头后变成下排之 图，哪个杯里的石头最大？ 【试一试】分别在上排没有石头的杯子里各放一块铁块后变 成下排的图，哪个杯子里面的铁块最小？ C A B A B

【A1】两块一样的方糖，各放一块 到杯子里，哪杯水甜？ A B 【试一试】在下面的4杯淡水中，每杯放进同样的2块方糖， 哪一杯水最甜，为什么？ 【A2】三杯糖水一样甜，哪杯水里放进去的糖最少？ 【试一试】四杯糖水一样甜，哪杯水放进去的糖最少？

课外作业 家长签名： 1、白球的个数和花球的个数一样多，如果把白球放入左边玻璃杯内，把花球放入右边杯内，左边杯里的白球多还是右边杯里的花球多？ 2、将大小不同的两块石头放入盛水相同且同样大小的两个杯中，哪个杯中放入的是大石头？ 3、把鹅蛋、鸡蛋、鸽蛋分别放入三只碗里，猜猜它们分别放在哪只碗里？

小学奥数 几何五大模型 等高模型

模型一 三角形等 高模型 已经知道三角形面积 的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时 发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与原来 的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶ 6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的 4 3 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面 积是 平方厘米。 三角形等高模型与鸟头模型