2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2

2.1。1 合情推理

1．归纳推理

（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类

错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．

(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般

的推理．

（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性

质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命

题（猜想)．

2．类比推理

（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象

的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类

比推理(简称类比)．

(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．

(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致

性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出

一个明确的命题(猜想）．

3．合情推理

（1)含义

归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、

错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

(2)合情推理的过程

错误!→错误!→错误!→错误!

归纳推理与类比推理的区别与联系

区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．

联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．

1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）

（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )

(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）

(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )

答案（1）×（2）×(3）√

2．做一做

（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．

(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．

(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）

探究1 数列中的归纳推理

例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．

[解］当n＝1时，a1＝1，

当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，

当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，

当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,

…

通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

［解法探究］此题有没有其他解法呢？

[解］因为a n＋1＝错误!，即错误!＝错误!＋1，

所以错误!－错误!＝1，

又a1＝1，所以数列错误!是以错误!＝1为首项，公差为1的等差数列．

所以1

a n＝1＋（n－1）×1＝n，

所以数列｛a n｝的通项公式是a n＝错误!。

拓展提升

在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式,归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．

【跟踪训练1】已知数列{a n｝的前n项和为S n，且a1＝1,S n＝n2a n（n∈N＊),可归纳猜想出S n的表达式为________．

答案错误!

解析因为a1＝1，S2＝a1＋a2＝4a2，所以a2＝错误!，所以S2＝错误!×4＝错误!，同理，可得S3＝错误!，S4＝错误!，归纳可得，S n＝错误!.

探究2 几何中的归纳推理

例2 定义A＊B,B*C，C＊D,D＊A的运算分别对应图中（1)，（2)，（3)，(4），那么图中的(a）,(b）所对应的运算结果可能是（)

A．B＊D,A＊D B．B＊D，A＊C

C．B*C，A*D D．C＊D，A＊D

［解析] 从运算图形中,归纳出“*”表示什么运算，A，B，C，D分别表示什么图形，即可研究（a），（b)所对应的运算结果．依题意,运算“*”表示图形叠加,由4个运算图形归纳得出：A是一条竖直线段,B是一个正方形,C是一条水平线段,D是一个圆．所以(a）中的图形应为B*D,(b)中的图形应为A＊C。故选B。

［答案］B

拓展提升

归纳推理在几何中应用的关键

在几何中随点、线、面等元素的增加,探究相应的线段、交点、区

域部分等的增加情况常用归纳推理解决,寻找递推关系是解决该类问题的关键．

【跟踪训练2】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点．若用f(n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）＝________；当n〉4时，f(n）＝________(用含n的数学表达式表示）．

答案 5 错误!(n－2)(n＋1）

解析由图可知，f（4)＝5,当n>4时，可得递推式f（n）－f（n －1）＝n－1。由f（n)－f（n－1）＝n－1，得f(n－1)－f（n－2)＝n －2，…，

f(4)－f（3)＝3，叠加可得，

f（n)－f（3)＝错误!(n＋2）(n－3)．

又f（3）＝2，所以f（n)＝错误!(n＋2）（n－3）＋2,

化简、整理，得f(n）＝错误!(n－2)(n＋1)．

探究3 数列中的类比推理

例3 设等差数列｛a n}的前n项和为S n,则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：

设等比数列｛b n｝的前n项积为T n,则T4，________，________，

错误!成等比数列．

[解析] 等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减

法,于是可得类比结论为：

设等比数列{b n｝的前n项积为T n,则T4，错误!，错误!，错误!成等比数列．

［答案] 错误!错误!

拓展提升

类比推理的一般模式为:A类事物具有性质a，b，c,d，B类事物具有性质a′，b′，c′(a，b,c分别与a′，b′,c′相似或相同），所以B类事物可能具有性质d′（d与d′相似或相同)．

【跟踪训练3】若数列｛a n}（n∈N＊）是等差数列，则有通项满足b n＝错误!（n∈N*)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{c n}（n∈N＊)是等比数列,且c n〉0，则通项满足d n＝________(n∈N＊）的数列也是等比数列．

答案错误!

解析由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n＝错误!。

探究4 几何中的类比推理

例4 平面几何里有“设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则错误!＋错误!＝错误!”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三条侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，平面BCD 上的高为h，则________”．

［解析] 如图所示,设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E。连接AE,由AB⊥AC，AB⊥AD得AB⊥平面ACD.

∴AB⊥AE。设AE＝h1，

在Rt△ABE中，由已知可得错误!＋错误!＝错误!。

又易证CD⊥平面ABE，∴CD⊥AE.

在Rt△ACD中有错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!.

［答案] 错误!＋错误!＋错误!＝错误!

拓展提升

解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：

【跟踪训练4】类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形ABC 中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2＋AC2＝BC2。若三棱锥A－BCD的三个侧面ABC,ACD，ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案S错误!＝S错误!＋S错误!＋S错误!

解析在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方,类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中,有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．

合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是,归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠。

1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )

A．白色B．黑色

C．白色可能性大D．黑色可能性大

答案A

解析由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同,即为白色．

2．用火柴棒摆“金鱼”,如图所示：按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）

A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2

答案C

解析观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n ＋2。故选C。

3．请仔细观察，运用合情推理,写在下面横线上的数最可能的是1，1，2,3，5,________，13.

答案8

解析从第三项起,每一项是它前两项的和,根据这个规律,应填写的数字是8.

4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________．

答案球心距离相等的两截面的面积相等

解析由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆．

5．已知数列{a n}满足a n＋1＝错误!(n∈N＊）,a1＝0，试通过计算a2,a3，a4，a5的值,猜测{a n｝的通项公式．

解由a n＋1＝错误!和a1＝0，得a2＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!，a4＝

错误!＝错误!，a5＝错误!＝错误!.观察以上5项，猜测{a n｝的通项公式为a n ＝错误!。

人教A版高中数学选修一第二章推理与证明答案.docx

第二章合情推理与演绎推理答案 2.1.1 合情推理与演绎推理(1) 1、d n a a n )1(1-+= 2、B 3、A 4、()n n n n )1(1169411 +-++-+-+Λ 5、θθθ n cos 23cos 22cos 2 6、V+F —E=2 7、解：9)5(,5)4(,2)3(,0)2(====f f f f 可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数 4)4()5(,3)3()4(,2)2()3(=-=-=-∴f f f f f f 猜测得出1)1()(-=--n n f n f 有)1(432)2()(-++++=-n f n f Λ )2)(1(2 1)(-+= ∴n n n f 因此)2)(1(2 1)(,5)4(-+==n n n f f 8、解：4 2112 23?= 4 32212 233?=+ 4 433212 2333?=++ 4 5443212 23333?=+++ ()414321223333+=+++++n n Λ 由此可以有求和的一般公式为()414321223 333+=+++++n n Λ 2.1.2合情推理与演绎推理(2) 1、C 2、D 3、D 4、类比 5、（1）圆柱面（2）两个平行平面 6、()()()x C x S x S 22= ()()()()()y S x C y C x S y x S +=+ 7、在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈，则q p n m a a a a ?=? 8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。9、2ABC S ?+2ACD S ?+2ADB S ?=2 BCD S ? 2.1.3 合情推理与演绎推理(3) 1、C 2、D 3、B 4、B 5、A 6、8-=a ，无限不循环小数为无理数 7、（1）一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形（大前提）；三角形ABC 的三边 长依次为5，12，13，而22212513+=（小前提）；三角形ABC 是直角三角形（结论）（2） 二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图象是一条抛物线（大前提）；函数12++=x x y 是二次函数（小前提）；函数12 ++=x x y 的图象是一条抛物线（结论）

最新人教版高中数学选修1-2《推理与证明》本章概要

第二章推理与证明 本章概要 推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.它贯穿于高中数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用.推理一般包括合情推理和演绎推理.推理与证明的学习,有利于培养学生的逻辑思维能力,形成和发展理性思维.本章的学习,是对以前所学知识点的总结和归纳,所以说本章的知识在整个高中数学阶段有着特别重要的地位. 本章我们主要学习两种基本推理——合情推理与演绎推理.合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理的常用思维方法.合情推理具有猜想和发现新结论、探究和提供解决问题思路的作用，有利于创新意识的培养.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.演绎推理具有证明结论，整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法.合情推理和演绎推理紧密联系、相辅相成，它们的学习有利于培养逻辑思维能力和创新思维能力，形成和发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发展中的作用，体会证明的功能和特点及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯. 本章我们还将学习证明的两类基本方法——直接证明方法(包括分析法、综合法)和间接证明方法(反证法)，从中体会证明的功能和特点，掌握数学证明的方法.证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论. 本章的重点是合情推理中的归纳推理与类比推理，演绎推理中的假言推理、三段论推理、关系推理、完全归纳推理，以及证明中的综合法、分析法、反证法.其中类比推理也是难点. 在日常生活，科技实践中，人们需要进行各种各样的推理.通过本章的学习，去体会和感受逻辑证明在数学学习和日常生活中的作用，养成言之有理，论之有据的好习惯. 学习策略 在数学中，可以变隐性为显性、分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确数学公式，同时通过新内容的学习，感受和体验如何学会数学思考方式，体会推理和证明在数学学习和日常生活中的定义和作用，提高自身数学素养. 应通过实例，运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.学习的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述. 学习本章时要注意基本数学思想，如归纳、类比、演绎推理以及综合法、分析法、反证法思想的理解和应用.在学习的过程中要准确把握概念，通过具体实例理解合情推理，演绎推理的联系与区别；理解直接证明与间接证明的方法、步骤.要对命题进行观察、比较、分析、类比、归纳，不断提高自己的逻辑思维能力，体会数学的美学意义.

2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2

2.1。1 合情推理 1．归纳推理 （1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类 错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)． (2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般 的推理． （3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性 质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命 题（猜想)． 2．类比推理 （1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象 的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理(简称类比)． (2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理． (3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致 性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出

一个明确的命题(猜想）． 3．合情推理 （1)含义 归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、 错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程 错误!→错误!→错误!→错误! 归纳推理与类比推理的区别与联系 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理． 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假． 1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”） （1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( ) (2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）

高二数学选修2-2第二章 推理与证明

§2.1.1 合情推理 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义； 2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 70~ P77，找出疑惑之处） 在日常生活中我们常常遇到这样的现象： （1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、新课导学 探究任务一：考察下列示例中的推理 问题：因为三角形的内角和是180(32)??-，四边形的内角和是180(42)??-，五边形的内角和是180(52)??-……所以n 边形的内角和是 新知1：从以上事例可一发现： 叫做合情推理。 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。 探究任务二： 问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？ 新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的 的推理归纳是 的过程 例子:哥德巴赫猜想： 观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 归纳推理的一般步骤 1 。 2 。 ※ 典型例题 例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n-1，……的前n 项和S n 的归纳过程。 例2设2 ()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。 练1. 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？ 三、总结提升※ 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2. 已知2() (1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2 ()21f x x =+ 3.111()1()23f n n N n +=+++???+∈，经计算得357 (2),(4)2,(8),(16)3,(32)222 f f f f f =>>>> 猜测当2n ≥时，有__________________________. 4 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n= (1) 2 n n +，观察下列立方和： 13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…… 试归纳出上述求和的一般公式。 变式1 观察下列等式： 1+3=4=2 2， 1+3+5=9=2 3， 1+3+5+7=16=2 4， 1+3+5+7+9=25=25， …… 结论 变式2 观察下列等式：1=1 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， …… 结论

2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理训练含解析新人教A版选修1_2

2.1.1 合情推理 [A 组 学业达标] 1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．没有推理 D ．以上说法都不对 解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理． 答案：B 2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为 ( ) A.r 22B.l 2 2 C.lr 2 D ．无法确定 解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr 2. 答案：C 3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支

纪年法中的( ) A．丁酉年B．庚午年 C．乙未年D．丁未年 解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B. 答案：B 4．n个连续自然数按规律排列下表： 根据规律，从2 019到2 021箭头的方向依次为( ) A．↓→B．→↑ C．↑→D．→↓ 解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2019到2021为→↓，故应选D. 答案：D 5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )

2020-2021学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理跟踪训练（含解析）新人教A版

合情推理 [A 组 学业达标] 1．下列说法正确的是( ) A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提有结论 C ．合情推理不能猜想 D ．合情推理得出的结论无法判定正误 解析：合情推理得出的结论不一定正确，故A 错误；合情推理必须有前提有结论，故B 正确；合情推理中的类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C 错误；合情推理得出的结论可以判定正误，故D 错误． 答案：B 2．观察：(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义域在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于 ( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x ) 解析：通过观察可归纳推理出一般结论：若f (x )为偶函数，则导函数g (x )为奇函数．故选D. 答案：D 3．已知数列：1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则该数列的第 k (k ∈N *)项为( ) A ．a k ＋a k ＋ 1＋…＋a 2k B ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k － 1 C ．a k － 1＋a k ＋…＋a 2k D ．a k － 1＋a k ＋…＋a 2k － 2 解析：由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k 项是从以1为首项，a 为公比的等比数列的第k 项(a k －1)开始的连续k 项的和，故该数列的第k 项为a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2. 答案：D 4．我们知道，在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2， 通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋3z ＋3＝0的距离为( ) A ．3 B ．5 C.814 7 D ．3 5

人教A版高中数学选修一第二章推理与证明

高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理与演绎推理(1) 归纳推理 【要点梳理】 1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。 是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。 2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是 3、归纳推理有如下特点 （1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。 （2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。（填“能”或“不能”） （3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 【指点迷津】 1、运用归纳推理的一般步骤是什么？ 首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。 2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。 3、归纳推理的一般模式是什么？ S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P 【典型例题】 例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈' ='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则 )()(2005=x f A 、x sin B 、x sin - C 、x cos D 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=

高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理教学案2数学教学案

2．1.2 演绎推理 预习课本P78～81，思考并完成下列问题 (1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？ [新知初探] 1．演绎推理 (1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是从一般到特殊的推理． (3)模式：三段论． 2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理．( ) (2)演绎推理的结论是一定正确的．( ) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为( ) A．合情推理B．归纳推理

C ．类比推理 D ．演绎推理 答案：D 3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2 ＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的． 答案：小前提 把演绎推理写成三段论的形式 [典例] (1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)0.332·是有理数； (3)y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． [解] (1)大前提：向量是既有大小又有方向的量． 小前提：零向量是向量． 结论：零向量也有大小和方向． (2)大前提：所有的循环小数都是有理数． 小前提：0.332· 是循环小数． 结论：0.332· 是有理数． (3)大前提：三角函数是周期函数． 小前提：y ＝sin x (x ∈R)是三角函数． 结论：y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． 用三段论写推理过程的技巧 (1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系． (2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略． (3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提． [活学活用] 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理与演绎推理》示范教案1

第二章推理与证明 本章概览 教材分析 本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以此培养学生言之有理、论证有据的习惯．本章将结合生活实例和学生已学过的数学实例，介绍两种基本的推理——合情推理与演绎推理；两类证明方法——直接证明和间接证明；学习数学归纳法的基本原理和步骤． 课标要求 (1)合情推理与演绎推理 ①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，体会合情推理在数学中的应用； ②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理； ③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． (2)直接证明与间接证明 ①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点； ②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点． (3)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题． 教学建议 1．教学中应尽量从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，从中挖掘、提炼出合情推理与演绎推理的含义和推理方法，帮助学生了解合情推理与演绎推理的含义，为学生示范如何规范地应用这两种推理解决问题． 2．通过实例引导学生分析综合法、分析法和反证法的思考过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习生活中，能自觉地有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的好习惯． 3．数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，第一部分主要内容是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；第二部分的重点是用数学归纳法证明一些简单的命题，通过对数学命题的证明巩固对数学归纳法原理的认识． 课时分配 本章约需9课时，具体分配如下：

2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1第1课时归纳推理课后

第二章推理与证明 2.1合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理 第1课时归纳推理 课后篇巩固提升 1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是() A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(n∈N*) B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*) C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(n∈N*) D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2(n∈N*) ,各等式的左边是2n-1(n∈N*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 2.已知不等式1+1 22<3 2 ,1+1 22 +1 32 <5 3 ,1+1 22 +1 32 +1 42 <7 4 ,……均成立,照此规律,第五个不等式应为 1+1 22+1 32 +1 42 +1 52 +1 62 <() A.9 5B.11 5 C.11 6 D.13 6 ,第n(n∈N*)个不等式的左边=1+1 22+1 32 +…+1 (n+1)2 ,右边=2(n+1)-1 n+1 ,所以 第五个不等式为1+1 22+1 32 +1 42 +1 52 +1 62 <11 6 . 3.如图是元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所形成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是() ,该五角星对角上的两盏灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,则下一个呈现出来的图形是A中的图形.故选A. 4.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2n n 2+n n (n∈N*),则可归纳猜想{a n}的通项公式为()

2020高中数学 第二章 推理与证明 第1节 合情推理与演绎推理习题 理 苏教版选修2-2

第1节合情推理与演绎推理 （答题时间：60分钟） 1. 下列推理是归纳推理的是（ ） A. A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B. 由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 C. 由圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 的面积πr 2 ，猜想出椭圆22 22b y a x +＝1的面积S ＝πab D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 2. 设n 为正整数，f （n ）＝1＋ 21＋31＋…＋n 1，经计算得f （2）＝23，f （4）>2，f （8）>2 5 ，f （16）>3，f （32）> 2 7 ，观察上述结果，可推测出的一般结论为（ ） A. f （2n ）> 212+n B. f （n 2 ）≥22+n C. f （2n ）≥2 2+n D. 以上都不对 3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为（ ） A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 4. 若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上的一点，且P 到另外三个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，正四面体A －BCD 的高为h ，则（ ） A. h >h 1＋h 2＋h 3 B. h ＝h 1＋h 2＋h 3 C. h

人教a版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.1.1合情推理 有答案

人教a 版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.1.1合情推理 有答案 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 的值为( ) A ．27 B ．28 C ．32 D ．33 解析：观察知，5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 所以x －20＝12，得x ＝32. 答案：C 2．用火柴棒摆 “金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2 解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.故选C. 答案：C 3．设n 是自然数，则1 8(n 2－1)的值( ) A ．一定是零 B ．不一定是偶数 C ．一定是偶数 D ．是整数但不一定是偶数 解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，1 8(n 2 －1)＝18(4k 2 ＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18 (n 2－1)的值一定为偶数．

答案：C 4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b ＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的 直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c ＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C. xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1 解析：从方程x a ＋y b ＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c ＝1. 答案：A 5．已知对正数a 和b ，有下列命题： ①若a ＋b ＝1，则ab ≤1 2； ②若a ＋b ＝3，则ab ≤3 2； ③若a ＋b ＝6，则ab ≤3. 根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( ) A ． 2 B.9 2 C ．4 D ．5 解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，6 2，所以若a ＋b ＝9，则ab ≤9 2 . 答案：B 二、填空题 6．已知a 1＝1，a n ＋1＞a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．

高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 演绎推理的发展素材 新人教A版选修2-2

演绎推理的发展 亚里士多德(Aristotle 384—322 BC) 是古代知识的集大成者。在现代欧洲的学术上的文艺复兴以前，虽然也有一些人在促进我们对自然界的特殊部分的认识方面取得可观的成绩，但是，在他死后的数百年间从来没有一个人像他那样对知识有过那样系统的考察和全面的把握，所以，他在科学史上占有很高的地位.是主张进行有组织的研究演绎推理的第一人。 作为自然科学史上第一个思想体系的光辉的例子是欧几里德（Euclid，325 BC—265 BC）几何学。古希腊的数学家欧几里德是以他的《几何原本》而著称于世的。欧几里德的巨大历史功勋不仅在于建立了一种几何学，而且在于首创了一种科研方法。这方法所授益于后人的，甚至超过了几何学本身。欧几里德是第一个将亚里士多德用三段论形式表述的演绎法用于构建实际知识体系的人，欧几里德的几何学正是一门严密的演绎体系，它从为数不多的公理出发推导出众多的定理，再用这些定理去解决实际问题。比起欧几里德几何学中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。事实上，欧几里德本人对它的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性。欧几里德的几何学是人类知识史上的一座丰碑，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。从此以后，将人类的知识整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想。斯宾诺莎(Benedict de Spinoza,1632-1677)的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿(Isaac Newton 1642—1727)的《自然哲学的数学原理》同样如此。其实，他的这部巨著的主要内容都是前人经验的积累，欧氏的贡献在于他从公理和公设出发，用演绎法把几何学的知识贯穿起来，揭示了一个知识系统的整体结构。他破天荒地开辟另一条大路，即建立了一个演绎法的思想体系。直到今天，他所创建的这种演绎系统和公理化方法，仍然是科学工作者不可须臾离开的东西。后来的科学巨人、英国物理学家、经典电磁理论的奠基人麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831～1879）、牛顿(Isaac Newton 1642--1727)、爱因斯坦(Albert Einstein 1879--1955)等，在创建自己的科学体系时，无不是对这种方法的成功运用。 西方欧几里德几何方法，由公理到定理再到证明；笛卡尔(Réné Descartes 1596 - 1650 )的演绎推理成为西方近代科学发展的重要推理形式，牛顿力学就是例子。牛顿虽然声明过“我不需要假设”，但实际上，他仍然需要假设。不用假设，他就无法得到“万有引力”这样的普遍命题和普遍规律。麦克斯韦则在得到maxwekk方程同时应用了三种方法，他在1865年写了三篇文章：第一篇用归纳法，第二篇用类比法，第三篇用演绎法，推出电磁波存在，并预言了光是电磁波。再例如，古希腊的原子概念、原子论，“它的价值不仅在于提出了一切物质由‘原子’构成的想法，更重要的可能还在于：它隐含了一种假设——演绎推理模式”。 爱因斯坦说：理论家的工作可分成两步，首先是发现公理，其次是从公理推出结论。哪一步更难些呢？如果科研人员在学生时代已经得到很好的基本理论、逻辑推理和数学的训练，那么，他走第二步时，只要有“相当勤奋和聪明，就一定能够成功”。至于第一步，如何找出演绎出发点的公理，则具有完全不同的性质。这里没有一般的方法，“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理”，请注意“经验事实”这几个字，它们表明了爱因斯坦方法论中的主流是唯物主义。公理必须来自客观实际，而不能主观臆造，否则就有陷进唯心主义泥潭的危险。爱因斯坦还说：

2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第2章 2.1.1 合情推理

2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点) 2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点) 3.了解合情推理在数学发现中的作用. [基础·初探] 教材整理1 归纳推理和类比推理 阅读教材P26～P27及P30例3以上内容，完成下列问题. 1.归纳推理 2.类比推理

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理.( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理.( ) 【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理. (2)错误.类比推理不一定正确. (3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理. 【答案】(1)×(2)×(3)√ 教材整理2 合情推理 阅读教材P26，完成下列问题. 1.含义 前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理. 2.合情推理的过程 从具体问 题出发→观察、分析、 比较、联想→归纳、类比→提出猜想 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号). ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. 【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对. 【答案】①②③

2020-2021学年高中数学人教版选修1-2演练：第二章2.1-2.1.2演绎推理

第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a ∈R ”，结论是“a 2>0”，那么这个演绎推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．没有错误 解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误． 答案：A 2．指数函数都是增函数，大前提 函数y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1e x 是指数函数，小前提 所以函数y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1e x 是增函数．结论 上述推理错误的原因是( ) A ．大前提不正确 B ．小前提不正确 C ．推理形式不正确 D ．大、小前提都不正确 解析：大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0

3．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ 解析：根据“三段论”特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数．所以①④正确． 答案：A 4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( ) A ．a 2＜b 2＋c 2 B ．a 2＝b 2＋c 2 C ．a 2＞b 2＋c 2 D ．a 2≤b 2＋c 2 解析：当a 2＞b 2＋c 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0， 又A ∈(0，π)知A 为钝角． 答案：C 5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )＜0.对任意正数a ，b ，若a ＜b ，则必有( ) A ．bf (a )＜af (b ) B ．af (a )＞bf (b ) C ．af (a )＜f (b ) D ．bf (b )＜f (a ) 解析：构造函数F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，由题设条件知F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减． 若a ＜b ，则F (a )＞F (b )，即af (a )＞ bf (b )．

2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1(第一课时)归纳推理讲义(含解析)苏教

2．1.1 合情推理 第一课时归纳推理 问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电． 问题2：由问题1你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电． 问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中. 问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？ 提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高． 问题5：数列{a n}的前五项为1,3,5,7,9试写出a n. 提示：a n＝2n－1(n∈N*)． 1．推理 (1)推理的定义 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理． (2)推理的组成 任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理 (1)归纳推理的定义 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2)归纳推理的思维过程如图 实验、观察猜测一般性结论 (3)归纳推理的特点

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围． ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具． ③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围． 2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质． 3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的． 4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据． 5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一． [对应学生用书P13] [例1] 已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝n 1＋a n (n ＝1,2，…)，求出a 2，a 3，a 4， 并推测a n . [思路点拨] 数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n 与a n 的关系即可解决． [精解详析] 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝1 2； 当n ＝3时，a 3＝12 1＋ 12 ＝1 3；

【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案

2.1合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理 [学习目标] 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理． 2．了解合情推理在数学发现中的作用． [知识链接] 1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠． 2．由合情推理得到的结论可靠吗？ 答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了． [预习导引] 1．归纳推理和类比推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 3．合情推理的过程 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 要点一归纳推理的应用 例1观察如图所示的“三角数阵” 1 (1) 22 (2) 343 (3) 4774 (4) 5 1114115 (5) ………… 记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题： (1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； (2)依次写出a2、a3、a4、a5； (3)归纳出a n＋1与a n的关系式． 解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6,16,25,25,16,6 (2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11 (3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4 由此归纳：a n＋1＝a n＋n. 规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解． 跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1； (2)a1＝a，a n＋1＝1 2－a n； (3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，