[知识点]《口技》知识点归纳大全
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《口技》知识点归纳大全
一、原文
①京中有善口技者。会宾客大宴，于厅事之东北角，施八尺屏障，口技人坐屏障中，一桌、一椅、一扇、一抚尺而已。众宾团坐。少顷，但闻屏障中抚尺一下，满坐寂然，无敢哗者。
②遥闻深巷中犬吠，便有妇人惊觉欠伸，其夫呓语。既而儿醒，大啼。夫亦醒。妇抚儿乳，儿含乳啼，妇拍而呜之。又一大儿醒，絮絮不止。当是时，妇手拍儿声，口中呜声，儿含乳啼声，大儿初醒声，夫叱大儿声，一时齐发，众妙毕备。满坐宾客无不伸颈，侧目，微笑，默叹，以为妙绝。
③未几，夫齁声起，妇拍儿亦渐拍渐止。微闻有鼠作作索索，盆器倾侧，妇梦中咳嗽。宾客意少舒，稍稍正坐。
④忽一人大呼“火起”，夫起大呼，妇亦起大呼。两儿齐哭。俄而百千人大呼，百千儿哭，百千犬吠。中间力拉崩倒之声，火爆声，呼呼风声，百千齐作;又夹百千求救声，曳屋许许声，抢夺声，泼水声。凡所应有，无所不有。虽人有百手，手有百指，不能指其一端;人有百口，口有百舌，不能名其一处也。于是宾客无不变色离席，奋袖出臂，两股战战，几欲先走。
⑤忽然抚尺一下，群响毕绝。撤屏视之，一人、一桌、一椅、一扇、一抚尺而已。
二、实词翻译
第一段：
善：善于，擅长者：……的人会;适逢，正赶上宴：举行宴会于：在厅事：大厅，客厅施：设置，安放屏障：指屏风，围帐一类用来挡住视线的东西
抚尺：艺人表演用的道具，也叫“醒木”。而已：罢了团坐：围绕而坐
少顷：一会儿但：只闻：听见坐：通“座”座位
寂然：静悄悄
第二段：
犬吠：狗叫声便：就觉：睡醒欠伸：打呵欠，伸懒腰
呓yì语：说梦话既而：不久，紧接着啼：出声地哭抚：抚摸，安慰
乳：喂奶儿含乳啼：乳头呜：指轻声哼唱着哄小孩入睡
絮絮：连续不断地说话当：在是：这初：刚刚
一时：同时妙：妙处毕：全，都侧目：偏着头看，形容听得入神
默叹：默默地赞叹以为妙绝：精妙绝：达到极点
第三段：
未几：不久齁hōu：打鼾渐：逐渐作作索索：模拟
老鼠活动的声音
倾侧：翻倒倾斜意：心情少：稍微舒：伸展，松弛稍稍：渐渐
第四段：
呼：呼叫俄而：一会儿中间jiàn：其中夹杂力拉：拟声词
崩倒：(房屋)倒塌曳yè：拉许许h? ：拟声词虽：即使一端：一种名：说出于是：在这种情况下色：脸色席：座位
奋：扬起，举起股：大腿战战：打哆嗦，打战几jī：几乎欲：想走：跑
第五段：
群：众多的毕：全，都绝：消失
三、翻译语句
1、京中有善口技者。
京城里有一个善于表演口技的人。
2、会宾客大宴，于厅事之东北角，施八尺屏障，口技人坐屏障中，一桌、一椅、一扇、一抚尺而已。
一天，正好碰上有一家大摆酒席请客，在客厅的东北角上安放了一座八尺宽的围幕，这位表演口技的艺人坐在围幕中，里面只放了一张桌子、一把椅子、一把扇子、一块醒木罢了。
3、众宾团坐。少顷，但闻屏障中抚尺一下，满坐寂然，无敢哗者。
客人们围坐在一起。过了一会儿，只听到围幕里醒木一拍，全场都安静下来，没有一个敢大声说话的。
4、遥闻深巷中犬吠，便有妇人惊觉欠伸，其夫呓语。
只听到远远的深巷里的一阵狗叫声，就有一个妇人被惊醒，打着哈欠，伸着懒腰，她丈夫说着梦话。
5、既而儿醒，大啼。夫亦醒。妇抚儿乳，儿含乳啼，妇拍而呜之。又一大儿醒，絮絮不止。
一会儿小孩子醒了，大声哭着。丈夫也被吵醒了。妇人拍着孩子，给他喂奶，孩子口里含着奶头还是哭，妇人一面拍着孩子，一面呜呜地哼唱着哄他睡觉。又有一个大孩子也醒了，唠唠叨叨地说个不停。
6、当是时，妇手拍儿声，口中呜声，儿含乳啼声，大儿初醒声，夫叱大儿声，一地齐发，众妙毕备。
这时候，妇人用手拍孩子的声音，口中呜呜地哼唱的声音，小孩子含着奶头啼哭的声音，大孩子刚刚醒来的声音，丈夫大声呵斥大孩子的声音，同时响了起来，各种声音都表演得维妙维肖。
7、满坐宾客无不伸颈，侧目，微笑，默叹，以为妙绝。
全场的客人没有一个不伸长脖子，偏着头凝神地听着，微笑着，暗暗地赞叹，认为妙极了。
8、未几，夫齁声起，妇拍儿亦渐拍渐止。
没隔多久，丈夫的鼾声响起来了，妇人拍孩子的声音也渐渐地拍一会儿停一会儿。
9、微闻有鼠作作索索，盆器倾侧，妇梦中咳嗽。
隐隐约约地听到老鼠安全窸窸窣窣的声音，盆碗等器物打翻的声音，妇人在梦中的咳嗽的声音。
10、宾客意少舒，稍稍正坐。
客人们听到这里，心情稍微放松了，身子渐渐坐正了。
11、忽一人大呼“火起”，夫起大呼，妇亦起大呼。
忽然有一个人大声喊道：“起火啦!”丈夫起身大叫，妇人也起身大叫。
12、两儿齐哭。俄而百千人大呼，百千儿哭，百千犬吠。
两个小孩子一齐哭了起来。霎时间，成百上千人大喊起来，成百上千的小孩哭了起来，成百上千的狗叫了起来。
13、中间力拉崩倒之声，火爆声，呼呼风声，百千齐作;又夹百千求救声，曳屋许许声，抢夺声，泼水声。
中间夹杂着劈里啪啦房屋倒塌的声音，烈火燃烧而发出爆裂声，呼呼的风声，千百种声音一齐响了起来;还夹杂着成百上千人的求救声，救火的人们拉倒燃烧着的房子时一齐用力的呼喊声，在火中抢夺物件的声音，泼水的声音。
14、凡所应有，无所不有。虽人有百手，手有百指，
不能指其一端;
凡是应该有的声音，没有一样没有。即使一个人有上百只手，一些只手有上百个指头，也不能明确指出哪一种声音来;
15、人有百口，口有百舌，不能名其一处也。
即使一个人有上百张嘴，一张嘴里有上百条舌头，也不能说出其中的一处来。
16、于是宾客无不变色离席，奋袖出臂，两股战战，几欲先走。
在这种情况下，客人们没有一个不吓得变了脸色，离开座位，扬起衣袖露出手臂，两腿索索直抖，几乎都想争先恐后地逃跑。
17、忽然抚尺一下，群响毕绝。撤屏视之，一人、一桌、一椅、一扇、一抚尺而已。
忽然醒木一拍，各种声响全都消失。撤掉围幕一看里面，仍只有一个人、一张桌子、一把椅子、一把扇子、一块醒木罢了。
四、一词多义
1、乳：妇抚儿乳 (喂奶) 儿含乳啼 (乳头)
2、绝：以为妙绝 (达到极点) 群响毕绝 (消失)
3、指：手有百指 (指头) 不能指其一端 (指出)
5、善：京中有善口技者 (善于) 择其善者而从之《论
语》 (好的 )
近塞上之人有善术者。《塞翁失马》 ( 擅长，善于)
6、意：宾客意少舒 (心情 ) 目似瞑，意暇甚《狼》 ( 神情 )
7、名：不能名其一处也(说出 )并自为其名(命名 )
8、坐：口技人坐屏障中( 坐在 )满坐寂然( 通“座”座位，这里指座位上的人，即宾客 )
11、夫：夫起大呼 (丈夫 ) 今夫不受之天《伤仲永》 (那些)
16、止：妇拍儿亦渐拍渐止 (停止) 止有剩骨《狼》 ( 通“只”只有)
17、作：有鼠作作索索(拟声词) 百千齐作(动词，响起，文中是发出声音)
18、妙：众妙毕备(名词，妙处) 以为妙绝(形容词，奇妙)
五、古今异义
①中间力拉崩倒之声：中间，其中夹杂着(古);当中，中心方位(今)。
②两股战战，几欲先走：股，大腿(古);屁股(今)。走，跑(古);步行(今)。
(3)会宾客大宴古：适逢，正赶上。今：会议。
六、词语活用
①京中有善口技者(善，形容词作动词，擅长。)
②不能名其一处(名，名词作动词，说出。)
③会宾客大宴(宴，名词作动词，举行宴会。)
④妇手拍儿声(手：名词用作状语，用手。)
⑤遥闻深巷中犬吠(遥：形容词作状语，远远地。)
(6)众妙毕备：妙处(形作名)
(7)妇抚儿乳 ( 乳：喂奶名词活用作动词)
(8)满坐宾客无不伸颈、侧目(目：看名词活用作动词)
七、课文内容
《口技》选自《虞初新志》，《虞初新志》是清代张潮编选的笔记小说。本文作者林嗣环，字铁崖，清代顺治年间进士。
本文中心：本文记叙了一场精彩的口技表演，表现了一位口技艺人的高超技艺，令人深切感受到口技这一传统民间艺术的魅力。
1、读
2、
3、4段。思考：这三段分别描写了哪几个场面?
三个场面：(1)一家人深夜里被惊醒的场面;(2)这家人再次入睡的场面;3)一场特大火灾的惊险纷乱场面;
2、各场景的声音变化有何特点?
第一场景：声音由远而近，由外而内，由小而大，由分而合。
第二场景：声音由大而小，由密而疏，微闻余声。
第三场景：声音由少而多，由小而大，百千齐作，应有尽有。
总结：总体看来，声音的变化，由小而大，再由大到小，最后又变大。
3、文末再次交代表演者的道具仅“一桌、一椅、一扇、一抚尺而已”，有什么作用?
结构上与首段相呼应，使结构更加严谨。内容上极言道具之简单，说明刚才的精彩表演的确是从“口”中发出的。这样，侧面烘托了口技表演者技艺的高超。
4、文中多次描述听众的反应，这些描述有什么效果?
文中三次描述听众的反应：
一是“满座宾客无不伸颈，侧目，微笑，默叹，以为妙绝”。“伸颈”“侧目”说明宾客听得入神，被深深吸引，惟恐有所遗漏;“微笑”，表示宾客对表演心领神会，感到满意;“默叹”写出宾客为表演者的技艺折服而又不便拍案叫好的神态。此时，听众已经进入口技表演的情景之中而尚能自持。
二是“宾客意少舒，稍稍正坐”。“正坐”与“伸
颈”“侧目”对照。“稍稍”是“逐渐”“渐渐”的意思，细致地表现了宾客情绪由紧张到松弛的渐变过程。说明听众随表演内容而变化心态，已融入口技表演的情景之中而难以
自持。
三是“宾客无不变色离席，奋袖出臂，两股战战，几欲先走”。写宾客惊慌欲逃的神态、动作，说明口技表演达到以假乱真的绝妙境界，使听众仿佛置身于火场，不禁以假为真，完全进入口技表演所营造的生活情景之中而不能自持。
这三处侧面描写，层层深入，生动细腻地刻画出听众的心理变化过程，表现了这场精彩的演出对听众具有巨大吸引力的表演效果，从而烘托了口技表演者技艺的高超。
5、课文是怎样将正面描写与侧面描写相结合的?
本文描写口技表演，抓住了表演者和听众两个方面：
一方面描写口技艺人的表演，直接表现其高超技艺，这是正面描写;
另一方面描写听众的神态、动作，以听众的反应烘托其高超技艺，这是侧面描写。
在描写表演过程的三段中，都是先写口技艺人的表演，后写听众的反应，从而使表演和效果有机地联系起来，以听众的反应为烘托，从侧面表现口技表演之“善”。
此外，课文首尾两次清楚地交代了极简单的道具，表明口技不是靠其他器物发声，而仅仅是靠一张嘴发声，突出其技艺在“口”，也是从侧面表现表演者口技的不凡。
本文运用侧面描写表现这场口技表演的魅力，烘托表演者的高超技艺，增强了文章的感染力。
6、课文中有以动写静、表现深夜寂静气氛的句子，请找出两处?
①“遥闻深巷中犬吠。”
②“微闻有鼠作作索索，盆器倾侧，妇梦中咳嗽。”
7、.表时间性的词语
1，“一时”：同时发生。2，“忽”，“忽然”：突然发生。3，“既而”：两事相继发生。4，“是时”在特定的某个时间内发生。5，“少顷”、“俄而”、“未几”，在很短时间内发生。
8、本文表示事物的数量的词，比较古今的不同用法。
一(个)人一(张)桌一(把)椅一(把)扇一(块)抚尺
两(个)儿
百千(个)人百千(条)犬百(只)手百(条)舌百(张)口
10、概括介绍表演者技艺高超的句子：京中有善口技者。
11,“善”字通领全篇，是概括全文题旨的关键性字眼。
12、作者议论的句子有哪些?有什么作用?
点拨：A“一时齐发，众妙毕备”;B“凡所应有，无所不有”C“虽人有百手，手有百指，不能指其一端;人有百口，口有百舌，不能名其一处也。”
作用：盛赞口技表演者的技艺高超。
16、作者用什么方法写出一家人睡去后夜深寂静的氛围?找出具体语句。
点拨：以动写静，微闻有鼠作作索索。
八、课外拓展
1、由口技之精，我们可以联想到各行各业的技艺之善，如果在本专业有所建树，你认为必须具备哪些条件?
点拨：可就“才”、“苦练”等展开，有恒心，争取做到由量的积累达到质的飞跃。
2、表演者技艺为什么这样出神入化?这给我们什么启迪?点拨：勤学苦练的结果，凡事都要下苦功，做到精益求精。
3.你喜欢的民间技艺还有哪些?——剪纸、捏泥人、皮影戏、扎花灯……
高中不等式知识点总结
1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+（2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲
不等式知识点汇总
不等式知识点汇总 1、不等式的基本性质 ②（传递性）,a b b c a c >>?> ①（对称性）a b b a >?> ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>?∈>且 ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性） 0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ②（基本不等式） 2 a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式： 22 .2 a b ab +≤
④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 ()a b c R + ∈、、（当且仅当 a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 2 2 .x a x a a x a >>>，，规律：小于1同加则变大， 大于1同加则变小. ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式： 112a b a b --+≤≤ +()a b R + ∈， （当且仅当a b =时取 ""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：2 22 ;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③≥1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2 ()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222 123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式：222222 1212(...)(...) n n a a a b b b ++++++
必修五-不等式知识点总结
不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0).
基本不等式知识点归纳
向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小）
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
最新高中数学不等式知识点归纳汇总
最新高中数学不等式知识点归纳汇总 知识点一：绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|， 当且仅当ab ≥０时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤ |a －b|+ |b －c|，当且仅当(a-b)(b-c) ≥０时，等号成立．知识点二：绝对值不等式的解法 1．不等式|x|a 的解集： 不等式 a>0a ＝0a<0|x|a {x|x>a ，或x<－a}{x|x ≠0}R 2．|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： (1)|ax ＋b|≤ｃ?-c ≤ax ＋b ≤ｃ； (2)|ax ＋b|≥ｃ?ax ＋b ≤-c 或ax ＋b ≥c. (3)|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法： 巩固专区：典例 [例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析：由|x+1|+ |x+3|≥｜（x+1）-（x+3）|=2，故y 的最小值2。 [例2].不等式|2x-1| 1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 一元一次不等式知识点汇总 【知识点一】不等式的有关概念 1、不等式定义：用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。 2、列不等式：步骤如下 （1）根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式； （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义； （3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 （1）x a <表示小于a 的全体实数，在数轴上表示a 左边的所有点，不包括a 在内。 （2）x a ≥表示大于或等于a 的全体实数，在数轴上表示a 右边的所有点，包括a 在内。 （3）()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。 1、不等式的基本性质 （1）基本性质1：若a b <，b c <，则a c <。（不等式的传递性） （2）基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 ①若a b >，则a c b c +>+，a c b c ->-；②若a b <，则a c b c +<+，a c b c -<-。 （3）基本性质3：①不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立； 若a b >，且0c >，则ac bc >， a b c c >。 ②不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。 若a b >，且0c <，则ac bc <，a b c c <。 2、比较等式与不等式的基本性质 1、一元一次不等式的概念：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次。 2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解。 3、一元一次不等式的解法：步骤如下 （1）去分母：在不等式两边同乘分母的最小公倍数；（根据基本性质3） （2）去括号：把所有因式展开；（根据单项式乘多项式法则） （3）移项：把含未知数的项移到不等式的左边，不含有未知数的项移到不等式的右边；（根据基本性质2） （4）合并同类项：将所有的同类项合并，得ax b >或ax b <（0a ≠）的形式； （5）系数化为1：不等式两边同除以未知数的系数，或乘未知数系数的倒数。（根据基本性质3） 4、一元一次不等式的应用：解有关应用题步骤如下 （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和 基本不等式知识点归 纳 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； 授课教案 ③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1 -= n n S S 偶 奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()2 1+n n ②()()6 1213212222++=+++n n n n Λ ③()2 2 13213333?? ??? ?+=++n n n Λ [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=?n n a ； 5，55，555，…()1109 5-=?n n a . 2 等比数列 （1）性质 当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2 =a p a q ，数列{ka n }，{ ∑=k 1 i i a }成等比数列。 3 等差、等比数列的应用 （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等； （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）； 若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。 典型例题 例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。 例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{ n S n }的前n 项和，求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1） 数列{a n }的通项公式； （2） 设1n n n a a 1b += ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2 1 <. 例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33， 且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。 例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=8 1 ，求等差数列的通项a n 。 4 练习 1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，则它的前n 项和 S n =______。 2 设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，则该等差数列的中间n 项的和等于________。 3 若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。 4 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。 5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1（q ≠1），设数列{b n }的通项 期末复习之不等式知识点 2 3 1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x2–(a+a2)x+a3>0； （3）2x2 +ax +2 > 0； 注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有： 1、讨论a与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小；运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题： 例1．已知关于x的不等式 在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围． ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象 分离参数后用最值 函数 、 、 、 3 2 1 例2．关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围. 4 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 （1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）,a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 总结：已知y x ,都是正数，则有 （1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正，则要加负号，若不定，则要凑定值，若不等，则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z += 基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2ab b a b a =+?= ②仅当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数)2(2 1)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2y xz 的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为18 4．函数x x y 1+=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(= 的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 第三章 不等式 3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则） 0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2 a b ab +≤ ②（基本不等式） 2 a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2 .2a b ab +?? ≤ ???（也可用柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+） 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则 （当仅当a=b 时取等号） 选修4--5知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
一元一次不等式知识点汇总
一元一次不等式知识点总结
基本不等式知识点归纳教学内容
不等式知识点归纳与总结
不等式知识点总结
基本不等式知识点归纳总结
不等式知识点归纳
(完整版)高中数学不等式知识点总结