选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
《推理与证明》单元测试题
考试时间120分钟 总分150分
一．选择题（共50分）
1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )
A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1
an －1
)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式
B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人
C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°
2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |
＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )
A ．76
B ．80
C ．86
D ．92
3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ）
A ．01
B ．43
C ．07
D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ）
1> ②
③lg
2>A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
5.如图，椭圆的中心在坐标原点，
F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有
()()()
2
2
2
2
2
c
b b a
c a +++=+
，从而得其离心率为
，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）
A
．
12 B
．12+ C
6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰
是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。
第2件 第3件
第1件
A ．100
B ．110
C ．120
D ．130
7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )
A ．(7,5)
B ．(5,7)
C ．(2,10)
D ．(10,1)
8.把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图
乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n =1625，则n=（ ）
A ．833
B ．820
C ．832
D ．53
9.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任
一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若
3124
1234
a a a a k ====，则()4
12i i S ih k ==∑ 4
12341()1234i
i ih h h h h =??=?+?+?+? ???
∑注：,类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任
一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若3124
1234S S S S K ====,
则
()4
1
i
i iH ==
∑ ( )
A.4V K
B. 3V K
C. 2V
K D. V K
10. 函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ?A ）有x+t ∈A ，使
得 f （x+t ）≤f （x ）恒成立，则称f （x ）为C 上的t 度低调函数．已知定义域为[0，+∞）的函数f （x ）=2
(3)mx --，且f （x ）为[0，+∞）上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）
A ．[]0,1
B 。[)1,+∞
C ．(],0-∞
D ．(],0
-∞[)1,+∞
二．填空题（共25分）
11.用反证法证明命题“存在a 、b ∈R ，a 2
+b 2
<2（a ﹣b ﹣1）”，正确的反设为
__________． 12. 观察下列等式：
1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…
13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225
…
可以推测：13
＋23
＋33
＋…＋n 3
＝______________ (n ∈N *
，用含n 的代数式表示) 13. 若定义在区间D 上的函数f （x ）对D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足
[f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n ）]≤f （
），则称f （x ）为D 上的凸函
数．已知函数y=sinx 在区间（0，π）上是“凸函数”，则在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 ______．
14. 在面积为S 的正三角形ABC 中，E 是边AB 上的动点，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，当点E 运动到离边BC 的距离为△ABC 高的时，△EFB 的面积取得最大值为
．类比上面的结论，可
得，在各棱长相等的体积为V 的四面体ABCD 中，E 是棱AB 上的动点，过点E 作平面EFG ∥平面BCD ，分别交AC 、AD 于点F 、G ，则四面体EFGB 的体积的最大值等于 ______V ．
15.以下是拉面师一个工作环节的数学模型：在数轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标
1434
和都变成21，原来的坐标21变
成1，等等）.那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与
1重合的点所对应的原坐标是 ；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点， 在第n 次操作完成后（1 n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的原坐标为 .（用含n 的式子表示）
三．解答题（共75分）
1
12
16. 用数学归纳法证明：+++…+＞
（n ＞1，且n ∈N *）．
17. 用分析法证明：若a ＞0，则
18. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1， 求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．
19. 如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的
差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． （1）证明：一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列； （2）若正项数列{a n }是首项为2、公方差为2的等方差数列，且存在实数,m 使得等式
122()(21)
++
3
n n n m n a a a n N *+++∈444=
对任意成立，求m 的值，并证明等式成
立。
20. 如图1所示为抛物线的一个几何性质：过抛物线y 2=4x 的焦点F 任作直线l 与抛物线交于
A ，
B 两点，则在x 轴上存在定点M （﹣1，0），使直线MF 始终是∠AMB 的平分线；
如图2所示，对于椭圆
，设它的左焦点为F ；请写出一个类似地性质；并证
明．
21.如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C ：
)0(32≥=y x y 上的n 个点，点)0,(i i a A （n i 3,2,1=）在x 轴的正半轴上，且i i i P A A 1-?是 正三角形（0A 是坐标原点）．
（1）尝试用1a 表示1P 点坐标；
（2）求出1a 的值，继而写出2a 、3a 的值； （3）猜想n a 的表达式并用数学归纳法证明.
参考答案
一．选择题（共50分）
1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( D )
A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1
an －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式
B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人
C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°
2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋
|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( B ) A ．76 B ．80 C ．86
D ．92
3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ A ）
A ．01
B ．43
C ．07
D ．49
分析：通过观察前几项，发现末两位数字分别为49、43、01、07、…，以4为周期出现重复，由此不难求出72012的末两位数字．
解：根据题意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，
发现：74k ﹣
2的末两位数字是49，74k ﹣
1的末两位数字是43，74k 的末两位数字是01， 74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、…）， ∵2012=503×4，∴72012的末两位数字为01． 故选A ．
4. 以下不等式（其中0a b >>）正确的个数是（ C ）
1>②≥ ③>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有
()()()
2
2
2
2
2
c
b b a
c a +++=+，从而得离心率为
51
-，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ B ）
A ．
51
2
- B ．
15
2
+ C ．2
D ．
51
- 分析：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，当
时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，由此可知
b 2+
c 2+c 2=a 2+c 2+2ac ，整理得c 2=a 2+ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e ．
解：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|=a ，|OB|=b ，|OF|=c ， 当
时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，
∴b 2+c 2+c 2=a 2+c 2+2ac ，
∵b 2=c 2﹣a 2，整理得c 2=a 2+ac ， ∴e 2﹣e ﹣1=0，解得 ，或 （舍去）．
故黄金双曲线的离心率
．
6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第8件首饰上应有（C ）颗珠宝。
A ．100
B ．110
C ．120
D ．130
O
x
y
B
F A 第2件 第4件 第3件 第1件
7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( B ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10)
D ．(10,1)
解析：选B 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对，这样的前n 组一共有n
n ＋12
个整数对，注意到
1010＋12
<60<11
11＋1
2
，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第
5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．
8.把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n =1625，则n=（ A ）
A ．833
B ．820
C ．832
D ．53
9.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若
3124
1234
a a a a k ====，则()4
12i i S ih k ==∑ 4
12341()1234i
i ih h h h h =??=?+?+?+? ???
∑注：,类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为
()1,2,3,4i H i =,若3124
1234S S S S K =
===, 则()4
1
i i iH ==∑ ( B )
A.4V K
B. 3V K
C. 2V
K
D. V K
10. 函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ?A ）有x+t ∈A ，
使得 f （x+t ）≤f （x ）恒成立，则称f （x ）为C 上的t 度低调函数．已知定义域为[0，+∞）的函数f （x ）=2
(3)mx --，且f （x ）为[0，+∞）上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ D ）
A ．[]0,1
B 。[)1,+∞
C ．(],0-∞
D ．(],0
-∞[)1,+∞
二．填空题（共25分）
11.用反证法证明命题“存在a 、b ∈R ，a 2+b 2<2（a ﹣b ﹣1）”，正确的反设为 任意a ，b ∈R ，a 2+b 2
≥2（a ﹣b ﹣1）．
12. 观察下列等式：
1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…
13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225
…
可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________14n 2(n ＋1)2 (n ∈N *
，用含n 的代数式表示)
解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边
比较即可得，13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝14n 2(n ＋1)2
.
答案：14
n 2(n ＋1)2
13. 若定义在区间D 上的函数f （x ）对D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足
[f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n ）]≤f （
），则称f （x ）为D 上的凸函
数．已知函数y=sinx 在区间（0，π）上是“凸函数”，则在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 ．
14. 在面积为S 的正三角形ABC 中，E 是边AB 上的动点，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，当点E 运动到离边BC 的距离为△ABC 高的时，△EFB 的面积取得最大值为
．类比上面的
结论，可得，在各棱条相等的体积为V 的四面体ABCD 中，E 是棱AB 上的动点，过点E 作平面EFG ∥平面BCD ，分别交AC 、AD 于点F 、G ，则四面体EFGB 的体积的最大值等于
V ． 解答： 解：根据几何体和平面图形的类比关系，
三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，中位线与中
截面进行类比：
在面积为S 的正三角形ABC 中，当点E 运动到离边BC 的距离为△ABC 高的时，△EFB 的面积取得最大值为
．
类比上面的结论，可得，在各棱条相等的体积为V 的四面体ABCD 中，E 是棱AB 上的动点，过点E 作平面EFG ∥平面BCD ，分别交AC 、AD 于点F 、G ，设AE=xAB （0＜x ＜1），则四面体EFGB 的体积V 1=x 2（1﹣x ）V=x ?x （2﹣2x ）V ≤V=
，最大值等于V 四面体EFGB =V 四面体AEFG =
．
故答案为：
．
点
本题考察了立体几何和平面几何的类比推理，一般平面图形的边、面积分别于几何
评： 体中的面和体积进行类比，从而得到结论．
15.以下是面点师一个工作环节的数学模型：在数轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标
1434
和都变成21，原来的坐标21
变成1
，等等）.那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉
到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点， 在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 .（用含n 的式子表示）
答案：43
,
41；j j n ,2
为[]
n 2,1中的所有奇数.
三．解答题（共75分）
16. 用数学归纳法证明：+
+
+…+
＞
（n ＞1，且n ∈N *）．
证明：（1）n=2时，左边=
＞
，不等式成立；
（2）假设n=k （k ＞1，且k ∈N *）时结论成立，即+
+…+
＞
则n=k+1时，左边=+
+…+
+
=
+
+…++﹣＞
+
﹣
=
＞
即n=k+1时结论成立 综上，+
+
+…+
＞
（n ＞1，且n ∈N *）．
1
12
17. 用分析法证明：若a ＞0，则
证明：∵a ＞0，要证，
只要证 +4+4≥+2（）+4，
即证 2 ≥（）．
只要证4（ ）≥2（+2），即证≥2．
由基本不等式可得
≥2 成立，故原不等式成立．
18. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，
求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，
因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1，
又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd >1，这与上式相矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．
19. 如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． （1）证明：一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列；
（2）若正项数列{a n }是首项为2、公方差为2的等方差数列，且存在实数,m 使得等式
122()(21)
++3
n n n m n a a a n N *+++∈444=
对任意都成立，求m 的值，并证明等式成
立。 解：
（1）若数列{a n }是等差数列，设a n =an+b （a ，b ∈R ），则，
要使{a n }也是等方差数列，应有
（k 为与n 无关的常数），得a 2=0，即a=0，这时a n =b
必为一常数数列，因此不存在一个非常数数列的等差数列，同时也是等方差数列．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）由于{a n }2，公方差为2的等方差数列，∴，2n a n =∴()
2
2
2
2()(21)
242,3
n n m n n ++++=
取n=1,得m=1
∴()
2
2
2
2(1)(21)242,3n n n n ++++=用数学归纳法证明之。
20. 如图1所示为抛物线的一个几何性质：过抛物线y 2=4x 的焦点F 任作直线l 与抛物线交于
A ，
B 两点，则在x 轴上存在定点M （﹣1，0），使直线MF 始终是∠AMB 的平分线；
如图2所示，对于椭圆
，设它的左焦点为F ；请写出一个类似地性质；并证
明．
解
答：
过椭圆的左焦点F （﹣2，0）任作直线l 与椭圆交于A ，B 两点，则在x 轴上存在定点，使直线MF 始终是∠AMB 的平分线；
证明如下：设直线l 的方程为y=k （x+2），（k 不存在时，显然成立）；
由
，得（1+5k 2）x 2+20k 2x+20k 2﹣5=0；∴
，设M （t ，0），则
；
将根与系数的关系式代入，得4t+10=0，即得点
．
21.如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C ：
)0(32≥=y x y 上的n 个点，点)0,(i i a A （n i 3,2,1=）在x 轴的正半轴上，且i i i P A A 1-?是正三角形（0A 是坐标原点）．
（1）尝试用1a 表示1P 点坐标；
（2）求出1a 的值，继而写出2a 、3a 的值； （3）猜想n a 的表达式并用数学归纳法证明
解:112a ?? ? ???
（2）;12,6,2321===a a a ……………….6分 （3）依题意，得2
3,211---?=+=
n n n n n n a a y a a x ，由此及n n x y ?=32
得 )(2
3
)23(121--+=-?
n n n n a a a a ， 即)(2)(12
1n n n n a a a a +=---．
由（Ⅰ）可猜想：)(),1(*
∈+=N n n n a n ．
下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；
（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设
及
211()2()k k k k a a a a ++-=+
得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即
2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-?++=，
解之得
1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去），
即当1n k =+时，命题成立． 由（1）、（2）知：命题成立．……………….10分