卵曲线计算
公路卵形曲线计算
一、概念
卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理
根据已知的设计参数，求出包括卵形
曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算
以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：
（图一）
已知相关设计数据见下表：
1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161
卵形曲线参数：
A2=（HY
2-YH
1
）×R
1
（小半径）×R
2
（大半径）÷（R
2
-R
1
）
=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900
A2==84.999
A3==67.082
2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算
卵形曲线长度L
F 由已知条件知：L
F
=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166
卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L
S
，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）
L M =L
S
（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1
=7224.900÷50=144.498
∴HZ'桩号=YH1+L
M
=223.715+144.498=368.213
L
E
=HY2至HZ'的弧长
=A2÷R2=7224.900÷75=96.332
或L
E = L
M
-L
F
=144.498-48.166=96.332
卵形曲线长度L
F =L
M
-L
E
=144.498-96.332=48.166（校核）
HY2=HZ'-L
E
=368.213-96.332=271.881（校核）
由上说明计算正确
3．HZ'点坐标计算（见图二）
（图二）
①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]
Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]
公式中符号含义：
n —项数序号(1、2、3、……n)
！—阶乘
R —圆曲线半径
Ls —缓和曲线长
②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：
X=L-L5÷[40（RL
S ）2]+L9÷[3456（RL
S
）4]–L13÷[599040（RL
S
）6]+L17÷[175472640（RL
S
）
8]- L21÷[7.80337152×1010（RL
S
）10] （公式1）
Y=L3÷[6（RL
S ）] - L7÷[336（RL
S
）3]+L11÷[42240（RL
S
）5] - L15÷[9676800（RL
S
）
7]+L19÷[3530096640（RL
S ）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RL
S
）11] （公式2）
公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长
HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，
L=L
S
=HZ'-YH1
=368.213-223.715=144.498
将L=L
S
代入公式（1）、（2）得：
X=117.1072 Y=59.8839
L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301
偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”
* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
缓和曲线切线角：
a2=90L2÷（πK）
=90×144.4982÷(π×7224.900)
=82°47’28.5”
* K为卵型曲线参数，本例中
K= A2=7224.900
Q3=180-a1-（180-a2）
=180-27°05’00.2”-（180-82°47’28.5”）
=55°42’28.3”
∴YH1"HZ’切线方位角（M"B）
=205°24’33.6” +Q3
=205°24’33.6”+55°42’28.3”
=261°07’01.9”
∴HZ’：AK0+368.213坐标：
+Ccos261°07’01.9”
X=X
YH1
=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293
+Csin261°07’01.9”
Y=Y
YH1
=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838
4．HZ’：AK0+368.213点的切线方位角（D"B）计算
D"B方位角：
=205°24’33.6”+Q2
=205°24’33.6”+82°47’28.5”
=288°12’02.1”
∴B"D切线方位角：
=288°12’02.1”-180
=108°12’02.1”
5．计算卵型曲线上任意点坐标(以HZ’:AK0+368.213作为推算起点)
①计算HY2:AK0+271.881的坐标
∵L= HZ’- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式1、2得:X=92.434 Y=20.022
偏角Q= arctg（Y÷X）=12°13’19.61” 对应弦长C=√（X2+Y2）=94.578
坐标：
X=9890.293+94.578cos(108°12’02.1”-12°13’19.61”)
=9880.442
Y=10006.838+94.578sin(108°12’02.1”-12°13’19.61”)
=10100.902
②与设计值比较:
rX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438
=+0.004
rY=Y计算值-Y设计值=10100.902-10100.904
=-0.002 mm
同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。由此可见，采用此方法计算求得的坐标与设计院通过电脑程序计算的结果相差很小，本人多年来在高速公路多条卵型曲线采用此方法计算其坐标，其计算精确，完全可以作为包括高速公路在内的卵型曲线坐标计算。
道路卵形回旋曲线任意点坐标及方位角计算方法
高等级公路，特别是高速公路的平面线形设计形式很多，但归根结底，它们都由直线、圆和缓和曲线 ( 我国《公路路线设计规范》中规定回旋线或称菲涅尔螺旋线为缓和曲线线形 ) 等公路平面线形要素组合而成。各种平面线形设计形式，如基本形、卵形、 S 形、 C 形等等，对高速公路更加适应汽车转弯时的行车轨迹，消除曲率突变，增进线形美观及行车舒适感、安全感都有极其重要的意义，但同时，也使曲线计算及野外测设更为复杂。本文针对在高速公路设计实际中出现的卵形曲线，推导了缓和曲线段点位坐标计算方法及公式，为现场测设人员提供了有效的计算方案和测设指导。
一、回旋线的基本特征及坐标计算
回旋线上，任意一点的曲率半径ρ与该点至曲线起点的曲线长 l 之积为一常数( 图 1) 即
ρl =A2
(1)
或
式中， A 2 为回旋曲线常数，表征回旋曲线曲率变化缓急程度的量，称 A 为回旋曲线参数。
图 1
1. 回旋曲线上任意一点坐标计算
由图 1( 曲线右旋 ) ，取回旋线的起始点 ZH 处的切线方向为 x 轴，法线方向为 y 轴，任意一点的切线方向方位角为缓和曲线角β。在缓和曲线上对任意一点 P 取微分
dl=ρdβ
dx=dlcosβ
dy=dlsinβ
考虑式 (1) 对β或 l 在区间 [0 ，β］或 [0 ， l ］上积分后有下列关系式成立
l 2 ＝ 2A 2 β
(2)
(3)
(4)
或者
(5)
(6)
对于公路平面线形的基本形，其缓和曲线始于直线终于圆曲线，故缓和曲线的曲率半径ρ变化于∞ ～ R ( 圆曲半径 ) 。设缓和曲线段长度为 l s, 则
(7)
(8)
2. 回旋线的几何要素
见图 1 ，回旋线的几何要素计算公式如下：任意点 P 处的曲率半径 ( 由式 (1) 和式 (2))
(9)
P 点的回旋曲线长
(10)
P 点的缓和曲线角 ( 切线方位角，由 (9) 式 )
(11)
上面导出了当参数分别为β和 l 时的右旋缓和曲线上任一点的坐标和几何要素公式。显然，缓和曲线左旋时 ( 图 2) ，与右旋相比， x 坐标公式一致，而 y 、β反号。若令sign=±1 ，缓和曲线右旋时取 sign=1 ，左旋时取 sign=-1 ，则坐标和方位角等符号量可统一表示为：
(12)
图 2
3. 回旋曲线的基本特征
1. 几何特性。回旋曲线随着曲线长度的增加，曲率按线性函数增加。起点处 l =0 ，曲率 l /ρ＝ 0 ，终点处 l =l s，曲率 l /p＝常数。
2. 相似性。回旋曲线的形状只有一种，回旋曲线参数 A 即为放大系数。
二、卵形曲线形式及其缓和曲线段坐标计算
按直线 - 缓和曲线 (A1)- 圆曲线 (R1)- 缓和曲线 - 圆曲线 (R2)- 缓和曲线
(A2)- 直线的顺序组合构成的平面线形形式 (R1≠R2) ，称为卵形曲线 ( 图 3) 。卵形曲线中，显然圆曲线 - 缓和曲线 - 圆曲线段的缓和曲线坐标计算是新的课题，它成
为整个卵形曲线计算的瓶颈。解决了这个问题，其他平面线形形式的曲线坐标计算也就迎刃而解了。
图 3
解决问题的关键在于对两圆曲线之间的缓和曲线的正确认识： (1) 两不等圆曲线之间的缓和曲线仍是回旋线； (2) 该回旋线是没有起点 (ρ＝ 0) 的回旋线段。
于是，解决问题的方案是：第一，仍须确定哪端为回旋曲线的起点 (ρ＝ 0) 端；第二，假定缓和曲线起点而套用平面曲线基本形计算回旋曲线任意一点坐标及其方位角；第三，坐标变换为大地 ( 或施工区 ) 坐标形式，而这正是高效测设曲线的现代发展所需要的坐标形式。
我们知道，回旋曲线起点处曲率半径ρ=∞ ，随着离曲线起点的曲线长度增加，曲率半径由大变小。因此，卵形曲线两圆之间回旋线的起点必在相接圆半径较大的圆曲线那一端。由此再确定回旋线的右或左旋形式以确定独立坐标公式 (sign 的值 ) 的使用。根据回旋线上特征点的已知大地坐标和独立坐标，可计算出坐标变换参数，从而得到回旋线上任意一点的大地坐标及其切向、法向方位角。
以图 3 为例，因为 R 1 >R2，可见回旋线的起点在 R 1 圆曲线的那一端，显然，该回旋线右旋。设回旋曲线起点为 O ，起点处切线方向为 x 轴，法线方向为 y 轴，建立独立坐标系。
O-YH 弧长： l
1
＝ A 2 /R1
O-HY 弧长： l
s
=l1+l0＝ A 2 /R2
这里， l 0 =l YH-HY为缓和曲线段长度。
缓和曲线上任意点 P 至起点 O 的弧长为
l′ ＝ l
1
+l
这里， l 为 P 至圆缓点 YH 的弧长。
将 l 1 ,l s,l′分别替代 l 代入式 (7) 、式 (8) 得到圆缓点 YH 、缓圆点 HY 、任意点 P 独立坐标系坐标 x YH,y YH,x HY,y HY,x P,y P( 注意，计算时式中 R ＝ R 2 ) 。
设独立坐标系 xOy 原点 O 的大地坐标为 (X0,Y0) ， x 轴的大地方位角为α0 ，由 YH 、 HY 点的大地坐标和独立坐标可分别反算直线 YH-HY 的坐标方位角α
1 ,α
2
，则
α0 =α1-α2
(13)
于是，独立坐标系中任意一点 P (x,y) 的大地坐标 X ， Y 为
X ＝ X
+x cosα0-y sinα0
(14)
Y ＝ Y
+x sinα0+y cosα0
(15)
这里， X 0 ,Y0可由点 YH 或 HY 已知坐标数据 ( 大地、独立 ) 用上两式求得。
P 点切线大地方位角
α=α0+signβ
(16)
法线大地方位角
τ＝ (α-sign90)±180
三、算例
广东某高速公路一段卵形曲线设计数据的特征点大地坐标见表 1 ，缓和曲线参数A ＝ 30 0 ，缓和曲线长度 l
=157.50 m ，两相接圆曲半径见图 4 。求缓和曲线内
两里程桩号点的大地坐标及法向方位角。
图 4
表 1 部分设计数据
简要计算如下：
因 R 2 >R1，可见回旋线起点在 R 2 端且左旋 (sign=-1) ，建立独立坐标系如图 4 。则
l
=A2/R2=30 m
1
l
=l1+l0=A2/R1＝ 187.50 m
s
由此代入式 (7) 、式 (8) 并注意到 R ＝ R 1 =480 得 HY ， YH 点独立坐标为
由直线 HY-YH 的大地方位角α 1 和独立方位角α 2 得独立坐标轴 x 的大地方位角
α=α1-α2＝138°51′05″
则
X
＝ 4 094.145 Y 0 ＝ 3 901.605
于是缓和曲线上点 K 0 +420 处、 K 0 +380 处坐标与方位角数据可得
K
+420 ： (l′=l1+484.93-420=94.93)
x =94.906 y =-1.584 β＝2°52′06″
X =4 023.723 Y =3 965.247 τ＝45°58′59″
K
+380 ： (l′=l1+484.93-380=134.93)
x =134.792 y =-4.546 β＝5°47′43″
X =3 995.637 Y =3 993.723 τ＝43°03′22″
四、结束语
卵形曲线中两圆曲之间的缓和曲线段是螺旋回旋线不含起点的一部分。其上任意点的坐标计算仍可套用平面线形基本形中的缓和曲线点的坐标公式。本文给出的卵形曲线中缓和曲线段任一点的坐标特别是大地坐标及其法向方位角的解算方案及公式，既解决了测设数据的数值计算问题。
卵形曲线坐标计算程序
L1 LbI 0
L2 ｛E,K,W,｝:K:W:E:F:R:V:G:H:N:D:O
L3 S=R－O:C=Abs((F－D)RO/S)
L4 R>O=> P=CR/((E－F)NR+C):≠> P=CR/((F－E)NR+C)△
L5 I=PR/(P+R)
L6 U=V－180(E－F)/2/I/π
L7 R
L8 R
L9 L=Abs(E－Q)
L10 A=(L－M)－(Lxy5－M xy5)/40/C2+(Lxy9－Mxy9)/3456/ Cxy4:B=( Lxy3－Mxy3)/6/C－(Lxy7 －Mxy7)/336/ Cxy3+( Lxy11－Mxy11)/42240/ Cxy5
L11 R
L12 T=V－180NPM2/2/π/C
L13 X=G+PA cos T－NB sin T:Y=H+PA sin T+NB cos T
L14 X=X+W cos(U+K)▲Y=Y+W sin(U+K)▲
L15 Goto 0
曲线计算公式
一、曲线要素计算 已知：JDZH 、JDX 、JDY 、R 、L S1、L S2、L H 、T 、A 1、A 2（L H =L S1+L S2+圆曲线长） 1、求ZH 点（或ZY 点）坐标及方位角 ?? ? ??-=-=-=11sin cos A T JDY ZHY A T JDX ZHX T JDZH ZHZH 2、求HZ 点（或YZ 点）坐标及方位角 ?? ? ??+=+=+-=22sin cos A T JDY HZY A T JDX HZX L T JDZH HZZH H 3、求解切线长T 、外距E 、曲线长L （1）圆曲线 ?? ? ??=-==180/)1)2/cos(/1()2/tan( απααR L R E R T （2）缓圆曲线 )2/(2/)2/cos(/)(2180/)21()2/tan( )(02 0R l l l Rl l R p R E l R L q p R T s s s H s H H ===?????-+=+?-=+?+=ββαπβα时当其中 二、直线上各桩号坐标及方位角计算 已知：ZH 、X 、Y 、A ??? ??+=+==-=A L Y DY A L X DX A T ZH DZH L sin cos 三、第一缓和曲线上各桩号点坐标及方位角计算 已知：ZHZH 、ZHX 、ZHY 、A 1、R 、L S1、i （Z+1Y-1） ?? ? ???-+=?++=??-==-=-=1111121132 125cos sin sin cos /180)2/() 6/()40/(A y i A x ZHY DY A y i A x ZHX DX Rl l i A T Rl L y l R L L x ZHZH DZH L s s s π 四、圆曲线上各桩号点坐标及方位角计算 已知：ZHZH 、ZHX 、ZHY 、A 1、R 、L S1、i （Z+1Y-1） ?? ? ???-+=?++=?+?-=?? ???=-==++-=-++=--=11111212311102 1123 1111 cos sin sin cos /180)/2/(24/240/2/2/24/)]/2/cos(1[240/2/)/2/sin(A y i A x ZHY DY A y i A x ZHX DX R L R l i A T R l p R l l q R l R l R L R l R y R l l R L R l R x ls ZHZH DZH L s s s s s s s s s s πβ其中 五、第二缓和曲线上个桩号坐标及方位角计算 已知：HZZH 、HZX 、HZY 、A2、R 、L S2、i （Z+1Y-1） ??????--=?+-=??+==-=-=222222223 2 225cos sin sin cos /180)2/()6/() 40/(A y i A x HZY DY A y i A x HZX DX Rl l i A T Rl L y l R L L x DZH HZZH L s s s π 六、边桩坐标求解 已知：DZH 、X 、Y 、T 、BZJL （Z+Y-）、DLJJ 、N （距中桩距离，左正右负） ?? ? ??-=-=+=T N Y BDY T N X BDX T T sin cos α 七、纵断面高程计算 （1） 直线段上高程计算 已知：直线上任一点桩号（ZH ）、高程（H ）、纵坡（i ） )(*ZH DZH i H DH -+= （2） 竖曲线上高程计算 已知：竖曲线起点桩号（ZH ）、起点高程（H ）、竖曲线半径R 、起点坡度（i ）、k （凸曲线+1、凹曲线-1） ) 2/(2 R l k il H DH ZH DZH l ?-+=-= 注： JDZH 、JDX 、JDY ：交点桩号、交点X 、Y 坐标 R 、L S1、L S2：半径、缓和曲线1、缓和曲线2 LH ：缓和曲线1长 +圆曲线长+ 缓和曲线2长 A1、A2：方位角1、方位角2 T ：在曲线要素中代表切线长；在坐标计算中代表被求解点的坐标方位角。 DLJJ ：道路交角（右夹角α）。 BZJL ：边桩距中桩距离：左为正值，右为负值 DZH 、DX 、DY 、DH 、BDX 、BDY ：被求解点桩号、点X 值、点Y 值、点高程值、边桩点X 值、边桩点Y 值 i （Z+1Y-1)：JD 处道路转向：左转时+1，右转时为-1
道路坐标计算公式
曲线坐标计算 1、曲线要素计算 （1）缓和曲线常数计算 内移距R l 24/p 2 s = 切垂距 23 s 240/2/m R l l s -= 缓和曲线角R l R l s s πβ/902/0??== （2）曲线要素计算 切线长 m R T ++=2/tan )p (α 曲线长 ?+=?-+=180/]180/)2([20απβαπR l R l L s s 外矢距 R R E -+=)]2/cos(/)p [(0α 切曲差 L T q -=2 2、主要点的里程推算
s s s S l YH HZ )/22l -(L QZ YH )/22l -(L HY QZ l +=+=+=+=-=ZH HY T JD ZH 检核： HZ T JD =-+q 3、方位角计算 根据已知JD1和JD2的坐标计算出 21JD JD -α 偏角βαα±=--211JD JD JD ZH ?±-=-18011JD ZH ZH JD αα 4、计算直线中桩坐标 (1)计算ZH 点坐标： ZH JD JD ZH ZH JD JD ZH T y y T x x --?+=?+=1111sin cos αα (2)计算HZ 点坐标： 2 11211cos cos JD JD JD HZ JD JD JD HZ T y y T x x --?+=?+=αα (3)计算直线上任意点中桩坐标 待求点到JD1的距离为i L 2 112 11sin cos -JD JD i JD i JD JD i JD i i L y y L x x HZ T L --?+=?+=+=αα里程 待求点里程 5、计算缓和曲线中桩坐标 (1)第一缓和曲线上任意点中桩坐标 在切线坐标系中的坐标为： s i s i Rl l y Rl l l x 6/)(40/3 25=-= ZH 到所求点方位角：
卵形曲线计算方法
卵形曲线坐标计算方法 一、概念 卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。 二、卵形曲线坐标计算原理 根据已知的设计参数，求出包括卵形 曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。 三、坐标计算 以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一： （图一） 已知相关设计数据见下表： 主点 桩号坐标 （m）切线方位角 （θ） X Y ° ’ ” ZH AK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2 HY1 AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6 YH1 AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6 HY2 AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5 YH2 AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2 HZ AK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 00 1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算 A1= =59.161 卵形曲线参数： A2=（HY2-YH1）×R1（小半径） ×R2（大半径）÷（R2-R1） =（271.881-223.715）×50×75÷（75-50） = 7224.900 A2= =84.999 A3= =67.082 2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算 卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166
卵形曲线(公路线路计算)
【摘要】在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。 【关键词】卵形曲线坐标计算 一、概念 卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。 二、卵形曲线坐标计算原理 根据已知的设计参数，求出包括卵形 曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。 三、坐标计算
以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一已知相关设计数据见下表： 1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算 卵形曲线参数： A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1） =（271.881-223.715）×50×75÷（75-50） = 7224.900 2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算 卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166 卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）
L M=L S（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1 =7224.900÷50=144.498 ∴H Z'桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213 L E=HY2至HZ'的弧长 =A2÷R2=7224.900÷75=96.332 或L E= L M-L F=144.498-48.166=96.332 卵形曲线长度L F=L M-L E=144.498-96.332=48.166（校核） HY2=HZ'-L E=368.213-96.332=271.881（校核） 由上说明计算正确 3．HZ'点坐标计算（见图二） ①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2] Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1] 公式中符号含义：
公路竖曲线计算
竖曲线及平纵线形组合设计 （纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。） 竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。 纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。 一、竖曲线 如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i 1 和i 2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i 1-i 2 ，其中i 1、i 2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。 当 i 1- i 2为正值时，则为凸形竖曲线。当 i 1 - i 2 为负值时，则为凹形竖曲线。 （一）竖曲线基本方程式 我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。其基本方程为： Py x 22= 若取抛物线参数P 为竖曲线的半径 R ，则有： Ry x 22 = R x y 22= （二）竖曲线要素计算公式
竖曲线计算图示 1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得： ==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω 3、竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =2 ωR 4、竖曲线的外距： E =R T 22 ⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：R x y 22= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ； R —为竖曲线的半径，m 。 二、竖曲线的最小半径 (一)竖曲线最小半径的确定 1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素 （1）缓和冲击 汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。 （2）经行时间不宜过短
卵曲线计算
公路卵形曲线计算 一、概念 卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。 二、卵形曲线坐标计算原理 根据已知的设计参数，求出包括卵形 曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。 三、坐标计算 以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一： （图一）
已知相关设计数据见下表： 1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161 卵形曲线参数： A2=（HY 2-YH 1 ）×R 1 （小半径）×R 2 （大半径）÷（R 2 -R 1 ） =（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900 A2==84.999 A3==67.082 2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算
卵形曲线长度L F 由已知条件知：L F =HY2-YH1=271.881-223.715=48.166 卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S ，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用） L M =L S （YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1 =7224.900÷50=144.498 ∴HZ'桩号=YH1+L M =223.715+144.498=368.213 L E =HY2至HZ'的弧长 =A2÷R2=7224.900÷75=96.332 或L E = L M -L F =144.498-48.166=96.332 卵形曲线长度L F =L M -L E =144.498-96.332=48.166（校核） HY2=HZ'-L E =368.213-96.332=271.881（校核） 由上说明计算正确 3．HZ'点坐标计算（见图二） （图二） ①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]
曲线公式
建立环境：Pro/E软件、笛卡尔坐标系 x=50*t y=10*sin(t*360) z=0 名称：螺旋线(Helical curve) 建立环境：PRO/E；圆柱坐标（cylindrical） r=t theta=10+t*(20*360) z=t*3 蝴蝶曲线 球坐标PRO/E 方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 8 Rhodonea 曲线 采用笛卡尔坐标系 theta=t*360*4 x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta) ********************************* 圆内螺旋线 采用柱座标系 theta=t*360 r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta) 渐开线的方程 r=1 ang=360*t s=2*pi*r*t x0=s*cos(ang) y0=s*sin(ang) x=x0+s*sin(ang) y=y0-s*cos(ang) z=0 对数曲线 z=0
y = log(10*t+0.0001) 球面螺旋线（采用球坐标系） rho=4 theta=t*180 phi=t*360*20 名称：双弧外摆线 卡迪尔坐标 方程：l=2.5 b=2.5 x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360) 名称：星行线 卡迪尔坐标 方程： a=5 x=a*(cos(t*360))^3 y=a*(sin(t*360))^3 名稱:心脏线 建立環境:pro/e,圓柱坐標 a=10 r=a*(1+cos(theta)) theta=t*360 名稱:葉形線 建立環境:笛卡儿坐標 a=10 x=3*a*t/(1+(t^3)) y=3*a*(t^2)/(1+(t^3)) 笛卡儿坐标下的螺旋线 x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360)) z = 10*t
卵形曲线辅助点计算(即完整缓和曲线起点的支距)解算步骤.
5800卵形曲线坐标计算歪哥收集整理 50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤 卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。 在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。 曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。LS=卵型曲线长. （已知） 完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径 当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1) E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS） 6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] 完整缓和曲线切线角（即两切线交角） L所对应玄长C=√（E2+F2） 大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2) 小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2) O=小半径处切线方位角（已知） 小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号) 完整缓和曲线（起点）坐标： X=A+CcosQ Y=B=CsihQ 完整缓和曲线（起点）处切线方位角： O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号) 以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。 5800卵形曲线坐标计算歪哥收集整理 51 LXQX 卵形曲线辅助计算点（即完整缓和曲线起点的支距）坐标及切线方位角编程Lbl 1: ?A : ?B : ?O : ?W :“R1”?I : “R2”?J : I×J÷(J-I) →R : WR→U : U÷I→L ↙
各种曲线计算公式
一、公路平曲线坐标计算公式 1、缓和曲线： Lb1 0 {K,D} ①T=A2/R ②L=J（K-O）+T ③B=T2 /2/A2 *180/π④M=（L-T）-（L5-T5）/40/A4+（L9-T9）/3456/A8-（L13-T13）/599040/A12+（L17-T17）/17542600/A16 5.N=(L3-T3)/6/A2-(L7-T7)/336/A6+(L11-T11)/42240/A10-(L15-T15) /9676800/A14+(L19-T19)/3530097000/A18 ⑥I=(L2-T2)*180/2/A2/π ⑦X=C+Mcos(Q-ZB)-ZNsin(Q-ZB)+Dcon(Q+ZI+S)◢ ⑧Y=F+Msin(Q-ZB)+ZNcos(Q-ZB)+Dsin(Q+ZI+S)◢ Goto 0 注：A：缘和曲线参数 R：起点半径 J：曲率半径判定值（当曲率半径由小到大取1,否则取-1）（当起点半径到终点半径是由大或无穷大到小取+1，反之则取-1） K：欲求点里程 O：缘和曲线起点里程 C：缘和曲线起点X坐标Q：起始方位角（当J=-1时，方位角应+180。） Z：偏角判定值(当J=1时，左偏为-1，右偏为1；当J=-1时，左偏
为1，右偏为-1) D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：缘和曲线起点Y坐标 2、圆曲线 Lb1 0 {K,D} ①L=K-0 ②X=C+R[sin(Q+L/R*180/π)-sinQ]+Dcos(Q+L/R*180/π+S)◢ ③Y=F-R[cos(Q+L/R*180/π)-cosQ]+Dsin(Q+L/R*180/π+S)◢ Goto 0 注：K：欲求点里程 O：圆曲线起点里程 C：圆曲线起点X坐标 R：圆曲线半径 (左偏为负) Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：圆曲线起点Y坐标 3、直线 Lb1 0 {K,D} ①L=K-0 ②X=C+LcosQ+Dcos(Q+S)◢
圆曲线缓和曲线计算公式
圆曲线缓和曲线计算公式 2011-09-13 15:19:36| 分类： |字号订阅 第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式) 2010-07-29 13:10:53阅读706评论0 字号：大中小订阅 [教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)未知2009-12-09 19:04:30 广州交通技术学院第九章道路工程测量(road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量(road construction survey) 。 （一）勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 分为：初测(preliminary survey) 和定测(location survey) 1、初测内容：控制测量(control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图(profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量(center line survey) 、测纵断面图(profile) 、横断面图(cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。 （二）道路施工测量(road construction survey) 按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。 本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。 二、中线测量(center line survey)
卵形曲线计算(1)
2、卵形曲线计算 本设计由于12~JD JD 之间的距离偏小，又都为右偏，直线长度很难满足要求，同时也为 适应地形条件的变化，所以此处敷设卵形曲线。卵形曲线设计计算如下： 运用纬地软件设计卵形曲线，系将卵形曲线看做是两个同向基本型平曲线的组合对接，首先给定小圆半径以及小圆的前缓和曲线长度：1700R =，1100S L =，这个前缓和曲线的起点半径为无穷大，而后缓和曲线长度为0。然后切换到交点2，给定前缓和曲线长100F L =，后缓和曲线长2100S L =，由于中间过渡段曲线的半径变化是从12~R R ，所以第二段曲线的前缓 和曲线F L 起点给定半径为小圆半径700，终点半径即大圆曲线半径2R 采用纬地软件的 “T1+Rc+S2”或“T1+S1+Rc ”反算模式，计算结果为1451.22。 卵形曲线设计参数宜满足如下三个条件： ①112F R A R ≤≤ ②120.20.8R R ≤≤ ③10.0030.03D R ≤≤ 已知：1212700,1451.22,100S S F R R L L L ===== 计算：（如图2.1） 图2.1 卵形曲线示意图[11]
122112 12221212 1212120.27001451.220.480.8 ,,,242422 F F F F F F F F R R D R R O O O O L L L L P P q q R R ≤==≤=--===== 221212 22112 21 221 212112212112111,()1001451.22700135227.231451.22700 350367.737002 135227.23135227.23193.18,93.187001451.22 24F F F F F F F F F F F F F F F F F F A A L L R R A R R L L L R R L R R A R R A R A R A A L L R R L P R ==-=-==-??==-=≤=≤======== 反推： 22 222121212211293.18193.182.22,0.252470024241451.22 193.1893.1896.59,46.592222 749.011451.22700F F F F F F L P R L L q q O O D R R O O =====??==========--=-1749.01 2.21 0.003 2.217000.00310.03 D R -=≤==≤ 综上计算，本设计卵形曲线设计满足《公路路线设计规范》要求。
公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式
程序使用说明 Fx9750、9860系列 程序包含内容介绍:程序共有24个，分别是： 1、0XZJSCX 2、1QXJSFY 3、2GCJSFY 4、3ZDJSFY 5、4ZDGCJS 6、5SPJSFY 7、5ZDSPFY 8、5ZXSPFY 9、6ZPJSFY 10、7ZBZFS 11、8JLHFJH 12、9DBXMJJS 13、9DXPCJS 14、9SZPCJS 15、GC-PQX 16、GC-SQX 17、PQX-FS 18、PQX-ZS 19、 ZD-FS 20、ZD-PQX 21、ZD-SQX 22、ZD-ZS 23、ZDSP-SJK 24、ZXSP-SJK 其中，程序2-14为主程序，程序15-24为子程序。每个主程序都可以单独运算并得到结果，子程序不能单独运行，它是配合主程序运行所必需的程序。刷坡数据库未采用串列，因为知道了窍门，数据库看起很多，其实很少。 程序1为调度2-8程序； 程序2为交点法主线路(含不对称曲线)中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序； 程序3为主线路中边桩高程计算及路基抄平程序； 程序4为线元法匝道中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序； 程序5为匝道线路中边桩高程计算及路基抄平程序； 程序6为任意线型开口线及填筑边线计算放样程序； 程序7专为主线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量； 程序8专为匝道线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量； 程序9为桥台锥坡计算放样程序； 程序10为计算两点间的坐标正反算程序； 程序11为距离后方交会计算测站坐标程序；
道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)
道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式) 时间:2009-12-09 19:04:30 来源:广州交通技术学院作者:未知我要投稿我要收藏投稿指南 第九章道路工程测量 (road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设 一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量 (road construction survey) 。 （一）勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 分为：初测 (preliminary survey) 和定测 (location survey) 1、初测内容：控制测量 (control survey) 、测带状地形图 (topographical map of a zone) 和纵断面图 (profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量 (center line survey) 、测纵断面图 (profile) 、横断面图 (cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。 （二）道路施工测量 (road construction survey) 按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。
高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算
高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算 瑞国 二航局分公司测试中心 摘 要：高速公路立交匝道平曲线普遍采用卵形曲线形式，关于其坐标的计算的原理与方法在众多书籍中介绍的较繁琐或不甚全面，笔者结合施工经验，利用工程实例对卵形曲线的坐标计算进行推导及验证。 关键词：高速公路 立交匝道 卵形曲线 坐标计算 1 引言 近年来，随着城市的发展需要，我国也逐渐加大对各城市的高速公路建设的资金投入，高速公路已占据我国公路网中的主要地位，设计单位为了使高速公路中立交匝道的线型美观和流畅，不可避免的需要插入卵形曲线，所以对于测量人员而言，掌握卵形曲线的坐标计算原理与方法显得尤为重要，本文通过对卵形曲线原理的分析以及公式推导，并结合工程实例进行计算验证，以此运用于高速公路的施工测量工程实践。 2 卵形曲线的概念 卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段非完整的缓和曲线而构成的复曲线。即卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。在计算包含卵形曲线的立交匝道时，将卵形曲线转化成完整的缓和曲线后按照缓和曲线公式计算，问题与难点便迎刃而解。 3 卵形曲线坐标计算原理 对于初学者，判定某段缓和曲线是否为卵形曲线的技巧为：将该段的缓和曲线参数平方除以该段缓 和曲线的长度，计算出数值是否等于与其相连接的圆曲线半径，用公式表达为R L A 2 ,若该公式结果成立，则为正常缓和曲线，若结果不成立，则为卵形曲线。 如图1所示，在半径为1R 与2R 的两圆曲线间插入长度为F L 的非完整缓和曲线，此段缓和曲线的端点分别为YH 和HY 点，首先计算出整条完整缓和曲线的起点桩号'ZH 或终点桩号'HZ （该图1中计算出点桩号'HZ ）、'HZ 的坐标)Y ,(X C C 、'HZ 的切线方位角C W （即图1中CD 的方位角），最后根据以上条件求得卵形曲线上任意一点桩号的坐标和切线方位角。
公路竖曲线计算
公路竖曲线计算
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课 题：第三节 竖曲线 第四节 公路平、纵线形组合设计 教学内容：理解竖曲线最小半径的确定；能正确设置竖曲线；掌握竖曲线的要素计算、竖曲线与路基设计标高的计算；能正确进行平、纵线形的组合设计。 重 点：１、竖曲线最小半径与最小长度的确定；２、竖曲线的设置； 3、平、纵线形的组合设计。 难 点：竖曲线与路基设计标高的计算;平、纵线形的组合设计。 第三节 竖曲线设计 纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和,这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。 竖曲线的形状,通常采用平曲线或二次抛物线两种。在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。 纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线,反之为凹形竖曲线。 一、竖曲线 如图所示,设相邻两纵坡坡度分别为i 1 和i 2,则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i 1-i ２ ,其中i 1、i 2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。 当 i １- i 2为正值时,则为凸形竖曲线。当 i １ - i 2 为负值时，则为凹形竖曲线。 (一)竖曲线基本方程式 我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。其基本方程为: Py x 22= 若取抛物线参数P 为竖曲线的半径 R ，则有： Ry x 22 = R x y 22 = （二)竖曲线要素计算公式 竖曲线计算图示 １、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得: ==PQ h )()(2112 li y l x R y y A A q p ---=-R l 22= 2、竖曲线曲线长: L = R ω ３、竖曲线切线长： T= T A =T Ｂ ≈ L/２ = 2 ω R ４、竖曲线的外距： Ｅ =R T 22 ⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：R x y 22 = 式中：ｘ —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点)的距离, m; R —为竖曲线的半径，m 。
SM2椭圆曲线参数选取
关于SM2椭圆曲线参数选取 一．安全的椭圆曲线的选取 1.椭圆曲线上的公钥密码体制的安全性是建立在椭圆曲线离散对数的基础上, 但并不是所有椭圆曲线都可以应用到公钥密码体制中, 为了保证其安全性, 必须选取安全椭圆曲线,即只有选到合适的有限域GF(p)和椭圆曲线(ECC)，能够抵抗攻击ECDLP算法的攻击，才能保证所选ECC的安全性。 若某椭圆曲线存在优于n1/2级（n是基点阶次）计算复杂度的攻击方法，则称此曲线为弱椭圆曲线。Fp上的超奇异椭圆曲线（有限域Fp的特征整除q+1-#E（Fp））和Fp上的异常曲线（#E（Fp）=p）都是弱椭圆曲线。（国密局文档p4，p25A.4抗攻击椭圆曲线满足的条件）。下面是选取曲线时应遵循的原则：（一种椭圆曲线参数生成的快速算法） （1）为了抗击Pollard-ρ攻击，所选取椭圆曲线的阶#E(GF(p))的分解式中应该包含一个大的素数因子，目前应不小于160bit； （2）为了抗击Weil对和Tate对的攻击，对于1≤k≤30，n不能除p k-1（不宜选取超奇异椭圆曲线）； （3）为了抗击Semaev-Smart-Satoh-Araki的攻击所选曲线的阶不能等于该曲线所定义的有限域的阶，即#E(F P)≠p（不宜选取异常椭圆曲线）； （4）对于二进制域GF(2m)的度m不宜为合数。Gaudry，Hess和Smart提出，若m有小约数l（l=4），存在比Pollard's rho算法更
快求解ECDLP的方法。 （5）选择GF(p)的子域H，满足它的阶|H| 是#E 的最大素因子n，并在H 上实现ECC。 2.一般来说有4 种寻找安全椭圆曲线的方法:（椭圆曲线密码体制及其参数生成的研究.2006.DR） (1) 有限域GF( p) 上随机生成一椭圆曲线, 直接计算其阶, 判断阶是否为大素数或含大素数因子, 若是即确定,否则继续选取曲线, 直至符合条件。 (2) 取具有一定特殊性椭圆曲线的系数, 计算该椭圆曲线的阶, 对该阶进行判断, 直至找到所需要的安全曲线。 (3) 如果p = 2m , 其中m 能被一个比较小的整数d 整除, 首先在有限域GF( p1 ) ( p1 = 2 d ) 上选择一椭圆曲线E，并计算其阶, 根据此值, 利用Weil 定理[ 2] 计算该曲线在其扩域GF( p) 上的阶, 若此阶符合安全标准, 再找曲线E在域GF( p) 上的嵌入E, 则E 即为所需的安全椭圆曲线。 (4) 首先给出具有安全条件的曲线阶, 然后构造一具有此阶的椭圆曲线。目前国内外比较流行的计算椭圆曲线阶的算法有complex multiplication 算法、SEA 算法、Satoh 算法。应用广泛的椭圆曲线公钥密码体制( ECC) 中大多是基于特征2 的有限域上。 3.尽管ECC的参数选取方法有许多种，应用最多的是随机选择方法，它是根据任意给定曲线的系数，计算曲线的阶直到找到素数(或近素数)阶的椭圆曲线。
卵行曲线的计算方法
ＣＯＭＭＵＮＩＣＡＴＩＯＮＳＳＴＡＮＤＡＲＤＩＺＡＴＩＯＮ ＣＯＭＭＵＮＩＣＡＴＩＯＮＳＳＴＡＮＤＡＲＤＩＺＡＴＩＯＮ． Ｎｏ．２／３，２００７（ＩＳＳＵＥＮｏ．１６２／１６３） ＪＢＨ《交通标准化》●２００７年第２／３期（总第１６２／１６３期）●卵形曲线的坐标计算 张正辉１，李海鹏２，何方海２ （１．江西省交通职业技术学院，江西南昌３３００１３；２．武警交通直属工程部，北京１０００２９） 摘要：卵形曲线是路线设计中几种复杂的曲线之一，但与其相关内容的介绍很少，因此根据卵形曲线的定义及设计参数给出其坐标的计算过程很有实际意义。 关键词：卵形曲线；坐标；计算中图分类号：Ｕ４１２．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００２－４７８６（２００７）０２、０３－０１２９－０２ ＣｏｍｐｕｔａｔｉｎｇＣｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｏｆＥｇｇ－ｓｈａｐｅｄＣｕｒｖｅｓ ＺＨＡＮＧｚｈｅｎｇ－ｈｕｉ１，ＬＩＨａｉ－ｐｅｎｇ２，ＨＥＦａｎｇ－ｈａｉ２ （１．ＪｉａｎｇｘｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅｏｆＴｒａｆｆｉｃ，Ｎａｎｃｈａｎｇ３３００１３，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ ＤｉｒｅｃｔｌｙＵｎｄｅｒＣｈｉｎｅｓｅＰｅｏｐｌｅ′ ｓＡｒｍｅｄＰｏｌｉｃｅＦｏｒｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００２９，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｅｇｇ－ｓｈａｐｅｄｃｕｒｖｅｓｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｃｕｒｖｅｓｆｏｒｄｅｓｉｇｎｒｏａｄｌｉｎｅ，ｂｕｔｔｈｅｒｅｌａｔｅｄ ｃｏｎｔｅｎｄｉｓｖｅｒｙｒａｒｅ．Ｓｏ，ｔｈｅｒｅａｒｅｍｕｃｈｐｒａｃｔｉｃａｌｍｅａｎｉｎｇｓｆｏｒｇｉｖｉｎｇｔｈｅｃｏｕｒｓｅｏｆｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｃｏｏｒ－ｄｉｎａｔｅｓｏｆｅｇｇ－ｓｈａｐｅｄｃｕｒｖｅｓａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｅｇｇ－ｓｈａｐｅｄｃｕｒｖｅｓａｎｄｉｔｓｄｅｓｉｇｎ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｇｇ－ｓｈａｐｅｄｃｕｒｖｅｓ；ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ；ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ８３．２５２０．８１￣１．６０１．２１拱梁（对称）竖弯９３．４３８０．９９￣１．４３１．２１ 拱梁（反对称）竖弯１０４．２２９０．６１￣１．３６０．９７拱梁（反对称）侧弯１１４．６８８０．４５￣１．０９０．７７拱梁（反对称）扭转１２５．０５９０．５６￣０．７６０．６６拱梁（对称）竖弯１３５．６２５０．４１￣１．０１０．７１拱梁（反对称）竖弯１４５．７６２０．４２￣０．６４ ０．５３拱梁（对称）侧弯１５６．０１６拱梁（反对称）竖弯１６７．１２９拱梁（对称）竖弯１７ ７．７９３ 拱梁（对称）扭转 －－－－－ － 表１（续）４结论 通过环境振动试验和试验模态分析，共获得大 桥整体振动的前１７阶振型。从振动试验结果可以看出： ａ）大桥基频为０．７８１Ｈｚ，振动形式为拱梁反对称竖向弯曲；第一阶横桥向弯曲振动频率为１．２３１ Ｈｚ；第一阶扭转振动频率为１．８９５Ｈｚ；第一阶扭弯 频率比为２．４３；ｂ）拱肋与主梁的绝大部分振动形态是耦合的， 尤其是竖向弯曲振动；同时，拱梁竖向弯曲和横向弯曲（侧弯）振动也常有耦合； ｃ）大桥整体振动各振型的阻尼比大致介于０．５％￣２．４％之间，在钢－混凝土组合结构的正常范围； 低阶振型阻尼比稍大。 桥梁荷载试验是新建桥梁交工验收时进行承载力评定时，检测桥梁整体受力性能是否满足设计文件和有关标准规范要求，也是评定桥梁运营荷载等级最直接和有效的手段。动载试验通过测试桥梁在动载作用下的响应，分析桥梁的频率、阻尼和振型等模态参数，根据动力响应和模态参数进行桥梁承载能力评定。动载试验工作量小、费用较低，而且能够涉及很宽的范畴，因此该动载试验方法及检测 分析对于大跨度悬吊结构的桥梁具有很好的适用性，值得大力推广和应用。 作者简介：林茂（１９７５－），大学本科学历，注册一级建造师、注册监理工程师、试验检测工程师，就职于厦门市交通建设工程检测有限公司。收稿日期：２００６－０９－１８ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 公路工程与运输 １２９
公路工程测量放线圆曲线、缓和曲线(完整缓和曲线、非完整缓和曲线)计算解析
公路工程测量放线 圆曲线、缓和曲线（包括完整缓和曲线、非完整缓和曲线）计算解析 例：某道路桥梁中，A匝道线路。 已知交点桩号及坐标： SP，K9+000（2957714.490，485768.924）； JD1，K9+154.745（2957811.298，485889.647）； EP，K9+408.993（2957786.391，486158.713）。 SP—JD1方位角：51°16′25″； 转角：右44°00′54.06″； JD1—EP方位角：95°17′20″。 .
由上面“A匝道直线、曲线及转角表”得知： K9+000—K9+116.282处于第一段圆曲线上，半径为385.75m； K9+116.282—K9+151.282处于第一段缓和曲线上，K9+151.282的半径为300m，缓和曲线要素A1=217.335，Ls1=35m； K9+151.282—K9+216.134处于第二段圆曲线上，半径为300m； K9+216.134—K9+251.134处于第二段缓和曲线上，K9+251.134的半径为1979.5，缓和曲线要素A2=111.245，Ls2=35m； K9+251.134—K9+408.933处于第三段圆曲线上，半径为1979.5m。 求：K9+130、K9+200、K9+230、K9+300的中桩坐标，切线方位角，左5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标。 解： 首先，我们知道要求一个未知点的坐标，必须知道起算点坐标，起算点至未知点的方位角，起算点至未知点的直线距离，然后利用坐标正算 .
的计算公式，就可以直接求出未知点的坐标。 那么，关于圆曲线和缓和曲线（包括完整缓和曲线和非完整缓和曲线）的计算，我们需要知道如何求出起算点至圆曲线或缓和曲线上某点的方位角和直线距离。 下面，先列出关于圆曲线和缓和曲线中角度和距离计算的相关公式。 .