如图15,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=40，

∵D，F是AC，BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AC，

∴DF=AB=20

（2）能．

如图，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，

∵D，F是AC，BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，

∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分

（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），

此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．

∴QH+BH=BQ=28.5 ∴t=7.125 ∵7.125＜10 ∴能

故t=7.125．

（3）①当点P在EF上（2 ≤t≤5）时，

如图，QB=4t，DE+EP=7t，

由△PQE∽△BCA，得．

∴t=4 ；

②当点P在FC上（5≤t≤7 ）时，

如图，已知QB=4t，从而PB=5t，

由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．

解得t=7 ；

（4）如图4，t=1 ；如图5，t=7 ．

（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 ＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）