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1.1.1任意角的学案

1.2.1 任意角

【学习目标】

1、理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义；

2、会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。

【学习过程】

探究：

1、体操跳水比赛中有“转体720o”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称, 720o在这里表示什

么？

2、你的手表慢了5分钟，你是怎样将它较准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将

它较准？当时间较准后，分针旋转了多少度？

复习回顾：

在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？如何表示角？（用图形和符号来表示）

自学课本P2－P3，回答下列问题

任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）

我们规定，按方向旋转形成的角叫；按方向旋转形成的角叫做；如果一条射线没有作旋转，我们称它形成了一个。这样，零角的始边与终边。如果α是零角，那么α＝。这样我们就角的概念推广到了任意角（any angle）,包括、和。

注：我们今后常在直角坐标系内讨论角，所以要学会在坐标系中研究角和表示角。

直角坐标系中角的分类

象限角与轴线角：

在直角坐示系中，为了讨论问题的方便，我们使角的和重合，角的始边与轴的重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几（quadrant angle）如果角的终边在上，则角不属于任何象限，但称这个角为轴线角。

练一练：以同一条射线为始边作出这三个角!

210o-150o-660o

探究：

把角放到平面直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的终边与之对应。反之，对于直角

坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，终边相同的角有什么关系？

为解决这些问题，请先完成下题：

1、在直角坐标系中作出下列各角，并指出它们是第几象限角：

（1）420o （2）－75o（3）855o（4）-510o （5）－3000

2、以上各角的终边有没有相同的？这些有相同的始边和终边的角，叫做。

由于420o＝60o+0

360

?k（这里=

k），

－3000＝60o+0

360

?k（这里=

k）

从而可把与60o角终边相同的所有角都表示为。

终边相同的角：

一般的，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

例1 自学课本P4例1

学法指导：当角的绝对值比较大时，可以用此角除以360o，求得商和余数，就可以找到和此角终边相同的位于0?～360?范围之间的角了。

比如－5100除以3600的商是－2，余数是2100，那么就可以得到

－5100＝2100－2?3600，那么与－5100终边相同的角就是2100，从而－5100在第三象限。

变式练习

1、在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′

2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720o β≤＜360o 的元素写出来：（1）1303o 18

，

（2）-225o

象限角的表示：

根据终边相同的角的表达式，终边在第一象限的角为

{}

Z k k S ∈<

?k 可得终边在第一象限的角的表示为{

}

Z k k k ∈?+<

00ββ，

同理，终边在第二象限角的表示为：终边在第三象限角的表示为：终边在第四象限角的表示为：

探究：设θ为第一象限角,求2θ, 2

,–θ所在的象限。

例2 写出终边在y 轴上的角的集合。

学法指导：注意集合与集合取并集的过程。只有属性相同的集合才能并在一起，在取并集的时候，要把集合中代表元素的数量形式写成一样的才行。

变式：写出终边在x 轴上的集合（把过程写出来）。

例3 写出终边在直线x y =上的角的集合S ，并把S 中适合不等式00720360<≤-β的元素β写出来。

学法指导：通常这种类型题目的作法是先把在0

03600-之间的角找到，再利用终边相同的角的集合表示去寻求其它的角。k 的值通常是从0，1，－1，2，－2逐一去试，最终找到满足条件

的角。

变式：写出终边在直线x y -=上角的集合。

【检测反馈】

1、课本P5 练习1、2（写在书上）

2、如果x 是第一象内的角，那么（）（A ）x 一定是正角

（B ）x 一定是锐角

（C ）-3600

或00

（D ）x ∈{x ∣k ?3600

+900

k ∈Z } 3、设A={θ∣θ为正锐角}，B={θ∣θ为小于900

的角}， C={θ∣θ为第一象限的角} D={θ∣θ为小于900

的正角}。则下列等式中成立的是（）（A ）A=B （B ）B=C （C ）A=C （D ）A=D 4、设α是第二象限角，则

是象限角。 5、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 . 6、如果

是第三象限角，则x 在第象限和半轴。 7、若α为锐角，则180°＋α在第__________象限，－α在第______________象限. 【小结】【作业】

课本P9 习题1.1 A 组1、3、5

任意角及弧度制知识点总结

任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如

1.1.1 集合的含义和表示(第1课时)集合的概念学案(含答案)

1.1.1 集合的含义和表示（第1课时）集合的概念学案（含答案） 11集合 11.1集合的含义和表示第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性. 2.体会元素与集合间的“从属关系”. 3.记住常用数集的表示符号并会应用. 4.会判断集合是有限集还是无限集知识链接1在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合2在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合几何图形都可以看成点的集合3解不等式2x13得x2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集4一元二次方程x23x20的解是x1，x 2.预习导引1集合的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素我们约定，同一集合中的元素是互不相同的2元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于若S 是一个集合，a是S的一个元素，就说a属于SaSa属于S不属于若a不是S的元素，就说a不属于SaSa不属于S

3.常用数集及符号表示名称非负整数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NNZQR 4.集合的分类集合空集没有元素的集合，记作.题型一集合的基本概念例1下列每组对象能否构成一个集合1我们班的所有高个子同学；2不超过20的非负数；3直角坐标平面内第一象限的一些点；4的近似值的全体解1“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合2任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0x20”与“x20或x0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；3“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；4“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值的全体”不能构成集合规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合跟踪演练1下列所给的对象能构成集合的是________1所有正三角形；2第一册课本上的所有难题；3比较接近1的正整数全体；4某校高一年级的16岁以下的学生答案14解析序号能否构成集合理由1能其中的元素满足三条边相等2不能“难题”的标准是模糊的.不确定的，所以所给的对象不确定，故不能构成集合3不能“比较接近1”的标准不明确，所以所给的对象不确定，故

高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时教学过程导入新课图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉

任意角导学案

第一章三角函数 1.1.1任意角学习目标：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；学习重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。学习难点:把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。新知导学 1．角 (1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形． (2)角的表示：如图 ①顶点：射线的端点O； ②始边：射线的起始位置OA； ③终边：射线的终止位置OB.

我们常在内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。象限角的集合（1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 轴线角的集合（1）终边在x轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在x轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________ 3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．题型探究类型一角的概念问题【例1】在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角；

集合的概念导学案

集合的概念导学案文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）

一、课前预习新知（一）、预习目标：初步理解集合的概念，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法（二）、预习内容：阅读教材填空： 1、集合：一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的（简称）。构成集合的每个对象叫做这个集合的。 2、集合与元素的表示：集合通常用来表示，它们的元素通常用来表示。 3、元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说，记作，读作。如果a不是集合A的元素，就说，记作，读作。 4.常用的数集及其记号：（1）自然数集：，记作。（2）正整数集：，记作。（3）整数集：，记作。（4）有理数集：，记作。（5）实数集：，记作。二、课内探究新知（一）、学习目标 1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. 2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.

学习重点:集合的基本概念与表示方法. 学习难点:元素与集合关系的表示. （二）、学习过程 1、核对预习学案中的答案 2、思考下列问题 (1)某学校数控班学生的全体； (2)正数的全体； (3)平行四边形的全体； (4)数轴上所有点的坐标的全体．每个例子中的“全体”是由哪些对象构成的？这些对象是否确定？它们表示的是集合吗？你能举出类似的几个例子吗？ ④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？ ⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？ ⑥世界上的高山能不能构成一个集合？ ⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？ ⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？ ⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？ ⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？ 3、集合元素的三要素是、、。

5.1.1 任意角导学案

5.1.1 任意角重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．一、预习导入阅读课本168-170页，填写。 1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的． (2)角的表示如图，OA 是角α的始边，OB 是角α的终边，O 是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角 2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和． 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角都是锐角．( ) (2)终边相同的角一定相等．( ) (3)锐角都是第一象限角．( ) (4)第二象限角是钝角．( ) 2、2 020°是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 3、与30°角终边相同的角的集合是( ) A ．{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z} B ．{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z} C ．{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z} D ．{α|α＝－30°＋k ·180°，k ∈Z} 4、将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．题型一任意角和象限角的概念例1 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°，②855°，③－510°. 跟踪训练一 1．已知集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( ) A ．A ＝B ＝C B ．A ?C C ．A ∩C ＝B D ．B ∪C ?C 2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；

高中必修第一册《1.1 集合的概念》优质课教案教学设计

《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】 1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； 2．知道常用数集及其专用记号； 3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； 4．会用集合语言表示有关数学对象； 5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】 1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义． 2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例： 1．正整数1，2，3，； 2．中国古典四大名著； 3．2018足球世界杯参赛队伍；

4．《水浒》中梁山108好汉； 5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知 1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？ ①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．（4）元素与集合的关系；（a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A 例如：A表示方程x2＝1 的解．2?A，1∈A （5）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列

《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版）前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础. 课程目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养 1.数学抽象：理解弧度制的概念； 2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合； 3.直观想象：区域角的表示； 4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题. 重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课阅读课本172-174页，思考并完成以下问题 1． 1弧度的含义是？ 2．角度值与弧度制如何互化？ 3．扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究 1．度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1 360 ． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 3.角度制与弧度制的转算 4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π l r π 180( 180 π)° 正数负数零

高一数学《111任意角》学案

1.1.1 任意角学习目标：1.理解任意角的概念 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的写。学习重点：将0360?? ~的角的概念推广到任意角. 学习难点：1.角的概念推广到任意角 2终边相同的角的表示。复习：1．初中所学角的概念。 2．实际生活中出现一系列关于角的问题新授探究案： 1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：负角：零角： 3．象限角：非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 4．终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。例1:在0360??~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几象角. 练习1.在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120- （2）640 （3）95012'- 例2写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?-≤ 720?<的元素β写出来. 练习2. 写出下列各边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤≤的元素β写出来：（1）60；（2）21-；当堂检测 1. 下列命题中正确的是( ) A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角 B ．第二象限角一定是钝角

集合的概念教学设计

集合的概念及相关运算教学设计一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的

基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计会宁县第二中学数学教研组曹蕊一、教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。三、教学目标知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。四、教学重、难点分析：重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。五、教学方法与策略：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备：为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．七、教学过程（一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

数学：1.1.1《集合的概念》学案(新人教版A版必修1)

1.1.1集合的概念教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念教学过程： 1．引入（1）章头导言（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容） 2．讲授新课阅读教材，并思考下列问题：（1）有那些概念？（2）有那些符号？（3）集合中元素的特性是什么？（4）如何给集合分类? （一）有关概念: 1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. （3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如 a、b、c、…… 2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A a? （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A 要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写. 3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 {Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，} 5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N

任意角导学案(1)

第一章三角函数 1.1.1任意角——导学案班级: 姓名: 一、学习目标 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法，区间角的表示。 3.体会运动变化观点，理解推广后的角的概念。二、学习重难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法难点：终边相同的角的表示，区间角的表示。三:学习过程活动：阅读教材P2-5，完成下列问题角的概念 (1)角可以看作是: ； (2)正角: ； (3)负角: ； (4)零角: ； 2．象限角 (1)象限角: ； (2)轴线角: ； (3)象限角的集合: ；第一象限角的集合: ；第二象限角的集合: ；第三象限角的集合: ；第四象限角的集合: ； 3．终边相同的角: 。（一）课堂练习 1、在下列说法中:

（1）0°-90°的角是第一象限角; （2）第二象限角大于第一象限角; （3）钝角是第二象限角（4）小于90°都是锐角其中错误的说法是。 2、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？ (1)420o，(2)-75o，(3)855o，(4)-510o． 3写出终边在x轴上角的集合（二）课堂小结本节课我们学了哪些知识和方法？你有哪些收获？还有什么疑惑？（三）作业布置必做题： 1.与120o角终边相同的角是( ) A.－600o＋k·360o，ｋ∈Ｚ B.－120o＋k·360o，ｋ∈Ｚ C.120o＋(2k＋1）·180o，ｋ∈Ｚ D.660o＋k·360o，ｋ∈Ｚ 2.若角α与β终边相同，则一定有( ) A.α＋β＝180o B.α＋β＝0o C.α－β＝ｋ·360o，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360o，ｋ∈Z 3.在直角坐标系中，作出下列各角 (1)360o (2)720o (3)1080o (4)1440o 选做题：如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．

任意角的三角函数公开课说课稿

《1.2.1任意角的三角函数》尊敬的各位评委、各位老师，大家好！今天我说课的容是《1.2.1任意角的三角函数》下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计这几个方面来进行我的说课。一、教材分析 1、教材的地位和作用本节课是人教版高中数学必修4中第一章第二节《1.2.1任意角的三角函数》。在学习本课之前，学生在必修1的学习中对函数有了一定的认识，而三角函数也是基本初等函数之一，它是描述周期现象的重要数学模型，从而本节是学生在锐角三角函数的基础上进行的扩展，是本章教学容的基本概念，是这一章最重要的一节课。本节课以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为定义工具，以初中学过的锐角三角函数为认知的起点，来掌握三角函数新的定义。新的定义可以更好的反应三角函数的本质，使得三角函数反应的数形关系更加的直接，数形结合更加紧密。它是本章的基础，对三角函数的整体学习至关重要；同时它又是以后学习平面向量、解析几何等容的必要准备，通过这部分容的学习可以进一步的帮助学生理解函数这一基本概念。 2、学情分析 ①、我们的学生在初中学习的时候，是以直角三角形为背景去学习锐角三角函数，并没有从函数角度去认识锐角三角函数。

学生习惯了用直角三角形的比值去定义三角函数，对于用角终边上点的坐标来定义三角函数在认识上就存在着一定的障碍。 ②、我校的学生数学基础相对较差，多数同学对数学的学习没有兴趣和积极性。 ③、学生的学习能力、理解能力较差，学习习惯不好，所以必须在老师的指导下才能进行。二、教学目标根据新课标对本节课的教学要求，结合学生已有的认知能力和以上教材分析，我从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。 1、知识与技能掌握任意角的三角函数的定义；会求角α的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式。 2、过程与方法体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想。 3、情感态度与价值观通过概念生成的过程，让学生去感受数学的自然美与简洁美培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事的科学态度。三、教学重、难点 Ⅰ、教学重点：①、正确理解三角函数的定义；②、任意角三角函数在各个象限的符号；③、终边相同角的诱导公式（一） Ⅱ、教学难点：

集合的概念和表示方法教学设计

1集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．教学目标 1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．教学设计一、问题情境 1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：

在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4.请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？二、建立模型 1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A．例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无顺序．

任意角与弧度制教案

任意角与弧度制【基础再现】 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或可以简记成。注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。【重点、难点、考点】 ααα∠αx x

一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与个周角的和。（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ 3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ )(Z k k ∈{}Z k k S ∈?+==,360| αββ

学案1 山西大学附中任意角学案

山西大学附中高中数学（必修4）学案编号1 任意角【学习目标】1. 理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”的意义． 2. 掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。【学习重点】任意角、象限角、终边相同的角的定义【学习难点】用集合和符号来表示终边相同的角【学习过程】一、导学: （一）通过阅读本章引言了解本章要解决那些问题。（二）阅读课本1-3页解决下列问题。问题1、在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的，终止时的射线叫做角的，射线的端点叫做角的 . 按方向旋转形成的角叫做正角，按方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。角的表示方法：①常用字母.......C B A 等表示； ②也可以用字母α、β、γ…等表示； ③特别是当角作为变量时，常用字母x 表示. 巩固1、画出下列各角（1） 780 （2） 120- （3） 660- （4） 1200 问题2、为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x 轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角巩固2、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角并指出它们是第几象限角：（1） 420（2） 75- （3） 855 （4） 510- （三）阅读课本4-5页回答下列问题。问题3、在直角坐标系中作出下列各角：（1） 32- （2） 328 （3） 329- （4） 688 （4） 752 -

任意角的三角函数公开课教案(精.选)

任意角的三角函数（第一课时）教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、重点、难点、关键重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）. 二、教学过程 [执教线索：回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关

系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业] （一）复习引入、回想再认开门见山，面对全体学生提问：在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域. 现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： f（x），x∈A ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域. （情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习