论文椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
江西省上犹中学 刘鹏
关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即
212=1AB k x x +-或
者
2
112=1+()
k AB y y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：2222
2cos ab AB a c θ
=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.
解法一：根据弦长公式直接带入解决.
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆
于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长
AB .
椭圆方程12222=+b
y a x 可化为02
22222=-+b a y a x b ……①，
直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：
222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=
∴24
1212222222
2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，
∴
2424222
22
1122222222222244(1)=1+()1()1()k
mcb b a b m AB y y m
m b m a b m a b m a +-=+-+=++++
∴()2
222
221ab AB m b m a
=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o
,则1
tan m θ
=
，则有： ()222
2222
222
221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ
??=+=+ ?+??+,
由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2
222
2cos ab AB a c θ
=-……②. （2）若=90θo
，则0m =，带入()22
222
21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由
()222232222222
2222222222
22()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 2
2，故可知通径是最短的焦点弦，.
综上，焦点弦长公式为2
2222cos ab AB a c θ
=-.
解法二：根据余弦定理解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆
于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的
倾斜角为θ，则由椭圆定义可得
11=2,2F A a x F B a y -=-，在
12AF F ?中，由余弦定理得
222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2
cos b x a c θ=-，在
12BF F ?中，由余弦定理同理可得2
cos b y a c θ=+，则弦长
222
22
22=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.
解法三：利用焦半径公式解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆
于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长
AB .
解：由解法一知222121212222222
22=()22m cb a c
x x my c my c m y y c c b m a b m a
++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么
2122,F A a ex F B a ex =-=-
故222221212222222222(1)
=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++
后面分析同解法一.
解法四：利用仿射性解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆
于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长
AB .
解：利用仿射性，可做如下变换''x x
a y y
b =???=??
，则原椭圆变为222
(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，
a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为
a
k b
.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为2
12''1(
)a A B k x x b
=+-，带入，得变换前后弦长关系为 22
2
2
1=
''b k AB A B b a k
++……③
而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为
()a
y k x c b
=
-，圆心到直线的距离为2
1()a kc b
d a k b
=+，根据半径
为a ，勾股定理求得弦长为
2
2222222
2(
)
(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b
+-=++
，将此结果带入③中，得22
2222222222222222211(1)2(1)
=
''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k
++++++++，由tan k
θ=，带入得
2
2222cos ab AB a c θ
=-.
上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：2
222
2cos ab AB a c θ
=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.
例1
已知椭圆
22
12521
x y +=，过椭圆焦点且斜率为3的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.
解：由题，2
2
5,21,4=3
a b c π
θ===，,带入2
222
2cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2
已知点3
(1,)2
P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与
椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；
（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN AB P ，2
AB
W MN
=,试判断W 是否为定值？若是定值，求
出这个定值，若不是，说明理由.
分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得
2219
14a b
+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22
143
x y +=. （2）假设(,)A m n ，则
222AB m n =+，设倾斜角为θ，则2
2
cos m m n
θ=
+，根据过焦点的弦
长公式则2
2222
22
22
2
2
21234cos 12()4ab m n MN m a c m n m n θ
+===-+-+，故222
=443AB m n W MN =+（）=4.
例3
如图，已知椭圆22
143
x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且123
4
F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.
分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234
F PF π
∠=
的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值. 解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为
3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：212
4cos AC θ
=
-, 2124cos ()
4
BD π
θ=
--，221221212=
2244cos 4cos ()
4
S AC BD πθθ???=??---, 设
22()(4cos )(4cos ())4
f π
θθθ=---
设sin 2cos 2(2,2)t t θ
θ??+=∈-??，
则2
sin 41t θ=-,带入得2
4971()+(1)448
f t t t =
-- 即
21797()848
f t t t =-+
min 99142
()8
f t -=
,此时2t =，
即sin 2cos 22θθ+=
，得到=
8
π
θ.
综上，四边形ABCD 的最大值为2882
=
5.1499142
S ≈-.此时
=
8
π
θ，得到2l 的倾斜角为
78
π
,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.