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巧用对称性解二次函数问题

巧用对称性解二次函数问题
巧用对称性解二次函数问题

巧用对称性解二次函数问题

1、若点A (95- ,y 1)、B (73-,y 2)、C (3,y 3)在2552147y x x =+-的图象上,比较y 1、y

2、y 3的大小关系(用“<”号连接)__________.

2、已知二次函数y=-x 2+3x -2图象上两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2)且满足 232-x >12

3x ->0,则y 1____ y 2(填“>、=、<”) . 3二次函数y =ax 2+bx +c 的部分对应值如下表:

则二次函数y=ax 2+bx+c 图象上的对称轴为直线x=_____;当x=2时对应的函数值y=____.

4、已知二次函数y =2x 2+9x -34,当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时,函数值相等,则自变量x 取x 1+x 2时的函数值与( )

(A )x =1时函数值相等; (B )x =0时函数值相等;

(C )41=x 时函数值相等; (D )4

9-=x 时函数值相等.

5、二次函数图象过点A (-1,0), B (13,0)且顶点P 到x 轴的距离为3,求该二次函数的解析式.

6、如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,线段OA 绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB,(1)求经过A、O、B三点的抛物线解析式;

(2)在(1)中的抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求点C坐标;若不存在,请说出理由.

7、二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)图像的顶点在第一象限,且过点(-1,0)。设t=a+b+1,则t值的变化范围是

8、y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数,当x的取值范围是1≤x≤3时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是。x

二次函数增减性与对称性(可编辑修改word版)

1 建桥初四 9 月 11 日数学《二次函数对称性增减性练习》课堂学案 【典例】抛物线 y = ax 2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应如下,从表可知: x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 6 6 4 … 下列说法: ①抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ②函数的最大值为 6 ③抛物线 1 的对称轴是直线 x= ,④在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而增大,正确的有 2 【跟踪训练】、1、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 y 与 x 的部分对应值如下表: x … - 1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … 则下列判断:①抛物线开口向上, ②抛物线与 y 轴交于负半轴, ③当 x =4 时, y > 0 , ④方程 ax 2 + bx + c = 0 的正根在 3 与 4 之间. 其中正确的是 (只填写序号) 2、二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )中,自变量 x 与函数 y 的对应值如下表: 请你观察表中数据,并从不同角度描述该函数图象的特征是: 、 、 【巩固练习】 1、已知抛物线 y = a (x -1)2 + h (a ≠ 0) 与 x 轴交于 A (x ,0),B (3,0) 两点,则线段 AB 的长 度为( ) 2、抛物线 y = a (x + 1) 2 + 2 的一部分如图所示,该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴交点的坐标 是( ) 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3、抛物线 y = -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示,若 y > 0 ,则的取值范围是( ) A . - 4 < x < 1 B . - 3 < x < 1 C . x < -4 或 x > 1 D . x < -3 或 x > 1 4、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示,那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 x … 0 1 2 3 2 5 2 … y … 1 7 4 7 4 - 1 4 …

巧用二次函数图象的对称性解题解析

巧用二次函数图象的对称性解题解析 新盈中学王永升 2010-6-29 二次函数是初中数学的重点内容之一,在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的信息,为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力,二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题,那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如:二次函数的解析式,二次函数的顶点坐标对称轴方程,各字母的意义以及一些公式,对于这些知识,同学们掌握并不是很困难,但对二次函数图象的对称性,掌握起来并不是很容易,而且对于有关二次函数的一些题目,如果用别的方法会很费力,但用二次函数图象的对称性来解答,也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题,供同学们鉴赏:例1、已知二次函数的对称轴为x=1,且图象过点(2,8)和(4,0),求二次函数的解析式。 分析:此题中我们可以按照常规的解法,用二次函数的一般式 来解,但运算量会很大,因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外,我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题 目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此 我们可以依据二次函数的对称性,求出抛物线所过的x轴上的另一 个点的坐标为(-2,0),这样的话我们就可以选择用二次函数的

交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4),然后将(2,8)代入即可求出a值,此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算,既可以准确解题又节省了时间,不失为一种好的方法。 例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0),当x取x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值是____________ 分析:此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式,由于y 值相等,则可求出x1+x2的值为0,将x=0代入解析式可得函数值为b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性,当函数值相等时,则两点为对称点,且本题中的二次函数 y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴(x=0),所以,我们也可以得到x1+x2的值为0,将x=0代入解析式可得函数值为b。 相比较我们可以知道,利用二次函数的对称性解决本题,减少了运算量,但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c,其他条件不变,结果为c。 下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。

二次函数对称性的专题复习

二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论: 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1(),P2(),若有,则P1,P2两点是关于_________对称的点,且这时抛物线的对称轴是直线_____________;反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A(,0),B(,0),则抛物线的对称轴是__________(此结论是第2条性质的特例,但在实际解题中经常用到)。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A(,0),且其对称轴是,则另一个交点B 的坐标可以用____表示出来(注:应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定,在应用时要把图画出)。 5、若抛物线与轴的两个交点是B(,0),C(,0),其顶点是点A,则?ABC是____三角形,且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的_______上。 二、在解题中的应用: 例1已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),且函数有最小值-8,试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标,且满足 . (1)求抛物线的解析式; (2)设点P(,),Q(,)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称,求的值。 例3已知抛物线经过点A(-2,7)、B(6,7)、C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 (1)求抛物线顶点的坐标; (2)抛物线与轴交于B、C两点,求B、C两点的坐标; (3)求?ABC的外接圆的面积。

y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ,当x 取 , ( ≠ )时,函数值相等,则 当x 取+时,函数值为( ) (A )a+c (B )a-c (C )-c (D )c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示,该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 (A )( 2 1 ,0) (B )(1,0) (C )(2,0) (D )(3,0) 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ,,,两点,则线段AB 的长度为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示,若0>y ,则的取值范围是( ) A.14<<-x B. 13<<-x C. 4-x D.3-x 5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图,如果x =a 时,y <0; 那么x =a -1时,函数值( ) A .y <0 B .0<y <m C .y >m D .y =m 6、抛物线y=ax 2 +2ax+a 2 +2的一部分如图所示,那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是( ) A .(0.5,0) B .(1,0) C .(2,0) D .(3,0) 7、老师出示了小黑板上的题后(如图),小华说:过点(3,0); 小彬 说:过点(4,3);小明说:a=1;小颖说:抛物线被x 轴截 得的线段长为2.你认为四人的说法中,正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 8、若二次函数2 y ax c =+,当x 取1x 、2x (12x x ≠)时,函数值相等,则当x 取12x x + 时,函数值为( ) A.a c + B.a c - C.c - D.c 9、二次函数 c bx x y ++=2的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是( ) A .x =4 B. x =3 C. x =-5 D. x =-1。 10、已知关于x 的方程32 =++c bx ax 的一个根为1x =2,且二次函数c bx ax y ++=2 的对称轴直线是x =2,则抛物线的顶点坐标是( ) A .(2,-3 ) B .(2,1) C .(2,3) D .(3,2) 11、已知函数215 322 y x x =- --,设自变量的值分别为x 1,x 2,x 3,且-3< x 1< x 2

二次函数的对称轴(学练结合)

二次函数的对称轴 二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线,这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴,直线x=-b/2a,有图像可知,当二次函数图像上两点的纵坐标相等时,那么这两点必然关于对称轴对称,且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如:点 A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数的图像上,若y1=y2,那么图像的对称轴为 (x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为(x1,y1),那么二次函数的对称轴为直线x=x1。 在平面直角坐标坐标系中,已知两点坐标便可求其连线的中点坐标,例如:已知点 A(x1,y1)、B(x2,y2),则两点连线的中点为 C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况,出题者会结合一次函数,中垂线,三角形,二次函数进行综合考查。

例题演练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(﹣2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴() A.只能是x=﹣1 B.可能是y轴 C.在y轴右侧且在直线x=2的左侧D.在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2、已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0)的图象过点A(0,1)、B(8,2),则h的值可以是() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3、如图,已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b. (1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标; (2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围; (3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由.

二次函数的对称性的应用(学生) (2)

本文为本人珍藏,有较高的使用、参考、借鉴价值!! 二次函数的对称性的应用 展示讨论 1、(1)如图,抛物线的顶点坐标为(0,4),与x 轴的一个交点坐标 为M (-2,0),请写出抛物线与x 轴的另一个交点坐标N( ) (2)若抛物线上有一点A 的横坐标为1-,则A 点坐标为(1-, ),在抛物线上与其对称点B 的坐标是( ).你是怎样求出来的?请说明理由; (3)如果有一点C 的横坐标为x ,则C 点坐标怎么表示? C ( ) 则抛物线上与C 点对称点的D 的坐标是D ( ) (4)观察以上各组对称点 M ( ) A ( ) C ( ) N ( ) B ( ) D ( ) 对称点的坐标有何特点? 2、(1)如图,抛物线顶点坐标为(3,4),它的图象与x 轴的一个交点坐标为M (1,0), 请写出抛物线与x 轴的另一个交点坐标N ( ); (2)若抛物线上有一点A 的横坐标为2,则A 点坐标为( ).你是怎样求出A 点坐标的?写出A 点在抛物线上的对称点B 的坐标,B ( ) . (3)如果有一点C 在抛物线上,其横坐标为x ,则C 点怎样表示?C ( ) 其对称点D 怎样表示?D ( ) (4)M ( ) A ( ) C ( ) N ( ) B ( ) D ( ) 对称点的坐标与抛物线的对称轴之间有什么关系? 二、知识应用: 1、如图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的函数值y 与自变量x 的对应值. 根据表格你能找出抛物线图象上的对称点吗? 你能写出抛物线的对称轴吗? 抛物线与x 轴的交点坐标为 , 如果有一个点为 ),(n m ,则其图象上的对称点为 . 2、(1)若M 是函数 图象上对称轴右侧x 轴上方的一个动点,其横坐标为x , 42 +-=x y

函数的对称性应用

函数的对称性应用(一) ──含绝对值函数的图象 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 在学习函数时,若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”,再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑,还得结合绝对值的意义来共同探讨。 图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式,是形象直观地研究函数性质的常用方法,是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析,然后利用对称性作出函数图象,并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。 一、含绝对值的函数常见情况的分类: 已知函数,叫做函数的自变量;叫做函数的应变量(函数值)。 ①对自变量取绝对值:;②对应变量取绝对值:; ③对全都取绝对值:;④对整个函数取绝对值:; ⑤对都取绝对值:;⑥部分自变量取绝对值:。 二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法: ①对自变量取绝对值: 【特征分析:】 已知函数,设是函数图象上任意一点,则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上,所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤:】 (1)作出函数的图象; (2)保留时函数的图象; (3)当时,利用对称性作出(2)中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示:】作函数的图象

②对应变量取绝对值:; 【特征分析:】 已知函数,设是函数图象上任意一点,则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上,所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤:】 (1)作出函数的图象; (2)保留时函数的图象; (3)当时,利用对称性作出(2)中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示:】作函数的图象 ③对全都取绝对值:; 【特征分析:】 已知函数,设是函数图象上任意一点,它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、 与都在函数上,所以函数图象关于轴、轴及原点对称。 【作图步骤:】 (1)作出函数的图象; (2)保留(第一象限)时函数的图象; (3)利用对称性作出(2)中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式-教师版

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式 一、运用平移求解析式 1.将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,求平移后的抛物线的解析式. 【答案】因为()2 22314y x x x =-++=--+,所以平移后的解析式为22y x =-+ 2.将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到抛物线221y x x =-+,求b 、c 的值. 【答案】因为()22211y x x x =-+=-,所以平移前的解析式为:()2 33y x =-- 所以可得6b =-,6c = 3.已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ,,()30B ,,且过点()03C -,,请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上,并写出平移后抛物线的解析式. 【答案】可得()()13y a x x =--,代入()03C -, ,可得1a =-, 所以()()()2 2134321y x x x x x =---=-+-=--+,所以顶点为()21,, 向左平移3个单位得到()211y x =-++ 二、运用对称求解析式 4.将抛物线()214y x =--沿直线32 x = 翻折,得到一个新抛物线,求新抛物线的解析式. 【答案】可得顶点()14-,,顶点翻折后得到()24-,,所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5.如图,已知抛物线1C :2216833 y x x = ++与抛物线2C 关于y 轴对称,求抛物线2C 的解析式.

【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-,顶点为843??-- ?? ?,,关于y 轴对称后顶点为 843??- ?? ?,,所以对称后的解析式为:()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式 6.将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°,求旋转后的抛物线的解析式. 【答案】因为()2 2211y x x x =-+=-,顶点()10A ,,旋转180°即为沿x 轴翻折后对称 所以()21y x =--

高中的函数对称性的总结

高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看,这方面一直是教学的难点,尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义; 2.会利用描点法画出二 次函数的图像; 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式; 2.能从函数图像上认识 函数的性质; 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向; 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解; 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题; 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题; 一、二次函数图象的平移变换 (1)具体步骤: 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式,确定其顶点(,) h k,然后做出二次函数2 y ax =的图像,将抛物线2 y ax =平移,使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示: (2)平移规律:在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-; ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+. 5. 关于点()m n ,对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变

二次函数的对称变换

二次函数的对称变换 学习目标:1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。 2.会研究二次函数关于某条直线,某个点的对称变换。 一、课前练习 1.点(1,-4)关于x轴对称点坐标,关于y轴对称点,关于原点对称。 2.点(x,y)关于x轴对称点坐标,关于y轴对称点,关于原点对称。 二、新课探究 类型一:二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换 问题一:画出y=x2-2x-3的草图方法: 问题二:画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像 方法: 问题三:请确定新抛物线的解析式 方法一:一般式 方法二:顶点式 问题四:观察两个解析式的区别与联系 角度一:一般式 角度二:顶点式

问题五:请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换 总结:一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为: 关于y轴对称的解析式为: 关于原点对称的解析式为: 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为: 关于y轴对称的解析式为: 关于原点对称的解析式为: 练习:1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为, 2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为, 3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称,则a= b= c= 类型二:二次函数关于某条直线或某个点的对称变换(给个开口向上的图像) 问题一:选取关于某条直线对称 问题二:选取关于某一点对称

总结:研究对称变换的方法 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°) 2y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+. 5. 关于点()m n , 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

二次函数在实际生活中的应用

二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(含10元,14元)浮动时,每瓶售价每增加元,日均销量减少40瓶; 当售价为每瓶12元时,日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大最大日均毛利润为多少元 解:设售价为每瓶x元时,日均毛利润为y元,由题意,得日均销售量为400-40[(x-12)÷]=1 360-80x, y=(x-9)(1 360-80x) =-80x2+2 080x-12 240(10≤x≤14). -b 2a=-2 080 2×(-80)=13, ∵10≤13≤14,∴当x=13时,y取最大值, y最大=-80×132+2 080×13-12 240=1 280(元). 答:售价定为每瓶13元时,所得日均毛利润最大,最大日均毛利润为1 280元. 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题,在建立函数关系式时,应注意自变量的取值范围,在这个取值范围内,需了解函数的性质(最大最小值,变化情况,对称性,特殊点等)和图象,然后依据这些性质作出结论. 【中考变形】 1.[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8-1所示. (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时,销售量为300件__;销售单价每提高1元时, 销售量相应减少__20__件; (2)请直接写出y与x之间的函数表达式:__y=20x图Z8-1

二次函数的对称性

(一)、教学内容 1.二次函数得解析式六种形式 ①一般式y=ax2 +bx+c(a≠0) ②顶点式(a≠0已知顶点) ③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点) ④y=ax2(a≠0)(顶点在原点) ⑤y=ax2+c(a≠0) (顶点在y轴上) ⑥y=ax2 +bx (a≠0) (图象过原点) 2.二次函数图像与性质 对称轴: 顶点坐标: 与y轴交点坐标(0,c) 增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大 ?当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小 ☆二次函数得对称性 二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴: 与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于y轴对称得函数解析式:y=ax2-bx+c(a≠0) 与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0) 当a>0时,离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大; 当a<0时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数得对称轴 1、二次函数y=-mx+3得对称轴为直线x=3,则m=________。 2、二次函数得图像上有两点(3,-8)与(-5,-8),则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (B) (C) (D) 3、y=2x-4得顶点坐标为___ _____,对称轴为__________。 4、如图就是二次函数y=ax2+bx+c图象得一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.求 它与x轴得另一个交点得坐标( , ) 5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( ) A、 B、 C、或 D、或 6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ) A、0 B、-1 C、 1 D、2 题型2 比较二次函数得函数值大小 1、、若二次函数,当x取,(≠)时,函数值相等,则当x取+时,函数值为 ( ) (A)a+c (B)a-c (C)-c (D)c 2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0)知,此抛物 线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y 1 与y 2 得大小关系就是( ) A.y 1 <y 2 B、 y 1 =y 2 C、 y 1 >y 2 D、不确定 点拨:本题可用两种解法y x O –1 1 3 O –1 3 3 1

高一数学函数的对称性知识点总结

高一数学《函数的对称性》知识点总结 高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a-x) = 2b 证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上,∴ 2b-y = f (2a-x) 即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。(充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。 故点P'(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P'关于点A (a ,b)对称,充分性得征。 推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者) 推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2 a-b是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2 a-b是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4 a-b是其一个周期。 ①②的证明留给读者,以下给出③的证明: ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称, ∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:

求二次函数解析式之对称式

求二次函数解析式之对称式 用“对称式”求抛物线解析式分为下面几种情况: 1.抛物线关于x 轴对称.抓住关于抛物线关于x 轴对称其对应点横坐标相同,而纵坐标互为 相反数.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于x 轴对称的图象为 ()'2y y ax bx c a 0=-=++≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=---≠. 结论:抛物线关于x 轴对称各项系数及常数项均互为相反数. 2.抛物线关于y 轴对称.抓住关于抛物线关于y 轴对称其对应点横坐标互为相反数,而纵坐 标相同.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为 ()()()'2 y a x b x c a 0=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+≠. 结论:抛物线关于y 轴对称二次项系数及常数项相同,而一次项系数互为相反数. 3.抛物线关于原点对称.抓住关于抛物线关于原点对称其对应点横纵坐标均互为相反数,. 也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为()()()'2 y y a x b x c a 0=-=-+-+≠ 整理为()'2y ax bx c a 0=-+-≠. 结论:抛物线关于原点对称二次项系数及常数项互为相反数,而一次项系数相同. 例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线2y x 2x 3=--自动生成的对称抛物线(红 色): 4.关于直线x k =(k 是常数)和关于直线y h =(h 是常数)对称. ①.关于直线x k =(k 是常数)对称.根据轴对称的性质,对称点的横坐标和的一半等于k ,即,对称点的横坐标之和 =2k .若原抛物线配方成()()2 y a x m n a 0=++≠,则其关于直线x k =(k 是常数)对称的抛物线应表示为()()'2 y a 2k x m n a 0=-++≠,即()()'2 y a x 2k m n a 0=--+≠ (注意k 和m 都要变号,n 不变号) ②. 关于直线y h =(h 是常数)对称.根据轴对称的性质,对称点的纵坐标和的一半等于h ,

函数图象的对称性在高考中的应用

函数图象的对称性在高考中的应用 众所周知,函数历来是高考的重点内容之一,高考对函数的考查离不开函数性质的研究应用,特别是函数的单调性与奇偶性更是高考命题的热点,理应成为高三复习的重点.函数图像的对称性作为奇偶性拓展与延伸,在各类高考试题和模拟题中更是屡见不鲜,同时也是出错率非常高的题目. 如果从图象的角度审视函数,有两类比较特殊的函数,一类是它们图象成中心对称,一类是它们图象成轴对称,那么这样的函数具有什么性质呢?不难发现,这两类函数图象总可以通过适当的平移,转化为具有奇偶性的函数,下面就对有关函数对称性和奇偶性的性质做一总结. 有关函数对称性与奇偶性的一些重要性质:自对称与互对称问题 (1)若函数()f x 为奇函数,则()()()()0f x f x f x f x -=-+-=;;()f x 的图象关于原点对称,反之亦成立. (2)若函数()f x 为偶函数,则()()()()2()f x f x f x f x f x -=+-=;;()()f x f x =;()f x 的图象关于y 轴对称,反之亦成立. 推论:函数()-f x a 的图象关于直线x a =对称. (3)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f x a f a x -=-,则()f x 的图象关于直线0x =对称,反之亦成立. (4)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f a x f a x -=+,则()f x 的图象关于直线x a =对称,反之亦成立. (5)若函数()f x 对任意自变量x 都有()+()=2f a x f a x b -+,则()f x 的图象关于点(,)a b 对称,反之亦成立. (6)若函数()f x 对任意自变量x 都有(2)()f a x f x -=,则()f x 的图象关于直线x a =对称,反之亦成立. (7)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称,反之亦成立. (8)函数()f x 与函数()f x -的图象关于y 轴对称,反之亦成立.

知识点:函数的对称性总结

知识点:函数的对称性总结 函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个 方面来探讨函数与对称有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a-x) = 2b 证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上, 2b-y = f (2a-x) 即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。 (充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a-x) =2bf (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。 故点P'(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P

与点P'关于点A (a ,b)对称,充分性得征。 推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者) 推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(ab),则y = f (x)是周期函数,且 2| a-b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b 成轴对称(ab),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(ab),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者,以下给出③的证明: ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称, f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得: f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c(*)

函数对称性的应用

函数对称性的应用 高中数学新课标对函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,因而考查的频率一直比较高。在这方面一直是教学的难点,尤其是抽象函数的对称性判断。所以我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结 一、对称性的概念 (1)函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 (2)中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 二、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) (1)常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为

它的对称轴 (2)幂函数:幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴。 (3)正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(k π,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。 (4)正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。 (5)余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=k π是它的对称轴,(kπ+π/2,0)是它的对称中心。 (6)正切函数:不是轴对称,但是是中心对称图形,其中(kπ/2,0)是它的对称中心,(不要误以为对称中心只是(kπ,0))。 (7)三次函数:任何三次函数都是中心对称图形,对称中心的横坐标是二阶导数的零点。 (8)对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。(它没有对称轴),例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f (1.5),我在教学时总是问学生:你可看见过老师将“√”

二次函数的图象和性质对称性

1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性 教学目标: 1.能从数和形两个角度认识函数的奇偶性,掌握判断函数是奇函数还是偶函数的方法; 2.理解函数的奇偶性将有助于函数图象的绘制简化函数性质研究的工作量; 3.通过代数推理手段理解二次函数图象的对称性,提高抽象、概括、推理能力; 4.进一步领悟数形结合的思想方法。 教学重点: 1.函数的奇偶性定义的形成与应用; 2.认识二次函数图象的对称轴,以及二次函数的对称性的应用。 教学难点: 1. 用数量关系刻画函数奇偶性与二次函数的对称性; 2. 综合利用函数的奇偶性与单调性研究函数。 教学过程: 一. 复习提问 1. 叙述函数单调性的定义,以及描述二次函数单调性与最值的定理。(口头提问) 2. 课本53页练习(三位同学上黑板练习) (1)写出函数232-=x y 的图象的开口方向,顶点坐标,并作出草图; (2)写出函数2)3(--=x y 的图象的开口方向,顶点坐标,并作出草图; (3)已知函数m x x x f +-= 42)(2,当m 在什么范围内变化时,函数的定义域为全 体实数? 二.二次函数的图象和性质——对称性。(板书) 我们接着上次研究二次函数的图象和性质。两个内容:从解析式看函数的奇偶性;二次函数图象的对称性。 1. 从解析式看函数的奇偶性。 从练习(1),我们看到函数232-=x y 的图象关于y 轴对称。想想看,可以把图象具有这种性质的函数叫什么函数?(偶函数) 让我们看看二次函数n m x a x f +-=2)()(),0(R x a ∈≠在什么情况下是偶函数?二 次函数c bx ax x f ++=2)(),0(R x a ∈≠。通过计算机演示,把m 调到0,得到n ax x f +=2)(的图象。把b 调到0,得到c ax x f +=2)(的图象。 由图象看,它关于y 轴对称,此函数为偶函数。现在问,不画图能不能从函数的解析式看出一个函数是偶函数?类似地,我们知道,如果一个函数的图象关于原点对称,这个函数叫奇函数。能不能从函数的解析式看出一个函数是奇函数?如果能,函数图象画出

函数对称性与周期性几个重要结论及应用

函数对称性与周期性几个重要结论及应用 对称性和周期性是函数的两个重要性质,下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 (一)函数图象本身的对称性(自身对称) 1、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线 对称。 2、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称。 3、函数满足的充要条件是图象关于直线 对称。 4、如果函数满足且,(和是不相等的常数),则是以为为周期的周期函数。 5、如果奇函数满足(),则函数是以4T为周期的周期性函数。 6、如果偶函数满足(),则函数是以2T为周期的周期性函数。 (二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。 3、曲线与关于直线对称。 4、曲线关于直线对称曲线为。

5、曲线关于直线对称曲线为。 6、曲线关于直线对称曲线为。 7、曲线关于点对称曲线为。 二、试试看,练练笔 1、定义在实数集上的奇函数恒满足,且时, ,则 ________。 2、已知函数满足,则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R,且满足,则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R,且满足,则的图象关于__________对称。图象关于__________对称。 6、设的定义域为R,且对任意,有,则图象关于__________对称,关于__________对称。 7、已知函数对一切实数x满足,且方程有5个实根,则这5个实根之和为() A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R,则下列命题中,①若是偶函数,则图象关于y轴对称;②若是偶函数,则图象关于直线对称;③若,则函数图象关于直线对称;④与图象关于直线对称,其中正确命题序号为_______。 9、函数定义域为R,且恒满足和,当时,

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