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初中数学中存在的问题、原因与对策

数学教学中存在的问题、原因与对策

【摘要】初中教学是教育教学中的一个重要的过渡点，且在中学生所学科目中占据着很大的分量，随着我国教育改革的不断实施，在初中数学教学中取得了一些显著的成果。然而，伴随着改革的过程中也在不断的出现着一些新的问题，因此就从初中数学教学中存在的问题出发，分析其存在的原因并提出相应的可供解决初中数学教学问题的对策。

【关键词】初中数学教学；教学对策

随着基础教育课程改革的不断深入，有效率的教学已成为当前课程改革在课堂教学层面上需要突破的难题。有效率的教学1，既能考验教师的专业程度，又能使学生得到发展。目前教育改革之下对新课标2的基本要求是让所有学生都能获得良好的数学教育，且让不同的学生在数学上得到异样的发展，教导学生对数学有正确的认识，教会学生必备的基础知识和基本技能，培养学生抽象思维和逻辑推理的能力，培养学生的实践创新能力，促使学生各个方面都得到发展。然而，目前从我国中小学数学课堂教学情况来看，大多数课堂教学与新课标的基本要求相距很远，教师的主导性和学生的主体性没有得到恰到好处的落实，反而出现情形严重的应试教育，为了提高升学率而不顾学生个体需要的发展，整个课堂教学的过程中学生的参与度很低，全程都是以教师为中心，这种只注重结果而不重视过程的情况屡见不鲜。为适应新课程改革的需要，需要对初中数学课堂教学提出一些新的应对策略，来提高教师的教学能力，并增强

1 有效教学，就是符合时代和个体积极价值建构的前提下其效率在一定时空内不低于平均水准的教学.

2 新课标，就是新课程标准，它是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求。

学生学习的信心和热情。

一、初中数学教学过程中存在的问题

随着新课程改革的不断推进，初中数学课堂确实发生了很多的变化。但是仍还有很多问题存在，通过仔细分析初中数学课堂教学的各个部分，归纳总结出以下几方面的问题：

（一）教师的教学思想陈旧老套

首先，教育的价值观念有偏差。多年来，许多教师都有一种扭曲的价值观念，那就是我教的学生，只要学生能考出好的分数，就是教好了，并自认为教的很完美、很舒心．但正是由于这种观念的存在，教学中大搞补课，大量做练习题，结果却差强人意，扭曲了教育的价值观。其次，初中数学教师只注重对知识的传授，却忽视了对学生能力的培养。教师课堂上只注重对课本知识的传授，根本不会理睬数学中的文化传统教育，数学的审美鉴赏等作用。很多教师都是急忙讲完课本例题，然后趁热打铁的就让学生按照例题的方法去做练习，这种教学方式跳跃性很大，学生不能接受，这种方法长此下去还会消除学生的学习积极性。采用这种方法的主要弊端是，教师在教学中不能考虑到所有学生，即使部分学生有自己的想法和见解，由于某些原因不能得到老师的评说，老师只是全身心的投入到教案施教的过程当中，没有时间去倾听学生的想法，学生的创新思维得不到锻炼。比如，数学课堂上老师讲完题，学生提问说：这种方法我有些含糊，你看我的这种做法行吗？老师答：不要钻空子，仔细理解我讲的就可以了。

（二）教学方式传统单一，学生上课积极性不高

良好的素质教育应该做到让学生的能力培养、身心健康、德智体都得到全面的发展。然而，就目前而言，初中教学中尤其是数学中并未实现这一点。教师的教学方法仍旧是老套单一的教学模式，教师深受传统教学观念引导，没能正确的认识到自身在数学课堂教学

中扮演的角色。很多教师只注重结论，不注重过程。比如讲平面几何的面积时就告诉学生面积公式，而不讲公式的缘由；见到直角三角形就直接使用勾股定理等等。这样长此下去学生只是学会了死记硬背的本领，成了应付考试的工具。还有很多教师喜欢主宰课堂，他们不去主动适应学生，而是逼着学生去适应他们的教学方法。更有老师懒得钻研多种教法，总用一种教法应付了一批又一批学生，还自认为能够适应自己的教学方法的学生就是好学生，不能适应的就是差学生，他们很少去反思并探究能够适应现代学生的新的教学方法。很多教师还表现出为师独尊的行为。他们认为老师要比学生尊贵，不把学生看成和自己平等的对象。当学生在学习过程中遇到困难时，不去耐心的指导与鼓励，有时还会挖苦嘲讽，挫伤了学生自尊心。还有教师不承认学生个体之间是有差异的。每次考完试后，经常听有些老师说试卷中的题都是讲过好几遍的，课堂上让学生都学会了，可试卷上还是做错了。他们没有意识到教师与学生在认识上的差异，没有意识到学生之间的差异，没有意识到学习与知识再现的差异，认为没有必要进行纠正和反馈。这些因素导致学生缺乏学习积极性，对课堂教学的参与更是少之又少。

（三）教师对教材和内容的掌控的不够到位

新课改3的落实和实施就是要把新的创新思想融入到教学当中。这就需要一批具有新思想和创新性的教育教学模式的教师作为支撑。然而，由于学历有限，一些初中数学教学老师全然不能对数学这门学科有一个正确的认识和了解，不能委托这样的重任。因而，在一定程度上，阻碍着初中数学教学改革朝着好的方向发展。同时，在不了解新课改的教学任务和教学内容的情况下，对教材和教学内容的把握并不到位，不能对各种教学手段和方法进行信手拈来的使用，老师的教学就会距离的新课改的要求越来越远，进而脱离教学目标。

3 新课改就是新一轮基础教育改革的简称，建国以后课改已有过好多次. 上世纪末，中共中央、国务院提

出要“深化教育改革，全面推进素质教育”，新课改的目的就是要在21世纪构建起符合素质教育要求的基

础教育课程体系.

这一现象对数学课程教学改革造成一定的阻碍。

（四）缺乏现代化的教学设备

随着科技日新月异的飞速发展，各个领域都感受到了新科技新技术带来的好处。但是对初中数学课程的改革上，有些地方受传统教育思想的洗礼，给某些学校没有配备良好的的现代化教育设施。教师上课仍然只能通过黑板来传授教学内容，由于教学内容受到黑板的限制，只能限制在课本教学内容中，学生不能有条有理的理清学习内容。教师在讲述一些比较有抽象性的数学知识时不能带动学生的积极性，更不能有效的地激发学生好奇心和求知欲。

二、初中数学教学中存在问题的原因分析

（一）客观原因

1.国家对教育的投入不足。

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》（公开征求意见稿）中明确，提高国家财政性教育经费支出占国内生产总值比例，2012年达到4%。但是现在世界教育平均水平又在提升，故而当我们真的达到了4%的时候，我们的教育投入在全世界还是远低于发展中国家的平均水平的，而我国诸多教育中的问题都是由对教育的投入不足带来的。此外，我国的教育经费侧重于高校，中小学教育中虽有些许投入，却都又偏重于对实验小学、重点中学和示范性高中的投入。这些都是破坏公平性原则的。情况不止这些，还有为了响应教育部创建“国家级示范性高中”的号召，很多完整性的中学都采取了停办初中部的方法，因为按照评价原则，很多原有的优质完全中学在办学规模和条件上，都无法达到标准，因此，只能舍弃部分教育资源，集中精力创办好优质高中，扩大优质高中规模以满足社会对优质高中的学生需求。但是，这样做，虽然大力的增加了高中生的毕业人数，却又导致了初中学校的发展不平衡。初中教育经费短缺且教育投入不足，特别是在高等教育普遍快速发展

的潮流下，许多地方把有限的经费大都投入到对高中生的教育上，而初中教育的设备却是少之又少，却之又缺。

2.现今教育教学方式的不足。

如今许多中学为了推进素质教育4而提倡实用组团讨论式的教学方式。但是，在考试的压力之下，仍把应试教育放在第一位。很多中学虽然表面上在实用这一种教学方法，但实际上也是做做样子摆了。在具体的教学压力下，原本有心想搞点教育创新的教师们，一次又一次的放弃了这个念想，投入到题海式的教学当中。有些年轻的数学骨干教师很想在教育教学上搞出点创新成果，但是实际的教学压力让他们力不从心，整天忙于准备好教材去上课，再加上时不时的开这会那会的，根本没有心境去研究一些其他的东西。还有一些年龄大点的教师，在长期的教育教学中有自已一套固有的传统教学模式，如果要求他们在短时间内改变教学方式是非常困难的。

3.教育评价制度5有些混乱。

如今，在新教改学习教学模式的实施过程中，如何评价其所带来的好处是一件很值得大家深思的问题。就现在来看，要想让学校领导对类似互动式的这种讨论学习的方法双手赞同是比较困难的，因为，站在一个学校的领导的地位来看，他们的目标就是不断的提高学生的成绩，而这种思想显然与我们新课改提倡的新方法是背道而驰的；站在学生家长的角度来看，只要能够让他们的孩子考上满意的高中，不论学校采取什么样的教学方法都是无关紧要的；此外，站在社会人士的角度上，尽管有不少人对对这些新的教学方法表示赞同，但是一到评论一所中学的好坏时，依然是看这所中学能考上多少个重点高中。这种带有功力性的评价方式，难免会使一些好的

4 素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目标的教育模式. 它注重人的思想道德素质、能力培养、个性发展、身体健康和心理健康教育.

5 素质教育评价制度：为了提高素质教育评价的合理性程度，保证教育评价的严肃性、连续性、权威性、时效性，充分发挥素质教育评价的职能，需要把素质教育评价实践中切实可行的经验、做法加以总结、提炼，使之稳定化、常规化、制度化，形成教育评价制度，成为人们在教育评价活动中必须遵守的具有法律效力的办事规程或行动准则.

教育教学思想不被认同，更无法在实际教学中提上日程，因为一个学校从传统教学到这种新的交流式的教学的变化它本质上就是教学的一种改革，但在评盼这种制度的优越性时，总是使用传统的评价方式，拿学生的考试分数来衡量一切。由于这些评判，无论怎样改革都是行不通的，因为改革本身就是要我们采取新方法，并认可新方法。如果不能，相反，强行添加的一些教育教学方式可能还会对常规教学带来一些不好的影响，不仅影响学生取得高分，还会因追求一些其他的身心发展而影响学生的成绩。正是因为这一系列的因素，有些学校就害怕改革，甚至抵触改革。

（二）主观原因

1.学生不愿意讨论交流学习。

在我国，很多学生都是从小就被父母宠爱，导致很多学生都变得有些自私，凡事是只顾自己，而不管他人的想法，于是在交流式的课题讨论学习中就会各说各的观点，不会去倾听他人的观点，而只会关心自己想要表达的意见；并且，由于学生本身的知识基础和心理素质有差异，部分学生就会出现交流问题，基础好的学生竞争求胜的意识会强一些，而基础薄弱点的学生往往会缺乏主动性，他们比较喜欢自己琢磨，不善于发表自己的想法，没有合作意识，还有一些学习落后点的学生，由于基础知识不牢固，学习主动性不强，也不善于表达，并且总是抱着偷懒的思想，常常以旁观者的身份自居。究其原因，还是学生缺乏合作意识，由于同学之间缺乏信任和依赖，因此讨论式的交流学习很难建立起来。

2.学生不太会讨论学习。

学生不会讨论学习的原因总的来说有两方面，一是因为学生没有具备良好的团队意识和合作方法，很多学生可能都已经习惯了小学的那种传统式的教学方式，导致进入初中后，，虽然有不少的学生对合作学习抱有非常深厚的兴致和热烈的激情，但一到实际展开时，

就变成一群无头苍幡一样，不知道该从哪里入手，结局往往是带着激昂而来，导致进入初中后对交流式的合作学习不能适应。二是因为在进行交流式的学习之前，对学生没有进行适当的训练，使得他们对合作学习领悟不深，使得当学生人数多一点时不知所措，导致混乱的局面发生。

3.班级学习风气不太好。

个人学习的好坏还与班级的学习氛围有很大的联系。所以，班级内的学习气氛是否浓厚，同学之间是否能够互帮互助、互相交流学习，班集内部是否具有积极向上的学习坏境，对学生个体的学习有很大的影响。所以一个班的学习风气是最重要的，因为学习风气直接会影响到一个班级里的每个人，如果班级没有浓厚的学习氛围，没有互相帮助的学习风气，没有良好的同学关系，没有浓密的研讨学习风气，则想要提高学生的学习成绩是比较困难的，同学之间不能很好的交流讨论学习，对新课改在课堂教学中的实施就会起到负面的影响。

4.对教学情境化的置办太过火。

设置教学情境是一种特殊的教学环境，是为了促进学生的学习而特意创设的教学景象。但是，部分教师过分采取教学情境化的授课方式，更是为了创设情境而不着边际的胡乱创造，使得初中数学课堂教学出现实际生活的情况，致使部分教学情境起到了一些负面作用，影响了学生的学习。

5.提倡自主学习6，使得教师讲解没有得到重视。

自主学习是一种新型的学习方式，对于提高学生自主学习能力有很大的帮助，但是自主学习必须建立在学生会学、能学等的基础上，因此，自主学习在教师的指导下学习。但是，在现实教学过程中，很多教师对自主学习理解的不够到位，使得一些初中生在数学课堂6 自主学习：它是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式.以学生作为学习的主体，学生自己做主，

不受别人支配，不受外界干扰. 通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知

识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式.

上不敢发表自己的看法，老觉得自己自主学习做的不够好，这种情况严重时会很大的影响到的讲课效果。

6.过分追求现代化的教学方式。

在现在的评优课和培训课等开放性的课堂上，采用现代化的教学手段貌似就代表着教学观念的先进，这就使得很多教师在制作课件上大做文章，但其结果却不容乐观。有的课件只是把课本上的知识原样抄在上面，只是充当了小黑板的作用却没有其他的意义; 有的教师为了展示自己精心设置的课件，把本该由学生动手完成的内容也设置在了上面，结果让学生失去了动手实践的机会成为旁观者; 有的教师在实用多媒体教学设备后，不再实用黑板来给学生一些其他讲解来补充不足，使得学生对整个课程的内容掌握很少; 有的教师对计算机了解的不是很透彻，使得初中数学教学过程中出现了很多欠缺之处。

7.对教学目标把握的不够准确。

在实际教学过程中，有些教师对教学目标不够了解，对教学要求不太明确，没有详细的琢磨教学目标，单靠自己以前的教学经验来衡量自己的教学方法，使得教学效果不太理想。不仅如此，全部照搬教材内容教课或彻彻底底的脱离教材授课的教师大有人在，这些情况都不能很好的培养学生的整体素质，不仅对学生的以后发展有影响还会阻碍初中数学教学质量的提高。

三、解决初中数学教学中存在问题的策略

（一）对学生的基本情况进行深入了解

教师如果想要创建比较科学的教学方法，首先就应该融入到学生中去，对学生的基本情况进行深入的调查研究，对每个学生的数学学习情况还有他们的兴趣爱好以及家庭情况都进行深入的了解，做到和学生快速熟悉起来，这样教师对学生的认识才会更加全面，这样不但能构建良好的师生关系，而且有助于营造良好班级学习氛围，

从而加强学生之间互帮互助，刻苦钻研的品质，进而使学生的各个方面都能得到很好的锻炼。因此，教师在了解每位学生之前，建议每个学生写一份详细的自我介绍，其中包括自己的学习情况、学习困惑、兴趣爱好以及家庭情况和需要加强的地方等等。这样能方便教师快速了解学生，一段时间后，教师还可以设置一些家庭访问活动以便对学生的情况作更加详细的了解。然而，要做到这些，工作量会有些大，但为了以后能够顺利地学习，这样做却是很必要的，尤其对班主任来说是很更必要的。

（二）加强理论学习、更新教育观念、提高创新意识

在当今新课改的潮流之下，教师必须加强理论学习，重新学习数学教学理论和一些教育学以及心理学等一些基础教育理论，要不断加强自己对专业知识及其他一些教育理论的精湛学习；在教学方法上，要从实际出发，创造出更加能够培养学生的新方法，做到不断创新，不断改进，认真研究新情况，争取把学习和教学融为一体。要达到以上目标，首先需要做到以下几点。第一，要更新教学观念。观念更新是教育改革的前奏工作，在教学中要更加重视教学过程，多反思一些教学细节上的问题；新世纪的数学教学过程就应该是在老师指引下让学生重新发现问题、思考问题以及如何思考问题和该怎样来思考问题等一系列过程，而作为初中数学老师，就需要准确、具体的把这一系列过程都展示给学生，让学生目的明确的沿着老师的思路走；二是要学会及时总结反馈并及时反思错误。因为不会总结反馈的教学是失败的教学，因为他的整个讲授过程是肓目的，是不符合实际的。三是要有创新意识。要做到创新首先要明确三种意识。首先，要有课标意识。在教学中应该熟透课标要求，即对学生所要掌握的知识与技能的要求，对教师的教课过程与讲课所使用的方法的要求，对学生所要具备的学习情感、学习态度以及价值观的要求。其次要有目标意识。教师需要对每节课都要有具体的目标，

包括对学生的认知目标和自己所能实现的目标。最后，教师要有学生的参与意识。教师在每节课程当中，都应该让学生积极参与到教学当中，让他们积极发表自己的想法，积极探讨问题，鼓励所有学生得能参与到讨论当中，真正体现他们在教学中的主体地位。如此，才能从根基消除以上存在的问题，推动教育从好的方向发展。

（三）要学会熟练运用现代化的教学方法7

实用现代化教学方法，有以下几大优势。第一，通过现代化的教育设备能够高效地增大每一课时的授课量。第二，通过实用课件等现代化教育设备还能减少教师在板书上的一些工作量，特别是一些文字量很大的应用题，如果能通过课件等多媒体设备进行展示的话，就能够让教师有精力的去精讲每一道题，提升讲解效率。第三，使用现代化的教育设备的直观性很好，特别是对一些几何图形，可以动态的进行展示，类似平移、旋转，如果将他们动态的展示出来，这样就会很容易吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，带动全班的学习氛围，能够很有效的带动学生的学习主动性。第四。实用这些教学设备能够能好的对整节课的学习重难点进行展示并总结和巩固，加强学生的记忆。

（四）要以学生为主体，教师为主导来进行授课

学生才是学习的主体，教师的一切教学活动必须围绕着学生来进行，才能调动学生的学习积极性，在整个教学过程中，从头至尾都要以学生为主体，教师要领导学生去主动学习，让他们有充足的时间去产生问题，思考问题，解决问题。这样他们才能清楚的感受到问题的产生和解决问题所带来的喜悦感。所以教师毎讲一个知识点时，就要让让学生展开充分的讨论；每讲一个例题后，就要让学生做相应的练习，可以让一些基础中等的学生到黑板上做题。对于一些基础薄弱一点的学生，可以对他们多设置一些问题来进行提问，

7 现代化的教育方法是指运用电视、电脑、投影等现代化教学媒体，通过对教与学过程和教与学资源的设计、利用和管理，以实现教学优化的目的.

让每个学生都有尽可能多一点的锻炼机会。此外，教师要根据学生的表现，不断进行鼓励，培养他们的对数学学习的自信心，让他们从心底里热爱数、喜欢学习数学。

总之，课堂是教师一生的舞台，如何让自己在这个舞台上发光发亮，这是值得所有教师需要反复探索的难题。只要学生爱学、会学、能学并且收获很多，这才是教师价值体现的最好证明。

参考文献

[1] 金文勇.初中数学课程教学改革中的问题与对策分析[J].现代阅读(教育版).2014年第

1期:216-217

[2] 王雷.初中数学课程教学改革中的问题与对策分析[J].数理化解题研究.2015年第20 期:164-166

[3] 唐惠斌.课堂提问的原则和技巧探索,中学数学教学参考，1998(5).

[4] 蒋伯孟.一堂节外生枝的数学课——由一道习题引发的思考，中学数学教学参考，2007（6）.

[5] 关文信.新课程理念与初中课堂教学行动策略，北京：中国人事出版社，2003.

[6] 赵振生.新课程背景下初中数学教学的有效性探析[J].现代阅读:教育版.2011(23).

[7] 韩跃钦.新课程理念下的数学应用题教学[J].新课程研究(基础教育)，2010(8).

[8] 车丽华.初中数学教学中小组合作学习存在的问题和解决对策[D].辽宁师范大学，2011．

[9] 张源.初中数学教学中结课的问题与对策研究[D].西南大学，2009．

初中数学典型错题分析报告.docx

初中数学解答错典型例题分析与反思杨青春众所周知，初中学生的心理正从依赖向独立过度，因此这正是培养学生自信心和自我调节能力的时机。在新课程教学的要求下，数学教学变得更加强调学生的自主学习和自主探究。因此，在这个过程中，出现认知上的偏差也是正常的。作为教师，就应该深刻认识到这个时期的学生的心理特征以及从提高学生数学素质的根本点出发，对学生出现的错题进行深刻分析和反思。相信这样的一个分析和反思，是可以成为学生以后学习的积极动力的。在下面的文章中，将具体从初中一些数学典型错题进行分析与反思。（一）解答错典型题——几何证明题初中数学涉及到几何证明的问题。对于几何，很多学生都会感到比较困扰。因此，在初中几何数学的教学中，教师应该针对学生的特点，找出适合学生的教学方法。【典型解答错例题】在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD ，连接 BF ；如图所示：（1 ）求证 BD=CD ；（2 ）AB=AC ，试判断四边形 AFBD 的形状。【错解】（ 1）证明：∵ AF//BC ∴∠ AFE= ∠DCE 又∵∠AFE= ∠ CED ∵E 是 AD 的中点

∴AE=DE ∴△ AEF ≌△ CED ∴AF=CD 又∵ AF=BD ∴BD=CD （2 ）四边形 AFBD 是平行四边形证明：∵ AF//BC即AF//BD 又∵ AF=BD ∴四边形 AFBD 是平行四边形【错误原因】题目主要考查的是几何图形边相等的证明以及判断图形形状。错解的答案中（ 2）的结论是错误的。从边平行和对应边相等推出图形是平行四边形是正确的，可是题目中还给出了△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，还给出如果 AB=AC 这一条件，学生在完成这一题时忽视了给的如果这一已知条件，考虑和分析问题不全面。【正解】四边形 AFBD 是矩形证明：∵ AF//BC即AF//BD 又∵ AF=BD ∴四边形 AFBD 是平行四边形又∵ AB=AC ∴△ ABC 是等腰三角形又∵ BD=CD 即 D 是 BC 的中点 ∴AD 是 BC 边上的高

初中数学圆的全部详细公式

1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

初三数学学习常见问题及解决方法

2019届初三数学学习常见问题及解决方法一、基础知识不扎实。数学科目的很多知识仍然要求学生熟练记忆，而这往往是学生容易忽视的，认为没有必要记忆，多数学生的基础不扎实与这有很大关系。只有在这些基础都打得非常牢固的前提下，才能在数学学习上争取更大的提高。二、看题不清，审题不准。审题是做对题的基础和前提，一旦审错题，后面的工作就白做了，出力不讨好!所以一定要重视审题环节。建议：读题的过程要慢，不放过任何一个条件，任何一个字，要将重要的字眼做好标记!在平时的练习中就要有意识地培养这种习惯。但做题要快，争取用最少的时间得到更多的分数。三、考虑不周，漏解的现象较多。一般情况下，填空题中会有一个题目涉及到多解的情况，后面的大题中也会存在分类讨论的问题，所以要心中有数。凡是题目中涉及到点或者线段的运动，产生线段的相等(如等腰三角形、平行四边形)时，往往会出现两种甚至多种情况。四、抄错题的现象也很常见。有些学生在草稿纸上做的是对的，写在答题纸上就抄错了;有的学生在计算过程中，上一步是对的，到下一步就抄错了，结果连锁反映，一错到底。

建议：眼睛看准，做出了某一道题时不要太激动。考试时，最好内紧外松，控制心跳速度，始终以一种平和的心态面对考试。计算中要注意前后对照检查，及时发现问题;算出很复杂的结果时，更要引起注意，很可能是中间过程出错了，这时要自行检查。五、做综合题缺少思路和方法。这是很多学生存在的问题，遇到综合题就不知道怎么去分析，找不到切入点，只好说一句我不会。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这

初中数学圆的经典测试题及解析

初中数学圆的经典测试题及解析一、选择题 1．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（） A ．3cm B ．2cm C ．23cm D ．4cm 【答案】A 【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∵OB=OC ，OG ⊥BC ， ∴∠BOG=∠COG= 12 ∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG= 12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30 BG o =2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=， ∴圆形纸片的半径为3cm ，故选：A ．【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键． 2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=22，则?AB的长是（） A．πB．3 2 πC．2πD． 1 2 π 【答案】A 【解析】【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．【详解】连接OA、OB， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AB=BC=DC=AD， ∴???? AB BC CD DA ===， ∴∠AOB=1 4 ×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2， ∴?AB的长为902 180 π′ =π，故选A．【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C271为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）

盘点初二学生数学成绩下降的原因分析

盘点初二学生数学成绩下降的原因分析初二是一个两极分化加剧的年级，成绩跟不上的同学往往畏惧数学，容易丢失自信心，成绩继续下滑。初一没学好，还可跟上去经过一年的初中学习，有的同学能很快适应初中教学，通过努力，进步很大；有的同学不大适应，自信心下降，与其他同学拉大了差距。专家认为，有的同学简单地认为，初一年级数学没学好，就学不好初二数学，其实不然。即使以前没学好，但如果学好新知识，依然能运用这些知识完成相关习题。他说，在学习初二数学的同时，把以前的知识好好补一补，成绩一样可以赶上去。寻找分化原因，不可乱投医事实上，数学成绩“分化”有一个渐进的过程，每个学段都有不同的分化点，只是在初二特别明显。比如到初一下学期已经有了平面几何(相交线与平行线、三角形两章)、解析几何(平面直角坐标系的初步知识)的内容，对于部分逻辑思维能力和空间想象能力较弱的同学，学习这部分就会感到吃力，但此时的成绩可能不会有明显的退步，因为积累的问题还不算多。但到了初二“画一次函数的图像、分析图像的特性与函数解析式之间的关系”时，前面在“平面直角坐标系”中留下的隐患就暴露无遗，一个又一个问题令学生茫然不知所措，成绩会明显下滑。“若了解成绩下滑的原因和起点，补上平面

直角系相关知识，学习函数中的问题就会轻松得多。”蔡明智说，一些家长和同学认识不到这一点，盲目到校外培优班“补习”，却不从根本上寻找原因，导致学习分化越来越严重。以勤补拙，提高数学成绩蔡明智认为，初二年级部分学生数学成绩滑坡，可能有两种因素：智力和非智力因素。智力因素包括感知、接受能力，大脑的记忆、识别、重现能力和思维的理解、归纳、综合运用等方面的能力；非智力因素包括学习习惯的养成、环境的干扰和影响等等。他说，如果是“智力因素”，建议这些学生以勤补拙，博闻则强知，熟能后生巧；若是非智力因素造成成绩下滑，则应及时改正，养成良好的学习习惯。具体来讲，包括以下内容：记忆习惯。对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。预习习惯。在预习中发现问题，带着问题进课堂。适应老师的习惯。学会适应老师，长大了就比较容易适应社会，不会稍不如意就埋怨环境。准备错题集的习惯。每次考试之后整理错题，找到可以接受的同类型题、同等程度的知识点研究一下，再把同类型攻下来。

初中数学数学思想及常见的解题方法

初中数学数学思想及常见的解题方法一、数学思想数学思想与方法是数学学习的灵魂，假如数学思想是战略的话，数学方法就是具体的战术，数学方法是在数学思想的指导下采取的具体的解题办法．如在“转化与化归”思想的指导下，采取加减消元法，将含有“两元”的方程组转化为含有“一元”的一元一次方程来解．常见的有四大数学思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合． 1.函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解．函数与方程有密切的关系，如一元一次函数b - +y ax； b = =，就可以看作关于x、y的二元方程0 ax y+ 二元方程0 b ax可以看成y是x的一次函数．可以说，函数的研究离不开+y - = 方程．列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想的体现． 2.转化与化归转化与化归是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；消元法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了转化与化归思想．如很多四边形的问题可以转化为三角形的问题来研究；研究两直线的位置关系可以转化为研究角的数量关系；如学完初一有理数的运算法则后，将几种运算法则综合起来去认识：减法、乘法是转化为加法来研究的，除法、乘方是转化为乘法来研究的．再如求不规则图形的面积可以将其分割或将其补充，转化为规则图形来求，等等． 3.分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想．引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的．如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况．（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的．如点与圆的位置关系可以分为三种情况．（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．如研究二次函数c + =2的图象的开口方向时，分a>0和a<0两种情况讨论； y+ ax bx 研究其图象与x轴的位置时，就△>0，△>0，△<0，△=0三种情况进行考虑．（4）解某些条件开放题时，需要根据条件的几种可能情况进行分类．如“过一个三角形一边上一点，做一条直线，将原三角形分为两部分，使截得的三角形与原三角形相似，共有几种办法”，这就需要就直线的位置进行分类，共有四种办法．再如证明圆周角定理时，就圆心在圆周角的内部、外部、边上三种情况进行证明等．进行分类讨论时，要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复． 4.数形结合初中数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如简单的几何图形、三角形、四边形、相似形、解直角三角形、圆等；一类是关于数形的结合，如数轴上的点和数之间的对应关系，再如锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的，等．

初中数学使用错题本的好处

错题本，我想大部分的学生应该听说过，但是真正用好的很少。那么错题本到底有用吗？错题本的好处有哪些？又该如何建立错题本，高效利用错题本呢？这些问题，在下面的文章中一一为大家解决。一、错题本有用吗？凡是问“错题本有用吗”的学生，要么是从没用过错题本，要么是用过错题本，但是没有感觉出来错题本的效果。在这里，本人可以很明确地告诉大家，错题本非常有用。如果能够利用好错题本的话，那么自己的成绩提升是很快的。通过“错题本”的使用，可以提高思路质量，更准确地把握知识点及概念点，极大地改善粗心的现象，迅速提高学习成绩。有一位江西的高考状元说得好：“做错一道题比做对一百道题更有价值。”用好错题本，你也可以决胜中考！全国名校衡水中学、临川一中、临淄二中的师生都重视使用错题本。二、错题本的好处 1.能够保证自己不犯同样的错误。知识可以分为两类，一类是自己已经掌握的，一类是自己还没有掌握的。已经掌握的，这一次做题会做，下一次做题还会做。而自己没有掌握的，这一次不会做，自己整理到错题本上了，反复地看了，弄懂了，那么下一次再做的时候就会了。这样的话，所有的知识都掌握了，这样的话成绩自然就没有问题了。 2.是考试复习的利器。每到考试之前，很多的学生比较盲目，不知道该干什么好。看课本吧，感觉课本上的东西都掌握了。但是一做题，该不会的题目还是不会做。大家都知道，复习要有针对性，复习那些自己还没有掌握的知识点。而错题本上都是自己之前没有掌握的知识点，所以用错题本去复习的话，更有针对性，所以学习效率当然也更高。三、怎样使用错题本 1.把学习过程中遇到的不会做的题、模棱两可似是而非的题、会做的却做错了的题收集起来，写在或粘在错题本上，记下时间、错解、错因、考察的知识点、正解，并记总结当时的反思与感悟，醒目备注“回望日期”。 2.在“回望日期”重做一遍此题，如果做对了就做好标记（打个√）；如果没做对，重复第一步；记录反思与感悟。在之后的两个月内，有意识地寻找相似题型进行对比，进行变式训练，强化知识。 3.与同学交换错题本进行学习，通过交流，同学们可以从别人的错误中吸取教训，得到启发，以此

初中数学.圆的概念及性质.教师版

中考内容中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题中考内容与要求圆的概念及性质

弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25 分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案

（专题精选）初中数学圆的易错题汇编及答案一、选择题 1．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的AOB ∠不一定．．．是直角的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】【分析】根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】解：选项A 中，做出了点A 关于直线BC 的对称点，则AOB ∠是直角. 选项B 中，AO 为BC 边上的高，则AOB ∠是直角. 选项D 中，AOB ∠是直径AB 作对的圆周角，故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关键． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（） A ．3 B ．36ππ C ．312π D ．48336ππ 【答案】C 【解析】【分析】易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．

【详解】连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==??=V ∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以C （﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C 上的一个动点，已知A （﹣1，0），B （1，0），连接PA ，PB ，则PA 2+PB 2的最小值是（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【答案】C 【解析】【分析】设点P （x ，y ），表示出PA 2+PB 2的值，从而转化为求OP 的最值，画出图形后可直观得出OP 的最值，代入求解即可．【详解】设P （x ，y ）， ∵PA 2＝（x +1）2+y 2，PB 2＝（x ﹣1）2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2x 2+2y 2+2＝2（x 2+y 2）+2， ∵OP 2＝x 2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2OP 2+2，当点P 处于OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，

初中学生数学习题错误原因及对策

初中学生数学习题错误原因及对策海盐博才实验学校郭瑞华王生飞摘要：作业错误在教学中是种普遍现象。错误的出现与学生的学业水平之间没有明显的关系，无论是学困生还是优等生，作业都或多或少存在这样那样的错误。所以我们对待学生的作业错误，首先要理解、宽容学生的错误，同时要重视错误，剖析产生错误的过程，教学中作出调控和修正。本文试图从合理利用学生习题错误资源；开发典型错题，减少盲目解题出现的错误；引导学生反思、归纳、提炼，提升学生的数学思维品质及解题能力等方面作为切入点，让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法；同时从课堂教学出发，改进教学方法，从错误作业中领略成功，实现轻负高质的目标。关键词：错误习题成因与对策美国著名数学教育家波利亚说过，“掌握数学就意味着要善于解题”。解数学问题是学习、研究、应用数学的重要环节与基本途径。在数学心理学中，思维被看成是解题活动，虽然思维并非总等同于解题过程，但数学思维形成的最有效的方法是通过解题来实现的。作业是课堂教学的延伸，是对教学结果的检验、巩固，也是数学知识转化为技能，培养学生思维品质的重要途径，错误作业是反映学生掌握数学知识的程度，衡量教师课堂教学的方式方法是否恰当的尺度，它是教师可贵的教学资源。作业错误在数学教学中是普遍的现象。错误的出现与学生的学业水平之间没有明显的关系，无论是学困生还是优等生，作业都或多或少存在这样那样的错误。所以我们对待学生的作业错误，首先要理解、宽容学生的错误，同时要重视错误，剖析产生错误的过程，作出调控和修正，进行拓展运用。学生作业中存在错误，原因可能是多方面的，有教师教学方法欠佳而没有引起学生高度重视，有引导学生挖掘知识内涵不够深刻，或题目确实难度较高，学生难以理解或理解错误。在数学教学中，如何利用错误作业这可贵的教学资源，本文从以下几个方面加以阐述。一、知识性错误及对策 1、知识性错误的概念知识性错误是指对概念及性质的认识模糊不清导致的错误；忽视公式，定理，法则的使用条件而导致的错误；忽视隐含条件导致错误；遗漏或随意添加条件导致的错误。

数学初一错题本含答案

1.根据等式的性质，下列变形正确的是() A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则【答案】D 【解析】解：A、在等式的两边同时除以，等式仍成立，即．故本选项错误； B、在等式的两边同时乘以，等式仍成立，即．故本选项错误； C、当时，不一定成立，故本选项错误； D、在等式的两边同时乘以，等式仍成立，即，故本选项正确；故选：D． 2.在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①，图②，已知大长方形的长为，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是()(用的代数式表示) A 、 B、 C、 D、【答案】C 【解析】解：设图③中小长方形的长为，宽为，大长方形的宽为，根据题意得：，即，图①中阴影部分的周长为，图②中阴影部分的周长，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长之差为．故选C． 3.减去后，等于的代数式是() A、 B、 C、 D、【答案】A 【解析】 4.下列关于单项式的说法中，正确的是() A、系数是，次数是 B、系数是，次数是 C、系数是，次数是 D、系数是，次数是【答案】D 【解析】解：根据单项式系数、次数的定义可知，单项式的系数是，次数是．故选D． 5.有下列说法：①每一个正数都有两个立方根；②零的平方根等于零的算术平方根；③没有平方根的数也没有立方根；④有理数中绝对值最小的数是零. 正确的个数是() A、 B、 C、 D、【答案】B

【解析】(1)根据立方根的性质，每一个正数都有一个立方根，故说法错误； (2)根据平方根的定义，零的平方根等于零的算术平方根，故说法正确； (3)根据平方根、立方根的定义，没有平方根的数也有立方根，故说法错误； (4)根据绝对值的定义，有理数中绝对值最小的数是零，故说法正确. 故(2)和(4)正确，共个. 故选B ． 6.下列各式：，，，，，，，中单项式的个数有() A、个 B、个 C、个 D、个【答案】C 【解析】下列各式: ，，，，，，，中单项式有，，共个. 故选C． 7.若，，则的值为() A、 B、 C、或 D、或【答案】D 【解析】解：因为，，所以，，则的值为或故选D． 8.在下列实数中：，，，，，…无理数有() A、个 B、个 C、个 D、个【答案】B 【解析】解：，…是无理数，故选B． 9.已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简：．【答案】见解析【解析】解：由题意得：，且，则，，，则原式． 10.求下列各数的立方根. ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】见解析【解析】①；②；③；④；⑤；⑥ 11.下列说法中，其中不正确的有() ①任何数都有平方根；②一个数的算术平方根一定是正数； ③的算术平方根是；④算术平方根不可能是负数． A、个 B、个 C、个 D、个【答案】D 【解析】解：根据平方根概念可知：①负数没有平方根，故错误；②反例：的算术平方根是，故错误；③当时，的算术平方根是，故错误；④算术平方根不可能是负数，故正确．所以不正确的有①②③．故选D． 12.下列各对数中，数值相等的是() A、与

20年苏教版初中数学《圆有关的最值问题》专题

圆有关的最值问题一、求解方法： 1．根据“三角形三边关系”求解： -≤≤+ a b c a b 2．动中有静，抓住不变量求解． 3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值． 4．四点共圆（补充）．五个基本判断方法： (1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆． (2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。），则这个四边形的四个点共圆． (3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆． (4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆． (5)同斜边的直角三角形的顶点共圆，二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化．

三、中考展望与题型训练例一、圆外一点与圆的最近点、最远点 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是．例二、正弦定理 2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为． 3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．例三、不等式、配方法 4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x （2＜x＜4）．当x为何值时，PD?CD的值最大？最大值是多少？

圆的有关性质

圆的有关性质本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

初中数学教学中出现的常见问题及应对策略

初中数学教学中出现的常见问题及应对策略初中教学中教师在备课时常根据主观意识，提前几天或几个星期备课，个别的教师甚至将纸张发黄的陈旧教案拿到课堂上照本宣科，不考虑学生现有知识基础和学习中出现的新情况，结果怎样呢？本来学生已经掌握的内容教师在津津乐道，而学生难于理解掌握的内容却蜻蜒点水，甚至根本没有涉及，教师陶醉于少数优生“热热闹闹”的发言，而多数学生一知半解。学生在作业中反映出来的问题教师没有及时了解并帮助解决，漫漫学生的问题再不是一两个，而是一大堆，此时，师生双方都感到无从下手。学生学习中出现的问题，教师若能及时发现，及时设法解决，就不会出现这种现象。一、教学中的问题反映学生的问题主要体现在备课、上课、批改作业、辅导、考试、评价等各个环节。1.备课时充分估计。经验丰富的教师在备课时能预测到学生在课堂上对知识的理解、技能的掌握、方法的运用所出现的问题，并有针对性地设计教法。把问题解决在初发阶段，这样教师的主导作用就能得到较好的发挥。缺乏经验的教师往往做不到这一点，那么就应在教学实践中勤于观察与思考，逐步学会站在学生立场上思考问题，设计教案。2.上课中勤于捕捉。上课是获取信息的主渠道。教师仅凭过去的经验或主观愿望去估计是不行的，必须在课堂上认真观察学生反应，及时调整教法。有的教师讲授时不注意观察学生的神态，也不去听取学生的反映，等到批改作业或阅卷时才发现问题一大难，这样就不利于及时抓住学生的问题并及时解决。3.板演时注意收集。板演是学生暴露思维过程的重要渠道。对学生板演中暴露出来的错误，教师不仅要指出其错误所在，还要正确分析产生各种错误的原因，指出应该怎样纠正错误，并在下次板演或作业中有意安排类似的练习，让学生及时矫正。4.答问中随机提炼。学生在回答教师提问时，很容易暴露思维过程中的错误，或概念理解错误，或定理法则运用条件不足，或思维方法不对等。教师既要善于鼓励学生积极思考问题和敢于提问，又要善于根据不同层次的学生回答问题的不同角度，随机提炼出反映问题本质的一般性和特殊性问题。5.作业里逐一分析。作业是反映学生问题的主渠道，但教师须对不同的学生进行认真的分析，学生的作业一般来说有四种类型：（1）独立完成的；（2）讨论后完成的；（3）独立完成一部分，抄袭一部分；（4）全部是抄的。教师对抄袭来的整洁、正确的作业切不可感到满足，这种潜伏期一旦长了，差生面就越来越大，差的程度就越来越严重。因此，对不同的学生、不同的问题应逐一分析，做好作业档案记载，能够掌握个别学生的学习情况。6.阅卷中仔细归类。在考风正的前提下，每次单元测验或期中、期末考试试卷中都会暴露出大量的问题。问题越多，我们就越要注意归类，切不可眉毛胡子一把抓。整理归类得当就能有针对性地进行辅导。7.讲课后及时小结。讲课后立即回顾本堂课的成功之处和值得改进的地方，以及学生中出现的主要问题和产生这些问题的原因，及时分析应采取的措施，并简明地记在本节课教案后面，这样既可作为下节课的教学内容，又可作为下一次再教时的重要参考资料。若能长期坚持，注意积累和整理，便是切合实际的难得的教学经验。8.复习时注意强化。成功的复习，一般是在一个单元的基础知识、基本技能、基本思想方法梳理之后，结合该单元教学中收集到的学生易混易错问题的基础上，加以提炼，择例精讲，从不同的角度、不同的侧面、不同的题型予以强化纠正。

(完整)初中数学“最值问题”_集锦

“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，

在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时 A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，

初中数学教程圆的有关性质

24.1圆的有关性质第1课时教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用． 2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个． 2．你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评总结．（1）图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形．同时，我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧． ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（学生活动）请同学们回答下面两个问题． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ，，，即直径CD 平分弦AB ，并且平分及． ?AC ? AC ?ABC ?AC ?BC ??AC BC =??AD BD =? AB ?ADB

人教版初中数学九年级上册17.圆中的最值问题

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拔高专题圆中的最值问题一、基本模型构建常见模型图(1) 图（2）思考图（1）两点之间线段最短；图（2）垂线段最短。 .在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．二、拔高精讲精练探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′．【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知

识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例2：如图，在Rt △AOB 中，，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），求切线PQ 的最小值解：连接OP 、OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知PQ 2=OP 2-OQ 2， ∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=3 ， ∴OA=6，∴OP= =3，∴． ?OA OB AB 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 是一动点且P 在第一象限内，过P 作⊙O 切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．求线段AB 的最小值．解：（1）线段AB 长度的最小值为4，理由如下：连接OP ， ∵AB 切⊙O 于P ， ∴OP ⊥AB ，取AB 的中点C ， ∴AB=2OC ；当OC=OP 时，OC 最短，即AB 最短，此时AB=4．