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最新分数裂项法解分数计算

分数裂项计算

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3)

n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】 111111223344556

++++=????? 。

【巩固】

111

...... 101111125960 +++

???

【巩固】

2222 109985443 ++++=????

【例 2】1111 11212312100 ++++

++++++

【例 3】

1111 133******** ++++=????

【巩固】计算：

1111

1335572325

?++++=

????

【巩固】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++

?????

【巩固】计算：

3245671 255771111161622222929 ++++++=??????

【例 4】计算：

11111111

()128 8244880120168224288

+++++++?=

【巩固】11111111 612203042567290

+++++++=_______

【巩固】

111111

3610152128 ++++++=

【巩固】计算：111111111 2612203042567290

--------＝

【巩固】

11111 104088154238

++++=。

【例 5】计算：

1111 135357579200120032005 ++++

????????

【例 6】

4.50.16

1111

13153563 13 3.75 3.2

?+++=

??-?

【例 7】计算：

11111 123420 261220420 +++++

【巩固】计算：

11111 20082009201020112012

1854108180270

++++= 。

【巩固】计算：11224

26153577

++++=____。

【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++

【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900

+++++++=．

【例 8】

111 123234789 +++

??????

【巩固】计算：

111 1232349899100 +++

??????

【巩固】计算：

1111 135246357202224 ++++

????????

【巩固】

4444

...... 135357939597959799 ++++

????????

【巩固】

9998971 12323434599100101 ++++

????????

【例 9】

11111 123423453456678978910 +++???++

???????????????

【巩固】

333

...... 1234234517181920 +++

?????????

【例 10】计算：

5719

1232348910

+++=

??????

．

【巩固】计算：

571719 1155

234345891091011?++++

????????（）

【巩固】计算：

3451212452356346710111314

++++????????????

【例 11】 12349223234234523410+++++?????????

【例 12】 123456121231234123451234561234567

+++++?????????????????????

【巩固】计算：23993!4!100!

+++= .

【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)

++++?++?++++?+++++++?+++

【巩固】 2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)

++++?++?++++?++++++?+++

【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)

----?++?++++++?++++（）

【例 14】 22222211111131517191111131

+++++=------ .

【巩固】计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849

-?-?-?-??-?-=

【巩固】计算：

22222222

3571512233478++++????

【巩固】计算：222222222231517119931199513151711993119951

++++++++++=----- ．

【巩固】计算：22222222222213243598100213141991

++++++++=---- ．

【巩固】计算：2222

1235013355799101

++++=???? ．

【例 15】 5667788991056677889910

+++++-+-+?????

【巩固】 36579111357612203042

++++++

【巩固】计算：1325791011193457820212435

++++++++=

【巩固】 123791117253571220283042

+++++++

【巩固】 1111120102638272330314151119120123124

+++++++++

【巩固】 35496377911053116122030425688????-+-+--÷ ???????

【巩固】计算：

5791113151719 1

612203042567290 -+-+-+-+

【巩固】11798175 451220153012 ++++++

【例 16】

22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++??++

????

【巩固】

11112007111 (......)(......) 120072200620062200712008120062200520061 ++++-+++

???????

【例 17】计算：

111111 23459899515299 +++++++=???

【例 18】计算：24612 335357357911 ++++=???????

【例 19】计算：

283411 1222222 1335571719135357171921

??++++-+++=

???????????

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