2008年江苏高考题第1314题解法优化

2008年江苏高考题第13、14题解法优化

13、满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC

解析：法一（原解法）：本小题考查三角面积公式、余弦定理及函数思想。设BC=x ，则x AC 2=，根据面积公式得B x B BC AB S ABC 2cos 122

1sin 21-?=?=?。 根据余弦定理得x

x x x x BC AB AC BC AB B 444)2(42cos 2

22222-=-+=?-+=，代入上式得 16

)12(128)44(12222--=--=?x x x x S ABC 由三角形三边关系有222222222

2+<<-???

?>+>+x x x x x 故当32=x 时，ABC S ?取得最大值22。 法二：设)),0()(sin 2,cos 2(),0,(),0,0(πθθθ∈r r A r B C

4)sin 2()cos 2(222=+-=?θθr r r AB

θ

θθθcos 223sin 22sin 221cos 22342-=?=?-=?r r S r θθsin 22cos 223+=?S S 22)22()22()3(222≤?+≤?S S S 。 法三：设2222)1(22)1(),(),0,1(),0,1(y x BC y x AC y x C B A +-?==++=?-

22||22

18)3(0162222≤??=?=+-?=+-+?C y S y x x y x 。 14、设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()f x ≥0成立，则实数a 的值为 4 。

解析：法一（原解法）：本小题考查函数的单调性与导数的综合应用，

若x=0，则不论取何值，f(x)≥0显然成立；

当x>0即]1,0(∈x 时，f(x)=ax 3-3x+1≥0可化为3213x x a -≥。 设3213)(x x x g -=，则4)21(3)('x

x x g -= 所以g(x)在区间]21,0(上单调递增，在区间]1,2

1[上单调递减， 因此4)2

1()(max ==g x g ，从而a ≥4； 当x<0即)0,1[-∈x 时，f(x)=ax 3-3x+1≥0可化为3213x

x a -≤。 所以g(x)在区间)0,1[-上单调递增，因此4)1()(min =-=g x g ，从而a ≤4，综上a=4。

法二：420413)1(0213)1(≤≤??

??≥+-=++-=-≥-=+-=a a a f a a f )1)(1(333)('2a x a x a ax x f -+=-= 又由上可知22121≤≤a 所以f(x)在]1,1[],1,1[a a --上均递增，在]1,1[a

a -上递减。 所以f(x)在[-1，1]极小值为012)1(

≥+-=a a f ，从而4≥a 。综上：4=a 。