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二次函数一题20问

二次函数一题20问
二次函数一题20问

二次函数综合训练

已知,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x^2+2x+3与x轴交于A、B(A在B 的左侧)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点。

1.在坐标平面内存在点W使得以B、C、D、W为顶点的四边形是平行四边形,求点W的坐标。

2.在抛物线上存在点E使得S?BCE=S?BCD,求点E的坐标。

3.在抛物线上恰好存在三个点F使得S?BCF=K,求K的值及点F的坐标。

4.在抛物线上存在点G使得以B、C、D、G为顶点的四边形为梯形,求点G 的坐标。

5.点H为x轴上一点,且使?ACH是等腰三角形,求点H的坐标。

6.在抛物线上存在点I,使得?ACI是以AC为直角边的直角三角形,求点I的坐标。

7.在线段BC上是否存在点J,使得以B、O、J为顶点的三角形与?ABC相似,求点J的坐标;

8.点K在抛物线对称轴上且使得|KA-KC|的值最大,点L在抛物线对称轴上,过点L任作不与x轴平行的直线l交抛物线于M、N两点,若?KMN的内心始终在抛物线对称轴上,求点L的坐标;

9.点P是抛物线对称轴上一点,若对于抛物线上的任意一点Q,都满足点Q 到直线y=的距离等于线段PQ的长度,求点P的坐标;

10.在9的条件下,过点P任作一直线m与抛物线交于R、T两点,证明RT/PR·PT的值为定值;

11.设直线CD交x轴与点V,作BS垂直x轴交直线CD于点S,将抛物线沿对称轴上下平移,若平移后的抛物线始终与线段VS有公共点,求抛物线向上平移和向下平移的最大单位长度;

12.若点U在线段OC上,且使得AU+CU最小,求点U的坐标;

13.若点Z是x轴下方抛物线上的一点,且使得∠CBZ=∠ABD,求点Z的坐标;

14.设直线y=ax-a+3与抛物线交于A1、B1两点,若抛物线上存在定点C1使∠A1C1B1=90°,求C1到直线A1B1的最大距离;

15.在抛物线上存在点D1,使得∠AD1C=45°,求点D1的坐标;

16.点E'为线段AC上一动点,过E'作E'F'平行于AB交BC于点F',过F'作F'G'垂直AB于G',求线段E'G'的最小值;

17.一束光线从B点发出,先经过y轴上的H'点反射,再经过直线BC上的I'点反射后刚好过坐标原点,求直线H'I'的解析式;

18.将抛物线在坐标平面内任意平移,使得平移后的抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,过这三个交点作圆,试证明这些圆都经过同一个定点,并求出定点的坐标;

19.在抛物线对称轴上存在点M',使得点M'到直线AC的距离是点M'到直线BC距离的√5倍,求点M'的坐标;

20.将抛物线沿y轴向上平移若干个单位,设平移后的抛物线与x轴交于

P'、Q'两点,点N'(α,β)是平移后抛物线上的点,若?P'N'Q'始终是直角三角形,试探究β的值是否为定值并说明理由。

二次函数解决实际问题归纳

二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤: 1、基本思路:理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性; 2、基本步骤:审题→建模(建立二次函数模型)→解模(求解)→回答(用生活语言回答,即问什么答什么)。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题

解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点:①设未知数在“当某某为何值时,什么最大(最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;②问的求解依靠配方法或最值公

式而不是解方程。 (1)利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量,设未知数时,总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况:①自变量x是所涨价多少或降价多少;②自变量x是最终销售价格。 例:商场销售M型服装时,标价75元/件,按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动,每件在8折的基础上再降价x元,已知每天销售数量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0) ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 (2)利用二次函数解决面积最值 例:已知正方形ABCD边长为8,E、F、P分别是AB、CD、AD上的点(不与正方形顶点重合),且PE⊥PF,PE=PF 问当AE为多长时,五边形EBCFP面积最小,最小面积多少 2、用二次函数解抛物线形问题

巧记实际问题要解决,正确建模是关键;根据题意的函数,提取配方定顶点; 抛物线有对称轴,增减特性可看图;线轴交点是顶点,顶点 纵标最值出。 练习 1:某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 2:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面,装货宽度为。这辆汽车能否顺利通过大门若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售

二次函数最值问题(含答案)

二次函数最值问题 一.选择题(共8小题) 1.如果多项式P=a2+4a+2014,则P的最小值是() A.2010 B.2011 C.2012 D.2013 2.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3,那么m的值等于()A.10 B.4 C.5 D.6 3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为(2,﹣3),则此函数有() A.最小值2 B.最小值﹣3 C.最大值2 D.最大值﹣3 4.设x≥0,y≥0,2x+y=6,则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是()A.B.18 C.20 D.不存在 5.二次函数的图象如图所示,当﹣1≤x≤0时,该函数的最大值是() A.3.125 B.4 C.2 D.0 6.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为() A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3 7.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为() A.B.2 C.D. 8.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连结DC,DB,则△BCD的面积的最大值是()

A.7 B.7.5 C.8 D.9 二.填空题(共2小题) 9.已知二次函数y=2(x+1)2+1,﹣2≤x≤1,则函数y的最小值是,最大值是. 10.如图,在直角坐标系中,点A(0,a2﹣a)和点B(0,﹣3a﹣5)在y轴上, =6.当线段OM最长时,点M的坐标为. 点M在x轴负半轴上,S △ABM 三.解答题(共3小题) 11.在平面直角坐标系中,O为原点,直线l:x=1,点A(2,0),点E,点F,点M都在直线l上,且点E和点F关于点M对称,直线EA与直线OF交于点P.(Ⅰ)若点M的坐标为(1,﹣1), ①当点F的坐标为(1,1)时,如图,求点P的坐标; ②当点F为直线l上的动点时,记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.(Ⅱ)若点M(1,m),点F(1,t),其中t≠0,过点P作PQ⊥l于点Q,当OQ=PQ时,试用含t的式子表示m.

二次函数培优专项练习

学习必备 欢迎下载 1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ 4.已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线2 1y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322--=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ,当X 取X1和X2(21x x ≠) 时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4 时函数值Y = ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则, h 0 ,k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式? 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式,则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ) (A )12 (B )11 (C )10 (D )9 20.若0 B.1a < C.1a ≥ D.1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上,求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ,B ,(A 在B 左侧)顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ,使△ABM 的面积是△ABC 的面积的2倍。求M 点坐标(得分点的把握) (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 △QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ,使四边形PBAC 是等腰 梯形,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由

人教【数学】数学 二次函数的专项 培优练习题及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值; (3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)9 4 ;(3)点P(1,0)或(2,﹣1);(4)M(2,﹣ 3). 【解析】 试题分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解; (2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答; (3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可; (4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可. 试题解析:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0), ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ,解得 4 3 b c =- ? ? = ? ,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3; (2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣ (x﹣3 2 )2+ 9 4 .∵a=﹣1<0,∴当x= 3 2 时,线段PD的长度有最大值 9 4 ;

中考数学二次函数压轴题第2问基本题型

中考数学二次函数压轴题第2问基本题型 在平面直角坐标系中,二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于A (-3,0),B (1,0)两点,与y 轴交于点C . (1)求这个二次函数的关系解析式; 长度型:(2)点M 为直线AC 上方抛物线上一动点,过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 当点M 的坐标为多少时,线段MN 有最大值,并求出其最大值; (3)点M 为直线AC 上方抛物线上一动点,过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 作ME ⊥AC 于点E ,当点M 的坐标为多少时,△MEN 的周长有最大值,并求出其最大值; 面积型:(4)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P ,使△ACP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;(铅垂法) 变式:点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,使△ACP 的面积为整数的点P 有几个,并说明理由; (5)点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点,是否存在点Q ,使10ACQ S =?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在, 说明理由;(铅垂法) (6)点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点,是否存在点Q ,使32ACQ ACO S S =?若存在,求出点Q 的坐标;若不 存在,说明理由;(转化法) 变式:抛物线上是否存在点P ,使OPC OPA S S =,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由;(同侧作平行, 异侧过中点)

特殊三角形存在性:(7)在平面直角坐标系中,是否存在点Q ,使△BCQ 是等腰直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由;(等腰直角三角形:弦图) (8)在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使△BCQ 是等腰三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由; (等腰三角形:两圆一线) (9)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△ACQ 为直角三角形;若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由; (直角三角形:两线一圆) 几何最值型:(10)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△BCQ 的周长最小;若存在,求出点Q 的坐标与周长最小 值;若不存在,说明理由;(线段和最小与差最大:大同小异) (12)若D 为OC 的中点,P 是抛物线对称轴上一动点,Q 是x 轴上一动点,当P 、Q 两点的坐标为多少时四边形CPQD 的周长最小?并直接写出四边形CPQD 周长的最小值; D D P Q

二次函数培优经典题

112O x y 培优训练五(二次函数1) 1、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( ) A .m =n ,k >h B .m =n ,k <h C .m >n ,k =h D .m <n ,k =h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a =0;②abc <0;③a ﹣2b +4c <0;④8a +c >0.其中正确的有( ) A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个 3、如图,二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交,其顶点坐标 为(1,12 ),下列结论:①0ac <;②0a b +=; ③244ac b a -=;④0a b c ++<.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A (-1,y 1)、B (2,y 2)、C (23+,y 3)三点,则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图,一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-,5)、B (9,2)两点,则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6.如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、

二次函数压轴题一题多问

二次函数压轴题一题多问 如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D. (1)求此函数的关系式; (2)判断△ACD的形状,并说明理由; (3)求四边形ABCD的面积. (4)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐标及△BPC的周长 (5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN 的长度最大? 最大是多少? (6)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大?最大面积是多少? (7)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大,且最大面积是多少?

(8)在y轴上是否存在一点E,使△ADE为直角三角形,若存在。求出点E的坐标;若不存在,说明理由。 (9)在y轴上是否存在一点F,使△ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。 (10)在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC,若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由。 (11)在抛物线上是否存在一点H,使S△BCH=S△ABC,若存在,求出点H的坐标;若不存在,说明理由。 (12) 在抛物线上是否存在一点Q,使S△AOQ=S△COQ, 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。 (13) 在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积, 若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由。

(14)在抛物线上找一点F,做FM⊥X轴,交AC与点H,使AC平分△AFM的面积? (15)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。 (16)作垂直于x轴的直线x=-1,交直线AC于点M,交抛物线于点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形,求第四个顶点E的坐标。 (17)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

【数学】数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 、B 为x 轴上两点,C 、D 为y 轴上的两点,经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线,我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”.已知点C 的坐标为(0, ),点M 是抛物线C 2: 2y mx 2mx 3m =--(m <0)的顶点. (1)求A 、B 两点的坐标; (2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ,使得△PBC 的面积最大?若存在,求出△PBC 面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)当△BDM 为直角三角形时,求m 的值. 【答案】(1)A ( ,0)、B (3,0). (2)存在.S △PBC 最大值为2716 (3)2 m 2 =-或1m =-时,△BDM 为直角三角形. 【解析】 【分析】 (1)在2 y mx 2mx 3m =--中令y=0,即可得到A 、B 两点的坐标. (2)先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式,由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值. (3)先表示出DM 2,BD 2,MB 2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m 的值. 【详解】 解:(1)令y=0,则2mx 2mx 3m 0--=, ∵m <0,∴2x 2x 30--=,解得:1x 1=-,2x 3=. ∴A ( ,0)、B (3,0). (2)存在.理由如下: ∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-(a 0≠),

二次函数一题多问)

如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(1)求此函数的关系式; (2)判断△ACD的形状,并说明理由; (3)求四边形ABCD的面积. (4)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐 标及△BPC的周长。

(5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN的长度最大? 最大是多少? (6)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大?最大面积是多少? (7)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积 最大,且最大面积是多少?

(8)在y轴上是否存在一点E,使△ADE为直角三角形,若存在。求出点E的坐标;若不存在,说明理由。 (9)在y轴上是否存在一点F,使△ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。 (10)在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC,若存在,求出

点N的坐标;若不存在,说明理由。 (11)在抛物线上是否存在一点H,使S△BCH=S△ABC,若存在,求出点H的坐标;若不存在,说明理由。 (12) 在抛物线上是否存在一点Q,使S△AOQ=S△COQ, 若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。

(13) 在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积, 若存在, 求出点E的坐标;若不存在,说明理由。 (14)在抛物线上找一点F,做FM⊥X轴,交AC与点H,使AC平分 △AFM的面积? (15)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。

二次函数专题培优(含答案)

二次函数专题复习 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.

2018二次函数一题多问试卷

如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线y=x 2向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=(x-h )2+k ,所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,顶点为D . (1)求h 、k 的值;及A 、B 、C 、D 坐标。 (2)判断△ACD 的形状,并说明理由; (动点直角三角形)(3)在Y 轴上是否存在一点E ,使△ADE 为直角三角形,若存在。求出点E 的坐标;若不存在,说明理由。 (动点直角三角形)(4)在抛物线上是否存在一点E ,使∠EAD=90°,△ADE 为直角三角形,若存在。求出点E 的坐标;若不存在,说明理由。 (动点等腰三角形)(5)在Y 轴上是否存在一点F ,使△ADF 为等腰三角形,若存在,求出点F 的坐标;若不存在,说明理由。 ( 线段之和最小即饮水问题)(6)在对称轴上找一点P ,使PB+PC 最小,求出P 点坐标。 (周长最小问题)(7)在对称轴上找一点P ,使△BCP 的周长最小,求出P 点坐标及△ BPC 的周长。 (同侧线段之差最大)(8)在y 轴上是否存在一点H

(异侧线段之差最大)(9)在对称轴上是否存在一点H (截得线段最长)(10)在AC下方的抛物线上有一动点N,过点N作直线L∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN最长。 (动点三角形面积最大)(11)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大。且最大面积是多少? (动点三角形面积最大)(12)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使点N到直线AC的距离最大, 若存在,求出点N的坐标,并求出最大距离;若不存在,说明理由。 ?(四边形面积最大)(13)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大,且最大面积是多少? (动点三角形面积最大)(14)若Q是线段AB是的一个动点(不与A,B重合),作QE∥BC,交AC于点E,当△QEC的面积最大时,求Q点的坐标. (15)在抛物线上是否存在一点N,使S △ABN =S △ABC ,若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由。 (16 )在抛物线上是否存在一点 H ,使S △BCH =S △ABC ,若存在,求出点H的坐标;若不存在,说明 理由。

二次函数培优专题训练

二次函数培优专题训练 一、实际应用专题 例题1某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 例题2 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器,进价12元∕只,售价20元∕只.为了促销,专卖店决定凡是买10只以上的,每多买一只,售价就降低0.10元(例如:某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1元,就可以按19元∕只的价格购买),但是最低价为16元∕只.(1)顾客一次至少买多少只,才能以最低价购买? (2)写出当一次购买x只时(x>10),利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式. (3)星期天,小华来到专卖店勤工俭学,上午做成了两笔生意,一是向顾客甲卖了46只,二是向顾客乙卖了50只,记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少.为了使每次卖得越多赚钱越多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元∕只至少要提高到多少?为什么? 例题3(2010?恩施州)恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式. (2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用) (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?

九年级二次函数培优竞赛试题及答案

九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1.在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC. (1)求点C的坐标; (2)若抛物线y=-1 4 x2+ax+4经过点C. ①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D. (1)求抛物线的解析式; (2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标; (3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.

1.【解析】 试题分析:(1)过点C作CD垂直于x轴,由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠OAB与∠CAD 互余,由∠AOB为直角,可得∠OAB与∠ABO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等,再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB,CD=OA,由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标; (2)①由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式,列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出抛物线的解析式; ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑: (i)A为直角顶点,过A作AP 1垂直于AB,且AP 1 =AB,过P 1 作P 1 M垂直于x轴, 如图所示,根据一对对顶角相等,一对直角相等,AB=AP 1 ,利用AAS可证明三角 形AP 1M与三角形ACD全等,得出AP 1 与P 1 M的长,再由P 1 为第二象限的点,得出 此时P 1 的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(ii)当B为直角顶点,过B作 BP 2垂直于BA,且BP 2 =BA,过P 2 作P 2 N垂直于y轴,如图所示,同理证明三角形 BP 2N与三角形AOB全等,得出P 2 N与BN的长,由P 2 为第三象限的点,写出P 2 的 坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(iii)当B为直角顶点,过B作BP 3 垂直 于BA,且BP 3=BA,如图所示,过P 3 作P 3 H垂直于y轴,同理可证明三角形P 3 BH 全等于三角形AOB,可得出P 3H与BH的长,由P 3 为第四象限的点,写出P 3 的坐 标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析:(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D, ∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°, 又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°, ∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°, ∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,﹣2), ∴OA=CD=1,OB=AD=2, ∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点, ∴C的坐标为(3,﹣1); (2)①∵抛物线y=﹣1 2 x2+ax+2经过点C,且C(3,﹣1), ∴把C的坐标代入得:﹣1=﹣9 2 +3a+2,解得:a= 1 2 , 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x2+ 1 2 x+2; ②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,

中考数学 二次函数培优专题

二次函数培优专题 基础训练 1.已知抛物线9)2(2 ++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,则a 的值为__________. 2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ,与x 轴正半轴交于B ,C 两点,且BC =2,ABC S ?=3,则b =____________. 3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. (1)这个二次函数的解析式是y =_________; (2)当x =________时,3=y ; (3)根据图象回答,当x _______时,0>y . 4.已知二次函数的图象经过原点及点(21- ,4 1-),且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为_______________. 5.二次函数c bx ax y ++=2 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) A B C D 6.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数c bx x y ++=2 的图象过点(1,0)……求证:这个二次函数的图象关于直线2=x 对称,根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是( ) A .过点(3,0) B .顶点是(2,-2) C .在x 轴上截得的线段长度是2 D .与y 轴的交点是(0,3) 7.如图,抛物线c bx ax y ++=2 与两坐标轴的交点分别是A ,B ,E ,且△ABE 是等腰直角三角形,AE =BE ,则下列关系式不能总成立的是( )

A .0=b B . 2 c S ABE =? C .1-=ac D .0=+c a 第7题图 第8题图 8.如图,某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高为(精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)( ) A .9.2米 B .9.1米 C .9米 D .5.1米 9.如图,是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ,A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β,OA =1千米,tan α= 28 9, tan β=83,位于O 点正上方35 千米D 点处的直 升机向目标C 发射防空导弹,该导弹运行到达距地面最大高度3千米时,相应的水平距离为4千米(即图中 E 点). (1)若导弹运行为一抛物线,求抛物线的解析式; (2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标的理由. 10.如图,已知△ABC 为正三角形,D ,E 分别是边AC 、BC 上的点(不在顶点),∠BDE =60°. (1)求证:△DEC ∽△BDA ; (2)若正三角形ABC 的边长为6,并设DC =x ,BE =y ,试求出y 与x 的函数关系式,并求BE 最短时,△BDE 的面积. 11.如图,在平面直角坐标系中,OB ⊥OA 且OB =2OA ,点A 的坐标是(-1,2) . C E D B A

专题01 二次函数图象与性质一题多问(解析版)

专题01 二次函数图象与性质一题多问 1.判断a 、b 、c 的符号,abc 的符号. a 的符号的判断根据开口方向: 开口方向向上a >0, 开口方向向下a <0. b 的符号根据对称轴的位置: 当对称轴在y 轴左侧b 和a 的符号相同, 当对称轴在y 轴右侧b 和a 的符号相反. 简称“左同右异” c 的符号根据图像与y 轴的交点: 图像与y 轴正半轴相交c >0, 图像与y 轴负半轴相交c <0. 2.判断a 、b 的关系 解题策略:根据对称轴x=a 2b -, 可判断a 、b 的等量关系或不等关系 3.判断a 、b 、c 的关系 解题策略: 等量关系代入图像与y 轴的交点x 的值, 不等关系根据a 、b 前的系数代入x 的值. 4.判断a 、c 的关系 解题策略:联立2和3的关系,推出a 、c 的关系. 5.求与x 轴另一交点 解题策略:已知一交点,利用两交点关于对称轴对称,求另一交点. 6.已知x 比较y 的大小关系 解题策略:在对称轴同一侧可根据增减性判断 在对称轴两侧可根据距离对称轴的远近判断 7.与一次函数结合,y 1>y 2,求x 的取值范围 解题策略:根据数形结合的思想,结合图像判断而不是去解不等式 8.与不等式结合n c bx ax >++2,求x 的取值范围 解题策略:结合图像判断而不是去解不等式 9.与一元二次方程结合n c bx ax =++2时根的情况或者求根与系数的关系 解题策略:令y =n ,观察图像对应x 的情况 根据一元二次方程根与系数的关系1212,b c x x x x a a +=-= 10.最值(顶点坐标)b a m +≤+)(b am 解题策略:m 是否包含顶点横坐标决定不等号是否带等号 11、根的判别式和顶点式 解题策略:2 2 44,(, )24b ac b b ac a a -=--

一道二次函数经典题的50种问法

一道二次函数经典50问 已知:如图,抛物线2 y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,OA =OC =3,顶点为D 。 (1)求此抛物线的解析式; (2)判断△ACD 的形状,并说明理由; (3)求四边形ABCD 的面积; X X X

(4)在对称轴上找一点P ,使△BCP 的周长最小,求出点P 的坐标及△BPC 的周长。 (5)在直线AC 下方的抛物线有一点N ,过点N 作直线//l y 轴,交AC 于点M ,当点N 的坐标是多少时,线段MN 的长度最大?最大值是多少? (6)在直线AC 下方的抛物线上,是否存在一点N ,使△CAN 的面积最大?最大面积是多少? X X X X

(7)在直线AC 下方的抛物线上,是否存在一点N ,使四边形ABCN 的面积最大?最大面积是多少? (8)在y 轴上是否存在一点E ,使△ADE 为直角三角形,若存在,求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由。 (9)在y 轴上是否存在一点F ,使△ADF 为等腰三角形,若存在,求出点F 的坐标,若不存在,请说明理由。 (10)在抛物线上是否存在一点N ,使ABN ABC =S S △△,若存在,求出点N 的坐标,若不存在,请说明理由。 X X X

(11)在抛物线上是否存在一点H ,使BCH ABC =S S △△,若存在,求出点H 的坐标,若不存在,请说明理由。 (12)在抛物线上是否存在一点Q ,使AOQ COQ =S S △△,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由。 (13)在抛物线上是否存在一点E ,使BE 平分△ABC 的面积,若存在,求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由。 (14)在抛物线上找一点F ,作FM ⊥x 轴,交AC 于点H ,使AC 平分△AFM 的面积? X X X X

二次函数培优100题突破

初三数学培优卷:二次函数考点分析培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点: 开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. ★★二次函数y=ax 2 +bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0) 一般式:y=ax 2 +bx+c ,三个点 顶点式:y=a (x -h )2 +k ,顶点坐标对称轴 顶点坐标(-2b a ,244ac b a -). 顶点坐标(h ,k ) ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大, a , b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴 x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=-2b a <0,即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=-2b a >0, 即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y 轴交于正半轴;c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出. 交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况) 与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2 2 1x x h += 1 个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与抛物 线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ 4.(08绍兴)已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线 21y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322--=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(22+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ,当X 取X1和X2(21x x ≠)时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为

二次函数一题多问

☆中考数学二次函数一题多问? 如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=(x-h)2+k,所得抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左边),与y轴交于点C,顶点为D. (1)求h、k的值; (2)判断△ACD的形状,并说明理由; (3)在线段AC上是否存在点M,使△AOM与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.(4)在对称轴上找一点P,使PB+PC最小,求出P点坐标。 (5)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐标及△BPC的周长。 (6)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线L∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN最长。

(7)在AC 下方的抛物线上,是否存在一点N 使△CAN 面积最大。且最大面积是多少? (8)在AC 下方的抛物线上,是否存在一点M ,使四边形ABCN 面积最大,且最大面积是多少? (9)在Y 轴上是否存在一点E ,使△ADE 为直角三角形,若存在。求出点E 的坐标;若不存在,说明理由。 (10)在Y 轴上是否存在一点F ,使△ADF 为等腰三角形,若存在,求出点F 的坐标;若不存在,说明理由。 (11)在抛物线上是否存在一点N,使S △ABN=S △ABC ,若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由。 (12)在对称轴上有一点K ,在抛物线上有一点 L ,若使A,B,K,L 为顶点形成平行四边形,求出 K,L 点的坐标。

(15) 在抛物线上是否存在一点P,使S△PBC=S△ABC, 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。 (16) 在抛物线上是否存在一点Q,使S△AOQ=S△COQ, 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。 (17) 在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积, 若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由。 (18)在抛物线上找一点F,做FM⊥X轴,交AC与点H,使AC平分△AFM的面积?(19)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。 (20)做垂直于X轴的直线 X=-1 , 交直线 AC 与点 M,交抛物线与点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形,求第四个顶点E的坐标。

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