文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 定理2-2-11证明(应用随机过程,陈萍)

定理2-2-11证明(应用随机过程,陈萍)

定理2.2.11证明 令G (x )=1-F (x )=P (W (t )>x ),由定理2.2.10及F (0)=0得,对?x ≥0, t ≥0,有

0()()()()()()[1()]t

G x G x t G x dF u G x t G x G t =++=++-? 或

G (x +t )=G (x )G (t ). (*)

因为F (x )是单调不减且右连续的函数,所以G (x )是单调不增,右连续函数. (*)式两端对x 求导,得

G 'x (x +t )=G 'x (x )G (t ).

又G 'x (x +t )=G 't (x +t ),所以

G 't (x +t )=G 'x (x )G (t ).

令x =0,则G 't (t )=G 'x (0)G (t ).

令λ=-G 'x (0). 由G (x )单调不增,所以λ≥0; 又因F (x )为分布函数,不可能为常数,从而G (x )不可能为常数,即λ≠0;再由G (0)=1-F (0)=1,得

()t G t e λ-=

F (x )=P (X n ≤x )=1- e λx

(x ≥0). 再由定理2.2.3知{N (t ), t ≥0}是泊松过程.