2011届高三数学下册第一次调研考试试题

河北省唐山一中高三第二学期第一次调研考试（数学文）

说明：1．考试时间120分钟，满分150分.

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在 试卷上..

卷Ⅰ(选择题 共60分)

一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项正确） 1.已知全集U ={x |x <9，x ∈N *}，M ={1,3,5,7}，N ={5,6,7},则C U ( M N )= （ ）

A .{5,7}

B .{2,4}

C .{2,4,8}

D .{1,3,5,6,7} 2.函数y =)2(log 5.0-x +2

16x -的定义域为 （ ）

A .]3,2(

B .]4,2(

C . [-4,4]

D .[3，4]

3.已知y =2x -x 3的一条切线l （切点在y 轴左侧）与直线x +y -4=0平行，则点B （2，-2） 到切线l 的距离为 （ ）

A .

2

2

B .2

C .22

D .32 4.在下列函数中，图象关于y 轴对称的是 （ ） A .y =x 2sin x B .y =

2

1

121+-x

C .y =x ln x

D . 1)6

π

(3sin 2+-

-=x y 5.已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，则向量在上的投影为（ ）

A .6

B .

223 C .322 D .5

5

6 6.已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ,都有f (x ) f (x +2)=2且f (1)=4,则f (99)= （ ）

A .

2

1

B .1

C .2

D .99 7.已知直线y =2x 交双曲线122

22=-b

y a x （a >0，b >0）的右支于点A ，A 在x 轴上的射影恰好

是双曲线的右焦点F ，则该双曲线的离心率为 （ ）

A .2

B .3

C .12-

D .12+

8.已知α、β是两个平面,l 是直线,下列条件：①α⊥l ,②l ∥β,③βα⊥.若以其中两个作为条件,另一个作为结论,则构成的命题中,真命题的个数为 （ ） A .3个 B .2个 C .1个 D .0个

姓名______________ 班级_____________ 考号______________

9.若把一个函数图象按向量)2,3

π

(--

=a 平移后得到函数x y cos =的图象，则原来的函数的解析式为 （ ）

A .2)3πcos(+-

=x y B .2)3π

cos(++=x y C .2)3πcos(--=x y D . 2)3

π

cos(-+=x y

10.设数列}{n a 的前n 项和为S n =n

2-1，则=++++2

232221n a a a a （ ）

A .(12-n )2

B .12

1

-+n C .)14(3

1

-n D .14-n

11.某班有50名学生，其中正、副班长各1人，选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，共有多少种选派方法？下面是学生提供的几种计算方法：

①3482244812C C C C +；②548550C C -；③44912C C ；④348

44912C C C -.正确的算法有 （ ）

A .①②

B .①②③

C .①③

D .①②④ 12.已知△ABC 的三个顶点都在半径为2的球O 的表面上，三条边a 、b 、c 满足a 2+b 2-ab =c 2，且c =3，则三棱锥O —ABC 体积的最大值为 （ ）

A .23

B .43

C .83

D .12

3

卷Ⅱ(非选择题 共90分)

二.填空题（共4小题，每小题5分，计20分） 13．n x

x )2

(3

+

的展开式中，只有第9项的二项式系数最大，则展开式中含

x 3项是第_______项.

14.已知实数x 、y 满足??

?

??≤≤≤-≥+3022

y y x y x ，则z ＝2x －y 的取值范围是__________.

15.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是 老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查， 在抽取的样本中，每位中年职工被抽到的概率是5

1

，则该样本中的老年职工 人数为 ________.

16.椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，两条准线间的距离被两个焦点三等分， 椭圆在x 轴上的两个顶点分别为A 和B ，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点， 直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1×k 2=_______.

三.解答题（本大题共6小题，计70分，写出必要的解题步骤） 17. (本题满分10分)

在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 成等比数列. ⑴求角B 的最大值；

⑵若B =

4π，求sin （2A -4

π

）的值.

18．(本题满分12分)

斯诺克台球比赛,有多种赛制.小型赛可采用“三局两胜”、“五局三胜”等赛制，大型国际比赛的决赛一般采用“十九局十胜”制.甲乙两位选手曾多次相遇,根据以往比赛情况统计,比赛一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4.

⑴甲乙二人在一次“十九局十胜”的决赛中再次相遇,前15局比赛过后,甲以7:8落后,求甲反败为胜的概率； ⑵比赛局数越多的赛制，对甲越有利还是越没利（直接写出结论）？就“三局两胜”和“五局三胜”两种赛制，验证你的结论.

19．(本题满分12分)

在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，平面P AB ⊥平面ABC ，BC =2AB =1，PC =3，

∠PBA =

4

π

.求： ⑴异面直线PC 与AB 所成的角； ⑵二面角A —PC —B 的大小.

20.（本题满分12分）

在数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=3，a n +2= 3a n +1- 2a n .

⑴证明数列{ a n +1- a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； ⑵设b n =)1(log 2+n a ，{b n }的前n 项和为S n ，求证21111321<++++n

S S S S .

21.(本题满分12分)

已知函数f(x)=x4+ax3+bx2+3.

⑴当a=-2，b=1时，求f（x）的单调区间；

⑵若x=0是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的一个极小值点，求a的取值范围．

22．(本题满分12分)

已知点B(1，0)，点A在x轴负半轴上运动，菱形ABCD的对角线的交点在y轴上.

⑴求顶点C的轨迹E的方程；

⑵设P、Q、R是轨迹E上任意三点，直线PQ、PR与x轴分别交于M、N两点，

如果 =0（O是坐标原点），求MN中点的坐标.

高三期末数学参考答案（文科）

唐山一中 王君

一.选择题

CABD BADC ACDB 4.提示：13cos 21)2

π

3sin(21)6π(3sin 2+=+--=+-

-=x x x y 是偶函数.

5.提示:建立坐标系如图.则A (0,0),C (2,2),E (2,1),

=(2,2),=(2,1). 在上的投影为

2

2

32

26|

|=

=

AC . 也可以先用余弦定理求出∠CAE 的余弦. 6.提示：)()4(,)

(2

)2(x f x f x f x f =+=

+，f (x )的周期为4. f (99)=f (3)=f (1+2)=

2

1)1(2=f . 7.提示：点A 是双曲线通径的上端点，坐标为（c ，a

b 2

），代入直线y =2x 中.

8.提示：只有①②?③正确. 12. 提示：先由余弦定理得C=

3

π

，再由正弦定理得△ABC 的外接圆的半径为 r =1，球心到平面ABC 的距离为1.

由3=a 2+b 2-ab ≥2ab -ab =ab ，即ab ≤3，△ABC 的面积为S=43ab ≤4

33. 二.填空题

13.7 14. [-5，7] 15.18 16.3

2

-

三.解答题

17.解：⑴∵a 、b 、c 成等比数列，

∴b 2=ac ，……………………………………………………………………… 1分 根据余弦定理

cos B =

)1(212222222-+=-+=-+a

c

c a ac ac c a ac b c a ≥21)12(21=-，…3分

当且仅当a =c 时取等号，此时B =

3

π

， ………………………………… 4分 因为余弦函数在[0，π]上是减函数，所以0

π

.

角B 的最大值是3

π

； ………………………………………………………5分

⑵ 由b 2=ac ，及正弦定理得sin 2B =sin A sin C ………………………………7分 ∵ B =

4π，∴ sin A sin(

A -4π3)=2

1

， ……………………………… 8分 展开整理得2sin 2A +2sin A cos A =2， 即1-cos2A +sin2A =1+2sin(2A -

4

π

)=2 ∴sin （2A -

4π）=2

22-. ……………………………………………… 10分 18.解: ⑴甲反败为胜,有两种互斥的情况.

一种是甲在后续的比赛中,连胜3局,概率为

P 3(3)=0.63

=0.216, ……………………………………………… 2分 一种是到第18局时,战成平局,第19局决胜局甲胜,概率为

P 3(2)×0.6=2

3C ×0.62

×0.4×0.6=0.2592, …………………… 5分

所以,甲反败为胜的概率为0.216+0.2592=0.4752; ………………… 6分 ⑵比赛局数越多的赛制，对甲越有利. ………………………………… 8分 “三局两胜”：甲胜的概率为

P 1=6.0)1(2)

2(2

?+P P =0.62+1

2

C ×0.6×0.4×0.6=0.648, …… 9分 “五局三胜”：甲胜的概率为

P 2=683.06.06.0)2(4)2(3)

3(3

≈?+?+P P P ……………………11分 ∵P 2>P 1，

∴“五局三胜”对甲有利. ……………………………………………12分

19. 解法1：⑴∵平面P AB ⊥平面ABC ，且AB ⊥BC ，

∴BC ⊥平面P AB ， ∴BC ⊥PB .

由PC =3， BC =1，得PB =2，……… 1分 作PO ⊥直线AB 于O ， 则PO ⊥平面ABC ， ∵∠PBA =

4

π

，PB =2， ∴PO =BO =1， ……………………………… 3分

作CD ∥BO ，且CD =BO ，则∠PCD 就是PC 与AB 所成的角. ……… 4分

连接PD 、OD ，

OD =BC =PO =1，PD =2，CD =BO =1，tan ∠PCD =2，

PC 与AB 所成的角的大小为arctan 2；……………………………………6分 ⑵∵BC ⊥平面P AB ，

∴平面PBC ⊥平面P AB ，

作AE ⊥PB 于E ，则AE ⊥平面PBC ，…………………………………… 8分 取PC 中点F ，连接AF ，EF ， ∵AO =AB =

2

1

，PO =BC =1， ∴AP =AC =

2

5 ∴AF ⊥BC ，

由三垂线定理的逆定理知EF ⊥PC ，

∠AFE 就是二面角A —PC —B 的平面角.……………………………… 10分 AF =

2222=-AF AP ，AE =4

2

22=

AB ，sin ∠AFE =21=AF AE ， ∠AFE =

6

π， 因此，二面角A —PC —B 的大小是

6

π

.…………………………………12分

解法2：建立空间直角坐标系如图，

则A （0，

2

1

，0），B （0，0，0），

C （1，0，0），……………………… 1分 ∵平面P AB ⊥平面ABC ， ∴点P 在坐标平面yBz 内， 由PC =3，BC =1，及PB ⊥BC 得 PB =2，

作PQ 垂直于直线AB 于Q ， 则PQ =PB ×sin ∠PBA =2×sin

4

π

=1，QB =1， P （0，1，1）. …………………………………………………………… 3分 ⑴)0,2

1

,0(-

=，)1,1,1(--=， 设PC 与AB 所成的角为θ，则cos θ3

3=

，

所以，PC 与AB 所成的角为arccos

3

3

；……………………………… 6分 ⑵求出平面PBC 的一个法向量1n =（0，1，-1），（这里求法向量的过程略） 求出平面P AC 的一个法向量2n =（1，2，-1）， …………………10分 cos<1n ，2n 2

3

|

||||2121=

?n n ， 由图知，二面角A —PC —B 是锐二面角， 所以二面角A —PC —B 的大小是

6

π

.…………………………………12分

20. 解：⑴由a n +2= 3a n +1- 2a n 得a n +2- a n +1= 2(a n +1- a n )，a 2-a 1=2，

所以，{ a n +1- a n }是首项为2，公比为2的等比数列. …………………3分

a n +1- a n =2×2n -1=2n ，………………………………………………………4分

a n =a 1+(a 2-a 1)+ (a 3-a 2)+…+(a n - a n -1)=1+2+22

+…+2n -1

=2

121--n =2n

-1；…6分

⑵b n =)1(log 2+n a =log 22n =n ，………………………………………………8分 S n =2

)

1(+n n ，………………………………………………………………9分

)1

11(2)1(21+-=+=n n n n S n ， 所以

)]1

1

1()3121()211[(21111321+-++-+-=++++n n S S S S n =2)1

1

1(+-

n <2. ………………………12分

21. 解：⑴当a =-2，b =1时，f （x ）=x 4-2x 3+x 2+3，

)('x f =4x 3-6x 2+2x =2x (2x -1)(x -1)，……………………………………… 2分 )('x f >0的解集为),1()21,0(+∞ ,)('x f <0的解集为)1,2

1

()0,( -∞,

………………………………………………………4分

所以，f （x ）的增区间为),1()21

,0(+∞和，减区间为)1,2

1()0,(和-∞；

……………………………………………………… 6分

⑵)('x f =4x 3+3ax 2+2bx =x (4x 2+3ax +2b )，

∵x =1是f （x ）极小值点，

∴)1('f =4+3a +2b =0，…………………………………………………… 7分 )('x f =x (4x 2+3ax -3a -4)=x (x -1)(4x +3a +4) )('x f =0的根为0，1，4

4

3+-

a ， ………………………………9分 若443+-a <0，则当4

43+-a 0, 当0

)('x f <0,x =0是f （x ）的极大值点，

若44

3+-

a =0，则)('x f =4x 2(x -1)，x =0不是f （x ）的极值点， 若443+-a >0，则当x <0时, )('x f <0, 当0

4

3+-a )时,

)('x f >0,x =0是f （x ）的极小值点.

综上所述， 443+-

a <0，即a >3

4

-.………………………………12分

22.解：⑴如图，设C （x ，y ），则A （-x ，0），D （-1，y ）， ……………2分

∵AC ⊥BD ， ∴12

2-=-?=

?y x y k k BD AC ，………………5分

即y 2=4x （x >0）； ………………………………6分

⑵设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，

则212

1

221212124

4

4y y y y y y x x y y k QR +=--=--=

，……7分 同理，104

y y k PQ +=

，2

04y y k PR +=，

又020

00044

y y y x y k PO ===

， 由QR PO ?=0知PO ⊥QR ， 于是

1442

10-=+?y y y ，

即y 0(y 1+y 2)=-16. ………………………………………………………9分

直线PQ 的方程为y -y 0=1

04

y y +(x -42

0y )，令y =0，得x M =410y y -，

同理可得x N =4

2

0y y -

， ………………………………………………11分 于是，x M +x N =44

16

42010=-=+-

y y y y ,

所以MN 中点的坐标为（2，0）. ……………………………………12分