江苏省南京市江宁区2017届九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+=0 D．（x﹣1）（x+2）=1

2．用配方法解方程x2﹣6x+7=0时，原方程应变形为（）

A．（x﹣6）2=2 B．（x﹣6）2=16 C．（x﹣3）2=2 D．（x﹣3）2=16

3．关于x的方程x2+kx+k2=0（k≠0）的根的情况描述正确的是（）

A．方程没有实数根

B．方程有两个不相等的实数根

C．方程有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9

5．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

A．点P B．点Q C．点R D．点M

6．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）

A．60° B．50° C．40° D．25°

二、填空题

7．方程x2+x=0的根是．

8．一元二次方程x2+3x+1=0的两个根的和为，两个根的积为．

9．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于．

10．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， =，∠AOB=62°，则∠BDC= ．

11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为．

12．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为°．

13．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为．

14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为度（写出一个即可）．

15．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是．

16．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形的面积为．

三、解答题

17．解方程：

（1）x2+4x+4=0

（2）（x﹣1）2=9x2

（3）x（x+1）=3（x+1）

18．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．

（1）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由；

（2）若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根．

20．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．

21．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．

（1）求∠DBC的度数；

（2）若⊙O的半径为3，求的长．

22．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，BC经过圆心，∠B=25°，∠C=40°．

（1）求证：AC与⊙O相切；

（2）若 BC=a，AC=b，求⊙O的半径（用含a、b的代数式表示）．

23．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？24．用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．

25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点D，且l∥BC．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）作∠ABC的平分线BE交AD于点E，求证：BD=DE．

26．在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下

面请你和小明一起进入探索之旅．

（1）如图1，△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为；

（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，点P满足；∠BPC=∠BEC，且PB=PC；（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）（3）如图3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC ⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为．

2016-2017学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+=0 D．（x﹣1）（x+2）=1

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．

【解答】解：A、a=0时是一元一次方程，故A错误；

B、是多项式，故B错误；

C、是分式方程，故C错误；

D、是一元二次方程，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．用配方法解方程x2﹣6x+7=0时，原方程应变形为（）

A．（x﹣6）2=2 B．（x﹣6）2=16 C．（x﹣3）2=2 D．（x﹣3）2=16

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】先将常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数．

【解答】解：x2﹣6x+7=0，

x2﹣6x=﹣7，

x2﹣6x+9=﹣7+9，

即（x﹣3）2=2，

故选：C．

【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

3．关于x的方程x2+kx+k2=0（k≠0）的根的情况描述正确的是（）

A．方程没有实数根

B．方程有两个不相等的实数根

C．方程有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

【考点】根的判别式．

【分析】根据根的判别式△=k2﹣4k2=﹣3k2，结合k≠0可得△＜0，即方程没有实数根，可得答案．【解答】解：∵△=k2﹣4k2=﹣3k2＜0，且k≠0，

∴方程没有实数根，

故选：A．

【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，

根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，

故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

5．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

A．点P B．点Q C．点R D．点M

【考点】垂径定理．

【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．

【解答】解：连结BC，

作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．

故选B．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

6．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠AC B=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）

A．60° B．50° C．40° D．25°

【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．

【分析】连接OC，根据切线性质得：∠OCD=90°，利用同圆的半径相等得：∠OCA=∠A=25°，则∠DOC=50°，则直角三角形两锐角互余得出∠D的度数．

【解答】解：连接OC，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵OC=OA，∠A=25°，

∴∠OCA=∠A=25°，

∴∠DOC=∠A+∠OC A=25°+25°=50°，

∴∠D=90°﹣50°=40°，

故选C．

【点评】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，所以此类题若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

二、填空题

7．方程x2+x=0的根是x1=0，x2=﹣1 ．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】方程左边分解得到x（x+1）=0，原方程转化为x=0或x+1=0，然后解一次方程即可．

【解答】解：∵x（x+1）=0，

∴x=0或x+1=0，

∴x1=0，x2=﹣1．

故答案为x1=0，x2=﹣1．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程，右边化为0，再把方程左边因式分解，这样把原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到原方程的解．也考查了配方法．

8．一元二次方程x2+3x+1=0的两个根的和为﹣3 ，两个根的积为 1 ．

【考点】根与系数的关系．

【分析】设方程的两根为m、n，根据根与系数的关系即可得出m+n=﹣3、mn=1，此题得解．

【解答】解：设方程的两根为m、n，

则有：m+n=﹣3，mn=1．

故答案为：﹣3；1．

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为﹣、两根之积为是解题的关键．

9．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于24πcm2．

【考点】圆锥的计算．

【专题】计算题．

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【解答】解：它的侧面展开图的面积=?2π?4?6=24π（cm2）．

故答案为24πcm2．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

10．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， =，∠AOB=62°，则∠BDC= 31°．

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】根据圆周角定理即可得到结论．

【解答】解：∵ =，∠AOB=62°，

∴∠BDC=AOB=31°，

故答案为：31°，

【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为35°．

【考点】圆周角定理．

【专题】计算题．

【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．

【解答】解：连结AD，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABD=55°，

∴∠A=90°﹣55°=35°，

∴∠BCD=∠A=35°．

故答案为35°．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

12．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为40 °．

【考点】圆心角、弧、弦的关系．

【专题】计算题．

【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，则根据

三角形内角和定理得到∠AOB=50°，∠COD=60°，则∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=40°，于是得到

的度数为40°．

【解答】解：连接OB、OC，如图，

∵OA=OB，OC=OD，

∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，

∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，

∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，

∴的度数为40°．

故答案为40．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦

中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

13．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为．

【考点】正多边形和圆；三角形的内切圆与内心．

【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．

【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；

∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠OAB=60°，

∴OG=OA?sin60°=2×=，

∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．

故答案为：．

【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．

14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80 度（写出一个即可）．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．

【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，根据圆周角定理求出∠DOB的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB．

【解答】解：连接OB、OD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，

∴∠DCB=180°﹣130°=50°，

由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°，

∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即50°＜∠BPD＜100°，

∴∠BPD可能为80°，

故答案为：80．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

15．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和

点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是2．

【考点】切线的性质；两点间的距离公式．

【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在Rt△AOM中求出OM即可．

【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．

∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），

∴AM⊥OA，OA=8，

∴∠OAM=∠MH0=∠H OA=90°，

∴四边形OAMH是矩形，

∴AM=OH，

∵MH⊥BC，

∴HC=HB=6，

∴OH=AM=10，

在Rt△AOM中，OM===2．

故答案为：2．

【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．

16．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的

图形的面积为．

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．

【分析】根据图形和题目中的数据可以求得线段AB扫过的图形的面积．

【解答】解：由图可得，

线段AB扫过的图形的面积为：（S△ABC+S扇形CAA′）﹣（S扇形CBB′+S△CAB′）

∵将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，AC=6，BC=4，

∴S△ABC=S△CAB′，

∴线段AB扫过的图形的面积为：

（S△ABC+S扇形CAA′）﹣（S扇形CBB′+S△CAB′）

=S△ABC+S扇形CAA′﹣S扇形CBB′﹣S△CAB′

=S扇形CAA′﹣S扇形CBB′

=

=，

故答案为：．

【点评】本题考查扇形的面积的计算、旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

三、解答题

17．（15分）解方程：

（1）x2+4x+4=0

（2）（x﹣1）2=9x2

（3）x（x+1）=3（x+1）

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】（1）把等号左边化为完全平方，然后开平方即可；

（2）首先两边同时开平方可得x﹣1=±3x，然后化为两个一元一次方程4x﹣1=0或﹣2x﹣1=0，再解即可；

（3）首先把3（x+1）移到等号右边，然后分解因式可得（x﹣3）（x+1）=0，再解即可．

【解答】解：（1）x2+4x+4=0．

（ x+2）2=0，

解得：x1=x2=﹣2；

（2）（ x﹣1）2=9x2，

x﹣1=±3x，

4x﹣1=0或﹣2x﹣1=0，

解得：x1=，x2=﹣．

（3）x （x+1）=3（x+1），

（x﹣3）（x+1）=0，

x﹣3=0或x+1=0，

解得：x1=3，x2=﹣1．

【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

18．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．

【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．

【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可．【解答】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，

×x（14﹣x）=24，

解得x1=6，x2=8，

当x1=6时，14﹣x=8；

当x2=8时，14﹣x=6；

答：两条直角边的长分别为6，8．

【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半．

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．

（1）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由；

（2）若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根．

【考点】根与系数的关系；根的判别式．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+8≥8，由此即可得出结论；

（2）将x=1代入原方程可求出m的值，再将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的另一个根．【解答】解：（1）∵在方程x2﹣mx﹣2=0中，△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8≥8，

∴不论m为任意实数，原方程总有两个不相等的实数根．

（2）将x=1代入原方程，得：1﹣m﹣2=0，

解得：m=﹣1，

∴原方程为x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，

解得：x1=1，x2=﹣2．

答：m的值为﹣1，方程的另一个根为﹣2．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记当△＞0时方程有两个不相等的实数根是解题的关键．

20．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．

【考点】垂径定理．

【专题】证明题．

【分析】连接OA、OC，根据垂径定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根据HL证Rt△ONC≌Rt △OMA，根据全等三角形的性质推出即可．

【解答】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA，

∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，

∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，

∵AB=CD，

∴CN=AM，

在Rt△ONC和Rt△OMA中，

，

∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），

∴OM=ON．

【点评】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度不大．

21．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．

（1）求∠DBC的度数；

（2）若⊙O的半径为3，求的长．

【考点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；弧长的计算．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠C的度数，然后根据等边对等角可得答案；

（2）首先计算出∠BDC的度数，再根据圆周角定理可得∠BOC的度数，进而可得的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠DCB+∠BAD=180°，

∵∠A=105°，

∴∠C=180°﹣105°=75°，

∵BD=CD，

∴∠DBC=∠C=75°；

（2）连接BO、CO，

∵∠C=∠DBC=75°，

∴∠BDC=30°，

∴∠BOC=60°，

故的长l==π．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．

22．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，BC经过圆心，∠B=25°，∠C=40°．

（1）求证：AC与⊙O相切；

（2）若 BC=a，AC=b，求⊙O的半径（用含a、b的代数式表示）．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）直接利用已知得出∠AOC+∠C=90°，进而利用切线的判定方法得出答案；

（2）直接利用勾股定理得出⊙O的半径．

【解答】（1）证明：如图所示：连结AO，

∵AO=BO，∠B=25°，

∴∠AOC=2∠B=50°，

∵∠C=40°，

∴∠AOC+∠C=90°，

∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，

∵OA是半径，

∴AC与⊙O相切；

（2）解：设半径为r，则OC=a﹣r，

在Rt△OAC中，r2+b2=（ a﹣r）2，

解得：r=．

【点评】此题主要考查了切线的判定，正确应用勾股定理是解题关键．

23．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全