北师大数学必修五课时分层作业 一元二次不等式的解法 含解析
课时分层作业(十六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．(x －2)(3x ＋5)<0的解集为( ) A ．? ????
－53，＋∞
B ．? ?
???－∞，－53∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．? ??
??－53，2
D [由(x －2)(3x ＋5)<0，得－5
3＜x ＜2，故选D.] 2．若不等式ax 2
＋5x ＋c ＞0的解集为??????
???
?x ?
??
13＜x ＜1
2，则a ，c 的值为( )
A ．a ＝6，c ＝1
B ．a ＝－6，c ＝－1
C ．a ＝1，c ＝6
D ．a ＝－1，c ＝－6
B
[易知a ＜0，且?????
－5a ＝12＋13，
c a ＝13×1
2，
??????
a ＝－6，
c ＝－1.
] 3．若不等式a 2x －2a －3＜0的解集是M ，且1∈M ，则a 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3)
C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B [由题意得a 2－2a －3＜0，即(a －3)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜3，故选B .] 4．若0＜t ＜1，则不等式(x －1)? ??
??
x －1t ＜0的解集为( )
A ．?
???
??
x |1t ＜x ＜1
B ．?
???
??x |x ＞1
t 或x ＜1
C ．?
???
??x |x ＜1
t 或x ＞1
D ．?
???
??x |1＜x ＜1t
D [因为0＜t ＜1，所以1
t ＞1，故不等式的解集为??????
????x ???
1＜x ＜1t .]
5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( ) A ．{x |x >5a 或x <－a } B ．{x |x <5a 或x >－a } C ．{x |－a B [因为x 2－4ax －5a 2>0，所以(x －5a )(x ＋a )>0.因为a <－1 2，所以5a <－a ．所以不等式的解为x >－a 或x <5a ．故选B.] 二、填空题 6．不等式2x 2＜2－3x －2的解集是________． (－2，－1) [原不等式可化为x 2＜－3x －2，即x 2＋3x ＋2＜0，故(x ＋1)(x ＋2)＜0，故解集为(－2，－1)．] 7．若不等式4x 2＋9x ＋2<0的解集与不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则a －b ＝________. 5 [由4x 2 ＋9x ＋2<0，得－2＜x ＜－1 4，由题意得方程ax 2＋bx －2＝0有两根 －2，－1 4， ∴??? ?? －2－14＝－b a ，－2·? ? ? ??－14＝－2a ，得????? a ＝－4， b ＝－9， ∴a －b ＝5.] 8．已知关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是________． (－1,3) [由不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可知a <0，且a ＝b ，则不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集等价于不等式(x ＋1)(x －3)<0的解集，即不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集为(－1,3)．] 三、解答题 9．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x 2－2x ＋3>0. [解] (1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0， 所以(2x ＋1)(x －2)<0. 故原不等式的解集是?????? ??? ?x ? ?? －1 2 . (2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故原不等式的解集是R . 10．设?(x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式?(x )>0的解集； (2)若不等式?(x )＋1>0的解集为? ???? 32，3，求m 的值． [解] (1)当m ＝1时，不等式?(x )>0为2x 2－x >0， 因此所求解集为(－∞，0)∪? ???? 12，＋∞. (2)不等式?(x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0， 由题意知3 2，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根， 因此??? 32＋3＝m m ＋1 32×3＝ m m ＋1 ?m ＝－9 7. [能力提升练] 1．设A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( ) A ．7 B ．－1 C ．1 D ．－7 D [A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]， ∴B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.] 2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) B [由题意知x ⊙(x －2)＝x 2＋x －2， ∴x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.] 3．若不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为(－∞，－2)∪? ???? －12，＋∞，则不等式bx 2 ＋ax ＋1<0的解集为_____________． ? ? ???－2，－12 [由题意得x 2＋ax ＋b ＝0有两根－2，－12， 由根与系数的关系得??? ?? －2－1 2＝－a ， －2×? ???? －12＝b ，得??? a ＝5 2， b ＝1. ∴bx 2＋ax ＋1<0可化为x 2＋5 2x ＋1<0. 即? ?? ?? x ＋12(x ＋2)<0.得－2 [－2，－1]∪[1,2] [原不等式可化为|x |2－3|x |＋2＝(|x |－1)(|x |－2)≤0， 故1≤|x |≤2，所以????? －2≤x ≤2x ≥1或x ≤－1， 则－2≤x ≤－1或1≤x ≤2.] 5．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0的解集中的整数恰有3个，求a 的取 值范围． [解] 原不等式等价于(ax －1)(x －1)＜0，分类讨论： (1)当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)，整数不止3个； (2)当a ≠0时，方程(ax －1)(x －1)＝0的两根为1 a 和1. ①当0＜a ＜1时，不等式的解集为? ? ???1，1a ，当4＜1a ≤5时满足条件，得15≤a ＜1 4； ②当a ＝1时，不等式的解集为?； ③当a ＞1时，不等式的解集为? ?? ?? 1a ，1，显然不满足题意； ④当a ＜0时，不等式的解集为? ? ???－∞，1a ∪(1，＋∞)整数不止3个． 综上所述，a 的取值范围是?????? 15，14.