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初二数学下学期知识点总结

初二下数学期末知识点回顾

分式

知识要点 1．分式的有关概念

设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子

就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质

,M B M A B A ??= M

B M A B A ÷÷=（M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc

ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)；

;;bc

c d

b a d

c b a b

d ac

d c

b a =?

=÷=? .)(n n n b

a b a = 4．零指数)0(10

≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1

为正整数p a a a

≠=

- 注意正整数幂的运算性质 n

n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(,

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数． 6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去． 7、列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。 1. (-5)0 =_____； 2. 3-2

=________；3. 当x_________时，分式 1x+1 有

意义；

4. 写出等式中未知的式子：

（）c 2

+7c = 1

c+7

； 5. 约分：10a 2

4ab

2 =______________；

6. 分式：1x-1 、1

x-2 的最简公分母为：______；

7. 若方程x x-4 =2 + a

x-4 有增根，则增根为x=______；

8. 当x=______时，分式

32x-1的值为1 ；9. 若x=2是方程 x-a x+1 = 1

的解，则a=______；

10. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______________米；

11. 已知公式：1R = 1R 1 + 1

R 2 ，若R 1 =10，R 2=15，则R=___________；

12. 观察下列各式：22-4 + 66-4 =2，55-4 + 33-4 =2，77-4 + 11-4 =2，10

10-4

-2

-2-4

=2，依照以上各式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式2020-4 + （）

（）-4

=2成立 13. 下列关于x 的方程中，是分式方程的是（）

A. 3x=12

B. 1x =2

C. x+25 = 3+x

4 D.3x-2y=1

14. 下列各式中，成立的是（）

A. = y xy

B. m 6

m 2 = m 3

C. a 2

x bx = a 2

b D. a+

2a- 12

= a+1a-1

15. 要把分式方程：

32（x-2） = 1

化为整数方程，方程两边需同时乘以

（）

A. 2（x-2）

B.x

C. 2x-4

D. 2x （x-2）

16. -(-2)0

的运算结果为（）

A. -1

B. 1

C. 0

D. 2

17. 化简a 2

- b 2

a 2 + ab

的结果为（）

A. a-b a+ab

B. a-b a

C. a+b a

D. a-b a+b 18. 若有m 人a 天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的（m+n ）人完成这项工程所需的天数为（）

A. a + m

B. am m+n

C. a m+n

D. m+n

19.计算：x+1x 2 -2x+1 ÷x+1x-1 ; 20.计算：x 2

+9x x 2 +3x + x 2

-9x

x 2 +6x+9

21．解方程：80x+3 = 60x -3 ; 22.解方程：7x +2 +2 = 1-3x

x+2

23.先化简，再求值：（x x -2 + x x+2 ）÷4x

x -2 ，其中x=2007.

24.已知y = x 2

-2x+1x 2 -1 ÷ x 2

-x x+1 - 1

x +1，试说明在等号右边代数式有意义的

条件下不论x 为何值，y 的值不变。

25.为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自07年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25% 。该市林老师家06年12月份的水费是18元，而07年1月份的水费是36元，且已知林老师家07年1月份的用

水量比06年12月份的用水量多6m 3

。求该市去年．．的居民用水价格。 26.已知某项工程由甲、乙两队合作12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费比乙队多150元。

⑴甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天；

⑵若工程管理部分决定从两个队中选一个队单独完成此项工程，以节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由。

正比例、反比例、一次函数第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；

x 轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x 轴上，y 轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y 轴上，若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；

若两个点关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。 1、一次函数，正比例函数的定义

（1）如果y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。（2）当b ＝0时，一次函数y=kx+b 即为y=kx(k ≠0).这时，y 叫做x 的正比例函数。

注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。 2、正比例函数的图象与性质

（1）正比例函数y=kx(k ≠0)的图象是过（0，0）（1，k ）的一条直线。（2）当k>0时?y 随x 的增大而增大?直线y=kx 经过一、三象限?从左到右直线上升。

当k<0时?y 随x 的增大而减少?直线y ＝kx 经过二、四象限?从左到右直线下降。 3、一次函数的图象与性质

（1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是过（0，b ）（－

，0）的一条直线。注：（0,b ）是直线与y 轴交点坐标，（－k

，0）是直线与x 轴交点坐标.

（2）当k>0时?y 随x 的增大而增大?直线y=kx+b(k ≠0)是上升的

当k<0时?y 随x 的增大而减少?直线y ＝kx+b(k ≠0)是下降的 4、一次函数y=kx+b(k ≠0, k b 为常数)中k 、b 的符号对图象的影响（1）k>0, b>0?直线经过一、二、三象限（2）k>0, b<0?直线经过一、三、四象限（3）k<0, b>0?直线经过一、二、四象限（4）k<0, b<0?直线经过二、三、四象限

5、对一次函数y=kx+b 的系数k, b 的理解。

（1）k(k ≠0)相同，b 不同时的所有直线平行，即直线l 1:y=k 1x+b 1；直线

l 2:y=k 2x+b 2( k 1，k 2均不为零，k 1，b 1，k 2， b 2为常数)

k 1=k 2 k 1=k 2 l 1∥l

l 1与l

重合

b 1≠b 2 b 1=b 2

（2）k(k ≠0)不同，b 相同时的所有直线恒过y 轴上一定点（0,b ），例如：直线y=2x+3, y=-2x+3, y=

x+3均交于y 轴一点（0，3） 6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k 不变，直线沿y 轴平移多少个单位，可由公式︱b 1－b 2︱得到，其中b 1，b 2是两直线与y 轴交点的纵坐标，直线沿x 轴平移多少个单位，可由公式︱x 1－x 2︱求得，其中x 1，x 2是由两直线与x 轴交点的横坐标。

7、直线y=kx+b(k ≠0)与方程、不等式的联系

（1）一条直线y=kx+b(k ≠0)就是一个关于y 的二元一次方程（2）求两直线l 1:y=k 1x+b 1(k 1≠0)，l

:y=k 2x+b 2(k 2≠0)的交点，就

是解关于x ，y 的方程组 y=k 1x+b 1 y=k 2x+b 2

(3)若y>0则kx+b>0。若y<0，则kx+b<0

(4)一元一次不等式，y 1≤kx+b ≤y 2( y 1，y 2都是已知数，且y 1

（5）一元一次不等式kx+b ≤y 0(或kx+b ≥y 0)( y 0为已知数)的解集就是直线y=kx+b 上满足y ≤y 0(或y ≥y 0)那条射线所对应的自变量的取范围。 8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件

（1）由于比例函数y=kx(k ≠0)中只有一个待定系数k ，故只要一个条件（如一对x,y 的值或一个点）就可求得k 的值。

(2) 一次函数y=kx+b 中有两个待定系数k,b ，需要两个独立的条件确定两个关于k,b 的方程，求得k,b 的值，这两个条件通常是两个点，或两对x,y 的值。

9、反比例函数

(1) 反比例函数及其图象如果)0,(≠=

k k x

y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象

（2）反比例函数的性质

当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小；

当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

(3)由于比例函数)0,(≠=

k k x

y 是常数中只有一个待定系数k ，故只要一个条件（如一对x,y 的值或一个点）就可求得k 的值。１、函数2

y x =

+中，自变量x 的取值范围为 .

2、若函数y= -2x m+2是正比例函数，则m 的值是 .

3、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。

4、已知点A （3，m ）与点B （n ，-2）关于y 轴对称，则m= ，n= .

5、点 P （3，－4）关于X 轴对称的点是__________。

6、一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是，与y 轴交点坐标是 ,

图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .

7、将直线 y ＝3x + 4 向下平移6个单位，得到直线________________。 8、点 P （a ，a －2）在第三象限，则 a 的取值范围是___ _ . 9、已知y -2与x 成反比例，当x =3时，y =1，则y 与x 间的函数关系式为； 10、设有反比例函数y k x

，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________

11、已知点P 在第二、四象限夹角的平分线上，且到y 轴的距离为24，则点P 的坐标为_________________。

12.函数y =

x 的取值范围是 ( )

A . x < 1

B . x ≤ 1

C . x > 1

D . x ≥1

13.若点在第二象限，且到轴的距离分别为4，3，则点的坐标为（） A 、（4，－3） B 、（3，－4）

C 、（－3，4）

D 、（－4，3）

14．点M （1，2）关于x 轴对称点的坐标为（） A 、（－1，2） B 、（－1，－2） C 、（1，－2）

D 、（2，－1）

15. 一次函数y=－2x+3的图像不经过的象限是（）.

A 第一象限

B 第二象限

C 第三象限

D 第四象限

16．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米)与登山所用的时间t （分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（）

A ．爸爸登山时，小军已走了50米

B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面

C ．小军比爸爸晚到山顶

D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快

17、如果反比例函数x

y =的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（）

A 、第一、三象限

B 、第一、二象限

C 、第二、四象限

D 、第三、四象限

18、若反比例函数2

)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是

（）

A 、－1或1

B 、小于2

的任意实数 C 、－1 Ｄ、不能确定 19、正比例函数kx y =- k 例函数

y =在同一坐标系内的图象为（

）

20、如右图，A 为反比例函数x

y =图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，若S △AOB ＝3，则k 的值为（） A 、6

B 、3

C 、2

D 、不能确定

21、已知反比例函数x

y 12

=的图象和一次函数

7-=kx y 的图象都经过点()2,m 。 ⑴求这个一次函数

的解析式；⑵如图，梯形ABCD 的顶点B A 、在这个一次函数的图象上，顶点D C 、在已知反比例函数的图象上，两底BC AD 、与y 轴平行，且点B A 、的横坐标分别为2和4，求梯形ABCD 的面积。

22、如图，矩形OABC 的边OC OA 、分别在x 轴和y 轴上，且点A 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()2,0，点P 在线段CB 上，距离y 轴3个单位，有一直线()0≠+=k b kx y 经过点P ，且把矩形OABC 分成两部分。 ⑴若直线又经过x 轴上一点D ，且把矩形OABC 分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；

⑵若直线又经过线段AB 上一点Q ，且把矩形OABC 分成的两部分的面积比为

293：，求点Q 坐标。

23、如图所示，直线PA 是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB 是一次函数y=-2x+m(m>n)的图象（1）用m,n 表示A ，B ，P 的坐标

（2）若点D 是PA 与y 轴的交点，且四边形PDOB 的面积是

，AB ＝2，试求P 点坐标并写出直线PA ·PB 的解析式

24、已知：如图，在平面直角坐标系xoy 中，A 、B 两点的坐标分别为A （12，

0）、B （0，9）若点N 在直线AB 上，且S BON ?：S BOA ?＝1：3,求直线ON 的解析式。

25.已知反比例函数y=

和一次函数y=2x －1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+k ）两点。（1）求反比例函数的解析式

（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A 点的坐标。

（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

26．如图，直线y ＝

x ＋2分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9．

（1）求点P 的坐标；

（2）设点R 与点P 的同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标.

27．已知在坐标平面内原点为O,锐角⊿OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，在第一象限sin ∠AOB=

,tg ∠BAO=3,OB=10 (1)若反比例函数的图象经过点B ，求反比例函数的解析式（2）试判断⊿AOB 的形状

28、某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD . 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB 的长为x 米，修建健身房的总投入为y

元.

（1）求y 与x 的函数关系式；（2）为了合理利用大厅，要求自变

量x 必须满足8≤x ≤12. 当投入资

金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？

三角形相似

1．相似三角形的定义：

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

2．相似三角形的判定方法：

（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC

（2）射影定理若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）

则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=__________，CD 2

=___________，BC 2

=______；

（3）两个角对应相等的两个三角形__________；

（4）两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似；（5）三边对应成比例的两个三角形___________． 3．如图所示的这种图形是常见图形：

满足（1）AC 2

=AD ·AB ，（2）∠ACD=∠B ，（3）∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．

当

AD AE

或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE

∽△ACB ． 1．相似三角形的对应边_________，对应角________．

2．相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示． 3．相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比． 4．相似三角形的面积比等于_________的平方．

5.如图1,∠ADC=∠

ACB=90

∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______. 6.如图2,AD ∥EF ∥BC,则图的相似三角形共有_____对.

7.如图3,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,BM ⊥CE,AB=6,CE=3 ,则

BM=______.

8.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽Δ

A'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.

9.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.

10.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________.

11.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,-

CD=_______.

12.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.

13.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.

14.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥

BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_____.

15.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.

16.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.

17.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,

则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.

18.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.

19.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.

20.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.

求证:AB·BC=AC·CD.

21.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350。求证：ΔEAC∽ΔCBF

22．已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.

23．已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.

求证:(1)CE2=AE·EB ; (2) AE·EB=ED·EP

24已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB 相交于点E，?EC与AD相交于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．

解直角三角形

1．sinα，cosα，tanα，cotα的定义： sinα=b

<1，cosα=_______<1

tanα=_______>0，cotα=________>0 （a2+b2=c2常用）2．sinα，cosα，tanα，cotα之间的关系：

（1）sin 2α+cos 2

α=1，tan α·cot α=1 tan α=

sin cos α

（角度必须相同）（2）sin （90°-α）=cos α，cos （90°-α）=sin α tan （90°-a α）=cot α，cot （90°-α）=tan α 3．特殊角三角函数值：

1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些边和角求未知的边和角叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的类型：

（1）已知一边，一锐角，（2）已知两边． 3．解直角三角形的公式：

（1）三边关系：a 2+b 2=c 2

，（2）角关系：∠A+∠B=_____，

（3）边角关系：sinA=a c ，sinB=b c ，cosA=b

，

cosB=a c ，tanA=a b ，cosA=b a ，tanB=b a ，cotB=a b

．

4．仰角、俯角

α角叫仰角，β角叫做俯角． 5．坡度：

AB 的坡度i AB =

AC BC ， ∠α叫坡角，tan α=i=AC

． 1．Rt △ABC 中，∠C ＝Rt ∠，BC ＝4，AB ＝5，则tanB ＝

2、河堤横断面如图，堤高BC=5m ，迎水斜坡AB 的坡比为1：2，那么斜坡AB 的长为 m.

3．Rt ⊿ABC 中，?=∠90C ， AB = 6，2

sin =A ，则BC = __________ 4。已知：如图在△ABC 中，∠A=300

，tanB=3

，BC=10，则AB 的长为_________。

5．如图，在△ABC 中，∠ACB=900

，BC=4，AC=5，CD ⊥AB ，则sin ∠ACD 的值是________,tan ∠BCD 的值是____________.

6．在数学活动课上，老师带领学生去测量河两岸A 、B 两处之间的距离，

先从A 处出发与AB 方向，向前走了10米到处，在C 处测得∠ACB=600

，（如图所示），那么A ，B 之间的距离约为米（计算结果到米）.

7．测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为30°．在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm ，则山顶P 的海拔高度为_______m

（取

1.732）．

8 立达中学升国旗时，余露同学站在离旗杆底部12m 处行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为45°，若他的双眼离地面1.3m ，则旗杆高度为 m.

9、在Rt △ABC 中，∠C=90°AB=13㎝，BC=5㎝，则sinB 的值是( ) Ａ．

5 B.

12 C.

5 D.

12 10、如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cos α的值等于（） A 、

21 B 、22 C 、2

3 D 、1 11. 在△ABC 中，∠C ＝90O

，如果cosA ＝

，那么sinB 的值是 A. 54 B. 53 C. 43 D. 3

12. 已知α为锐角，且1

(90)2

cos α-= ，则α的度数是

A C

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

13.如图，?ABC 中，∠=?C 90，BC AB ==23，，则下列结论中正确的是（） A. sin A =

3 B . cos A =23 C. sin A =23D. tanA=

14．在Rt △ABC 中，∠C 是直角，各边的长度都分别扩大2倍，那么∠A 的三角函数值（）

A 没有变化

B 分别扩大2倍

D 不能确定

15．已知， AB 为一建筑物，从地面C 点用测角仪测得A 的仰角为α，仪器高DC ＝b ，若BC ＝a ，则建筑物AB 的高度可表示为（）

A.AB=b+sin α

B.AB=b+αcos

a C.AB=b+a ﹒tan α D.AB=b+tan a

16. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=α，则tan α的值为（）（A ）

43 （B ）34 （C ）53 （D ）5

4 17、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，tanB=3，上底AD=10，梯形的高是6，

求(1)∠B 的度数；(2)下底BC 的值。(结果保留根号)

18.如图，已知测速站P 到公路L 的距离PO 为40米，一辆汽车在公路L 上行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用的时间为2秒，并测得∠APO=600

，∠BPO=300

，计算此车从A 到B 的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字），并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度。

A L

19．如图所示，某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线与水平面的夹角是30°，?此时塔在建筑物的墙上留下了高3?米的影子CD；而在春分日正午光线与地面的夹角是45°，此时塔尖A在地面上的影子E?与墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB 的高度（结果保留根号）

20、如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里到点B，测得该岛在北偏东30°，已知在该岛周围6海里有暗礁，问若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．

21、如图，在直角△OAB中，以O为原点，建立平面直角坐标系，A、B、

C的坐标分别是A（8，0）、B（0，6）、C（3，0），动点P从点O出发，沿

O→B→A的路线移动，到A点停止，从点O移动到点B的速度是每秒1

个单位，从点B移动到点A的速度是每秒2个单位，移动时间记为t秒。

（1）动点P在从O到B的移动过程中，设△ABC的面积为S1，试写出S1

与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；动点P在从B到A的移动

过程中，设△APC的面积为S2，试写出S2与t的数关系式，并指出自变量

t的取值范围；

（2）动点P在从点O到点B的移动过程中，当t为何值时，△APC为等腰

三角形？

（3）动点P从O点出发后，在从点B到点A的移动过程中，当t为何值时，

以点P、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？

初二上册数学知识点归纳

初二上册数学知识点归纳第一章勾股定理 1、探索勾股定理 ①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2 2、一定是直角三角形吗 ①如果三角形的三边长a b c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形一定是直角三角形 3、勾股定理的应用第二章实数 1、认识无理数 ①有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示 ②无理数：无限不循环小数 2、平方根 ①算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算数平方根 ②特别地，我们规定：0的算数平方根是0 ③平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根 ④一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根 ⑤正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作± ⑥开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数 3、立方根

①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫三次方根 ②每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数;0立方根是0；负数的立方根是负数。 ③开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数 4、估算 ①估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数 5、用计算机开平方 6、实数 ①实数：有理数和无理数的统称 ②实数也可以分为正实数、0、负实数 ③每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大 7、二次根式 ①含义：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数 ②=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0） ③最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式 ④化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式第三章位置与坐标 1、确定位置 ①在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据 2、平面直角坐标系 ①含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系

初一初二数学知识点总结

初一数学知识点总结第一册第一章有理数 1.1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数。以前学过的0以外的数叫做正数。数0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1. 2.1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。⑵同一根数轴，单位长度不能改变。一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。 1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。⑵两个负数，绝对值大的反而小。 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律：a＋b ＝b＋a 三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 a－b＝a＋(－b) 1.4有理数的乘除法 1.4.1有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。乘积是1的两个数互为倒数。几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 ab＝ba 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）c＝a（bc）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 a（b＋c）＝ab＋ac 数字与字母相乘的书写规：⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用“” ⑵数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写。⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。用字母x表示任意一个有理数，2与x的乘积记为2x，3与x的乘积记为3x，则式子2x＋3x是2x

初二数学知识点总结

苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一）一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边） 5 等边三角形的性质和判定等边三角形的三个内角都相等，都等于60度；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；推论：直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中，大角对大边，大边对大角。第二章勾股定理、平方根

一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋ b 2＝ c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半勾股定理和平方根勾股定理平方根立方根实数近似数、有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质开平方运算开立方运算定义、性质

初中数学知识点总结

初中数学知识点总结一、基本知识㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。幂的运算：AM+AN=A（M+N）（AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作

初二上册数学知识点汇总完整版!!!

初二上册数学知识点汇总完整版！！！初二数学上上册知识点第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念： 1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。 12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 13、公式与性质：（1）三角形的内角和：三角形的内角和为180°（2）三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（3）多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°（4）多边形的外角和：多边形的外角和为360°（5）多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。②边形共有条对角线。初二数学上上册知识点第十二章全等三角形

人教版七年级数学课本知识点归纳

第一章有理数（一）正负数 1．正数：大于0的数。 2．负数：小于0的数。 3．0即不是正数也不是负数。 4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。（二）有理数 1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π） 2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3．分数：正分数、负分数。（三）数轴 1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。） 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。（四）有理数的加减法 1．先定符号，再算绝对值。

2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3．加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4．加法结合律：（a+b）+ c = a +（b+ c ）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5． a?b = a +（?b）减去一个数，等于加这个数的相反数。（五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小） 1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。2．乘积是1的两个数互为倒数。 3．乘法交换律：ab= b a 4．乘法结合律：（ab）c = a （b c） 5．乘法分配律：a（b +c）= a b+ ac （六）有理数除法 1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。 2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。（七）乘方 1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作a n 。（乘方的结果叫幂，a 叫底数，n叫指数） 2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是

人教版初一数学知识点下册总结(最新整理)

初一数学（下）应知应会的知识点二元一次方程组 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是 1，这样的方程是二元一次方程.注意：一般说二元一次方程有无数个解. 2.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组. 3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）. 4.二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法；（3）注意：判断如何解简单是关键. ※5．一次方程组的应用：（1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难列易解”；（2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；（3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系. 一元一次不等式（组） 1．不等式：用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式. 2.不等式的基本性质：不等式的基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

不等式的基本性质 2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质 3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变. 3.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集. 4.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是＞0 或＜0 ，(a≠0). 5.一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质 3 的应用；注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点. 6.一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组；注意：＞0??或；＜0 ??或； 0 ?0 或0；?. 7.一元一次不等式组的解集与解法：所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集. 8.一元一次不等式组的解集的四种类型：设 a＞b

关于初中数学知识点总结5篇

关于初中数学知识点总结5篇初中数学基础知识：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。下面就是小编给大家带来的初中数学知识点总结，希望能帮助到大家! 初中数学知识点总结1 一、数与代数a、数与式：1、有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根： ①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。 ②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。立方根： ①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。实数： ①实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式整式： ①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和

初二数学上册知识点总结及练习、答案(八年级上册)

新人教版八年级上册数学知识点总结归纳 1 第十一章三角形第1页至第18页为八年级上册知识点总结归纳第十二章全等三角形第十三章轴对称第19页至第24页为八年级上册知识点练习题第十四章整式乘法和因式分解第十五章分式第25页为练习题答案第十一章三角形 1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积= 2 1 ×底×高多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。分类2：非正多边形： 1、边形的内角和等于180°（n-2）。多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n 边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）

初一初二数学知识点

第一章 1.1 正数与负数在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数(negative number)。与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数(positive number)（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）。 1.2 有理数正整数、0、负整数统称整数(integer)，正分数和负分数统称分数(fraction)。整数和分数统称有理数(rational number)。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴(number axis)。数轴三要素：原点、正方向、单位长度。在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

乘积是1的两个数互为倒数。有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。mì 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂（power）。在a的n次方中，a叫做底数(base number)，n叫做指数（exponent）。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科学计数法。从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字(significant digit)。第二章一元一次方程 2.1 从算式到方程方程是含有未知数的等式。方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解(solution)。等式的性质： 1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 2.2 从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论（1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。第三章图形认识初步 3.1 多姿多彩的图形几何体也简称体(solid)。包围着体的是面（surface）。

初中八年级数学知识点总结

八年级数学（上）知识点人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。第十一章三角形一．知识框架二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

人教版初二数学上册知识点归纳

人教版初二数学上册因式分解 1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化 ? 2?因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3?公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幕 . 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4 ?因式分解的公式： (1) 平方差公式：a2-b2= (a+ b ) (a- b ); ⑵完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5?因式分解的注意事项： (1) 选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字; (2) 使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； (3) 因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； (4) 因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； (5) 因式分解的最后结果要求加以整理； (6) 因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式 . 6 ?因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理；(2 )提负号; (3)全变号；(4)换元；(5)配方；(6)把相同的式子看作整体；(7)灵活分组；(8)提取分数系数；(9)展开部分括号或全部括号；(10)拆项或补项. 7?完全平方式：能化为(m+n ) 2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式 x2+px+q , 有“ x2+px+q 是完全平方式二 2 ” . 分式 A 1 ?分式：一般地，用 A 、B 表示两个整式，A - B 就可以表示为B 的形式，如 A 果B 中含有字母，式子B 叫做分式. 3. 对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 有理式 2.有理式：整式与分式统称有理式；即整式分式

人教版初中七年级上数学知识点总结

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q 为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ①负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：)0a (a )0a (0) 0a (a a 或)0a (a ) 0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；

5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a ≠0，那么a 的倒数是a 1 ；若ab=1 a 、b 互为倒数；若ab=-1 a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或(a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正

初中初一初二数学知识点汇总情况

第一单元数与式第1节实数的性质及运算 1、有理数：可以写成分数形式的数叫做有理数。包括整数（1）和分数（1/2），也可以说是有限小数（1、0.5）和无限循环小数（3/10也就是0.333333…）。 2、有理数运算：加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（绝对值是指数a在数轴上到原点的距离，所以绝对值没有负数，只有正数和0）1+1=2 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个两个数相加为0。（相反数：相加为0的两个数互为相反数，0的相反数是0。相加为0也是互为相反数的性质。若a、b互为相反数，则a+b=0，a/b=-1.互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。）-1+2=1 -1+1=0 （3）一个数同0相加仍得这个数。（4）加法交换律：两个数相加交换加数的位置和不变。a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。（a+b）+c=a+(b+c) 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。负负得正1-（-1）=2 乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数和0相乘都等于0。（3）倒数：乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数还是1，0没有倒数。+ 例：若a+2与-0.5互为相反数，求a的倒数。————————-2/3 （4）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）c=a（bc）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于这个数分别与两个数相乘，再把积相加。a（b+c）=ab+ac 除法法则：除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数。0除以任何不为0的数都得0。同号得正异号得负。0不可以作为除数，也就是0不可以作分母。 3、有理数的乘方：求n个相同数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a ?中，a 叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数幂都是0. 4、综合运算法则：（1）先乘方，再乘除，后加减。（2）同级运算，从左到右进行。（3）如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 5、科学计数法：把一个大于10的数表示成a·10 ?（其中a整数位只有一位的数，n是正整数）的形式，使用的是科学计数法。例：230000=2.3×105 6、近似数问题：以圆周率π为例，精确到十分位/0.1为3.1，精确到百分位/0.01为3.14….. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

初二数学下知识点

张铭乾 2011-1-16 初二下数学知识点回顾分式知识要点 1．分式的有关概念设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子 B A 就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质 ,M B M A B A ??= M B M A B A ÷÷= （M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)； ;;bc ad c d b a d c b a b d ac d c b a =? =÷=? .)(n n n b a b a = 4．零指数)0(10 ≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1 为正整数p a a a p p ≠= - 注意正整数幂的运算性质 n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(, 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数． 6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去． 7、列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。 1. (-5)0 =_____； 2. 3-2 =________；3. 当x_________时，分式 1x+1 有

初二数学知识点归纳

初二数学应知应会知识点第一章一次函数 1 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像 2 一次函数和正比例函数,包括他们的表达式、增减性、图像 3 从函数的观点看方程、方程组和不等式第二章数据的描述 1 了解几种常见的统计图表:条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图,了解各种图表的特点条形图特点: (1)能够显示出每组中的具体数据; (2)易于比较数据间的差别扇形图的特点: (1)用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比; (2)易于显示每组数据相对与总数的大小折线图的特点; 易于显示数据的变化趋势直方图的特点:

(1)能够显示各组频数分布的情况; (2)易于显示各组之间频数的差别 2 会用各种统计图表示出一些实际的问题第三章全等三角形 1 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边、对应角相等 2 全等三角形的判定边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的HL定理 3 角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等; 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。第四章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线;

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角) 1 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一) 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边) 5 等边三角形的性质和判定等边三角形的三个内角都相等,都等于60度; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形; 推论: 直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中,大角对大边,大边对大角。

新人教版八年级数学上册知识点总结归纳

新人教版八年级上册数学知识点总结归纳 1 第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章轴对称第十四章整式乘法和因式分解第十五章分式第十一章三角形

1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积=2 1 ×底×高多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。分类2：多边形非正多边形： 1、n 边形的内角和等于180°（n-2）。多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。