统筹学

研究如何在实现整体目标的全过程中施行统筹管理的有关理论、模型、方法和手段，是数学与社会科学交叉的一个学科分支。它通过对整体目标的分析，选择适当的模型来描述整体的各部分、各部分之间、各部分与整体之间以及它们与外部之间的关系和相应的评审指标体系，进而综合成一个整体模型，用以进行分析并求出全局的最优决策以及与之协调的各部分的目标和决策。统筹学的理论与方法已渗透到了管理的许多领域。

20世纪50年代末、60年代初，中国数学家华罗庚在研究了国外的CPM（关键路线法）、PERT（计划评审技术）、AN（网络计划法）等几十种方法的基础上，吸收其科学的部分，结合实际情况，形成了具有中国特色的方法，统称之为统筹方法，并在中国应用推广，在企业管理、重大项目的研究与管理、规划与方案的论证等许多方面得到开发利用，取得了明显的效果。

基本统筹模型统筹方法中的基本模型，是统筹图(网络图)。它是用节点、箭头和与之相应的数来描述整体和各部分、各部分之间以及它们和外界之间的关系。从基本模型出发，根据不同的整体目标，还需选取与之相适应的其他模型。

当整体目标为完工时间的情形，可用箭头表示各部分的内容，称之为活动；节点表示事件，如某些活动完成，某些活动开始等；与箭杆相应的数字表示完成该活动所需的时间等；箭头之间的衔接关系表示各部分之间的顺序关系。从统筹图的起点出发，沿着箭头方向走到表示整体工作完成的节点（结束点），可以有一条或多条路线。其中花费时间最多者称作主要矛盾线或关键路线，关键路线上的各活动称为关键活动。关键路线可能不止一条，但是任一条关键路线所用的时间均相同，等于整体工作最早可能完工时间。据此，还可算出为保证整体完工的时间各活动的最迟必须开工时刻和最迟必须完工时刻、各活动的最早可能开工时刻和最早可能完工时刻。每个活动的最迟必须完工时刻与最早可能完工时刻之差称为该活动的总时差。

以建造一幢房子的工程为例，如果该工程的各部分活动（工序）经简化后如表所列，则可以用双标号统筹图（图1）来描述这项工程：

统筹学

统筹学

统筹学

以两个节点(i,j)表示一项活动，例如(3,4)表示活动E（砌墙）。节点的编号可以是任意的,习惯上常常选取编号使得对任一活动(i,j)都有i

图1的关键活动用双线表示。共有三条由点1到点12的关键路线。每条关键路线都需要37天。在工程实施时，任何一个关键活动的延误都可能拖延整体工作的完成时间。

如果整体工作所包含的活动很多很复杂，有关参数可以借电子计算机的帮助计算出来。假定统筹图(图1)上节点编号为1,2,…,n;t ij为活动(i,j)所需的时间。如果活动(i,j)出现在统筹图上,称i为j的紧前节点，称j为i的紧后节点,记B(j)为节点j的所有紧前节点的集合，A(i)为i的所有紧后节点的集合,那么节点j的最早可能开始时刻t E(j)可用如下的迭代公式算出：

设节点n的A(n)为空集,则T=t E(n)便是关键路线所需的时间。为保证整体工作的完成时间、节点i的最迟必须完成时刻t L(i)可由类似公式迭代求出：

活动(i,j)的最早可能开工时刻,最迟必须完工时刻，最迟必须开工时刻，最早可能完工时刻分别为：

时差为。

常用统筹模型根据不同的整体目标、各部分的关系和相应数据，从统筹图出发，又可以发展为不同的统筹模型。

时间－成本优化模型当整体目标涉及时间与成本时，在统筹图中与箭头相应的数字表示时间与成本关系的函数,在此基础上，可以建立各种不同的时间-成本优化数学模型；或者以各部分之间相互关系和可能提供的最高成本为约束条件，求最短整体完成时间、与之协调的各部分的成本和最早、最迟开工与完工时间；或者以各部分之间的关系和给定的整体完成时间为约束条件，求最低成本以及与之协调的各部分的有关决策参数和要求；还可以建立参数化模型，进一步求出完成整体工作时间与成本之间的、整体完成时间与各部分的有关参数之间的函数关系。

按照各部分完工时间与成本关系的函数性质，上述的时间-成本模型又可分为线性的与非线性的模型。

时间－资源优化模型如果整体目标涉及时间与资源，则可以在工期一定的条件下，均衡不同时期资源需要量和相应各部分的有关参数。此类模型又分为单一资源模型和多种资源模型或在资源一定的情况下，求工期最短等。

决策型模型在决策阶段常会面临各部分多种方案的选择，不同方案的工期、成本和所需资源、以及其他关系可能不相同，必须从整体出发作出判断，选择其中之一方案。这时的统筹图上含有若干决策点，称为决策型统筹模型。

控制模型在计划实施阶段，用以对进度、财务和资源等的控制。控制模型包括管理信息体系和组织的设计，费用-进度模型，成果-时间模型，概预算系统模型，整体化的决策，计划与控制系统模型,动态-调整决策模型，计划与控制循环模型，等等。

搭接网络模型（MPM方法）在这里,两部分之间的关系是用其中一部分开始与结束时间与另一部分的开始与结束时间的间隔来描述。此种关系允许两部分工作有搭接，便于描述连结型作业与交叉平行作业。

非肯定型统筹模型在基本统筹模型中，与各活动相应的给定数是确定的，由此而发展出来的各种模型都叫肯定型统筹模型。如果与各部分相应的给定数并非确定，而是随机变量，由此而发展出来的模型统称为非肯定型模型，最早的非肯定型模型是PERT，其中假定时间是服从贝塔分布（见概率分布）的随机变量。在此假设下，可以估计整体和各部分完成

时间的均值和方差，并引出同肯定型模型相类似的各种问题和解决这些问题的相应理论、模型与方法。不少学者研究过时间随机变量属于其他分布的情形并得出一些结果。

广义统筹模型为了更客观地描述现实世界中所存在的复杂的衔接关系和数量关系，引入了广义统筹模型(GAN)。其中的节点由前后两半部组成,刻画到达与离开此节点的各部分之间的关系。节点两半部的符号表示和含义如表所示。它们分别组合成六类不同的节点(见图)。图中a是基本统筹图中的节点；b表示A1或A2有一个完成后，B1与B2皆执行；c 表示当A1与A2中有一个且只有一个完成后, B1和B2皆执行；d表示A1与A2都完成后,决定B1执行或B2执行,或各以某种概率执行；e表示A1或A2有一个完成后，决定B1执行或B2执行,或按各自的概率执行；f表示A1、A2中有一个且只有一个完成后，决定B1执行或B2执行，或按各自的概率执行。在每个节点后代表各部分的每个箭头，除时间参数外，还应有一数量表示执行该部分的概率, 如果肯定执行，概率为1。与箭头相应的参数除时间外,还可以表示费用、收益、可靠性、信息量等等。

用以上节点和箭头组成的统筹图称为决策型统筹图(决策型网络图)，它是进行多阶段决策的有力工具，决策树则是其中较简单的情形。进一步，如果图上与各箭头相应的参数向量（执行概率、时间、资源、可靠性、信息量等等）中有若干分量是随机变量，称为随机型统筹图(GERT)。

为了找出总体最优解和与之相协调的各部分的指标与参数组，可按下述步骤对广义统筹图进行综合分析。

①进行调查研究，画出广义统筹图。

②计算整体指标。计算的方法有代数分析法、流图计算法、矩母函数与W函数法等。

③评审与优化。根据综合的整体指标，进行方案的评审,找出现存整体的最优解，或对整体进行设计,以达到最优效果。

④确定与整体协调的各项决策、各部分的指标与有关参数。

⑤控制、调整和整理。

对于随机型的统筹模型，在计算总体综合指标和寻找最优解时产生很大困难，因而又引入了一些求满意解(但不一定是最优解)的方法。例如统筹模拟模型(GERTS)，将已建立的随机型统筹图利用计算机进行模拟，计算出整体综合指标，或求出满意解。

广义网络图已被应用于阿波罗工程、公共设施的设计、多阶段决策、工程的总体可靠性分析、模拟技术等许多方面。

统筹学已成为较活跃的一个管理科学的分支。一方面,它的内容随着研究与应用的进行而不断丰富,它的应用范围与效果随着计算机的发展和广泛使用而不断扩大，形成了许多有效的软件和计算机系统(如GERTS，RAMPS)。另一方面,它与数学有关分支(如随机过程、排队论、信息论、流图、随机优化和随机微分方程等等)和社会经济学结合产生了一些新的有生命力的管理科学分支，如项目管理等；且进一步推动了统筹学的发展。

参考书目

S.E. Elmaghraby,Activity Networks, John Wiley & Sons, New York, 1977.

华罗庚著：《统筹方法平话及补充》，国防工业出版社，北京，1965。