2014年全国数学建模竞赛B题四川省一等奖

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：

所属学校（请填写完整的全名）：西南财经大学

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

平板折叠桌的问题探讨

摘要

本文基于一种由Robert Van Embricqs发明的创意平板折叠桌——Rising Side Table[1]进行了相关的讨论。对于折叠桌的设计加工问题，我们应用几何学相关的数学知识进行了模型的建立，利用Matlab软件进行模拟和求解。

对于问题一，在给定平板尺寸和桌子高度的情况下，我们通过建立空间直角坐标系，以桌子高度为自变量，得到了金属杆的位置参数、木条滑槽加工参数与桌面高度之间的关系，以此来刻画折叠桌的动态变化，以及桌角边缘曲线在桌子不同高度时的曲线方程。该边缘曲线的方程表达式为在不同桌子高度时曲线上各点的x轴坐标和z轴坐标关于其y轴坐标的关系。利用matlab软件做曲线的三维图，并与模拟的折叠桌动态过程进行比较，匹配度极高。根据题目已知折叠桌完全站立后的高度后我们可以求得题中折叠桌的桌腿木条开槽长度从外侧起第一根到第十根分别为：0，7.17，10.88，13.86，16.29，18.24，19.78，20.92，21.69，22.10。切割距离为：3.63，12.47，16.05，18.63，20.60，22.11，23.26，24.09，24.65，24.94。其余木条开槽长度和切割距离由对称关系可得。

对于问题二，是在给定折叠桌形状和高度的情况下，对于折叠桌的加工设计进行优化。设计加工参数有平板尺寸、钢筋位置、开槽长度。优化目标有三个，分别为稳固性好、加工方便、用材最少。针对稳固性指标，从使木桌不旋转的最大垂直加载量和使木桌不毁坏的最大承重量两方面进行考察。对于加工方便方面使用加工量进行考察。用材最少用用材量进行衡量。通过分析得知要使稳固性好与用材量最少是互相矛盾的，而加工方便则可以利用技术进行控制。因此，我们把稳固性好和用材量少综合考虑定为第一指标，加工方便定为第二指标。利用加权法优化第一指标后再优化第二指标，得到了最优加工参数：平板尺寸为80×164×2.5cm，钢筋在最外侧木条的距上端点0.51比例处，开槽长度见正文。

对于问题三，是根据客户任意给定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的前提下建立加工设计的数学模型，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。对于我们建立了以折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状为输入参数，得到木板形状、桌面边缘切割位置、……的设计加工模型，如果客户对于桌脚边缘线有精确的函数描述，则可以设计出和客户的期望匹配度较高的折叠桌；如果客户只给出大致形状，我们的模型则会对折叠桌的设计参数不断优化，直至有足够的匹配度为止。我们根据图形的对称性、桌子的实用性、以及创意桌子的美观性等因素，给出了四大类6小种基本设计方案，即：正n边形型（正方形、正六边形）、规则曲线型（椭圆）、组合规则图形型（体育场型）、创意中心对称图形型（四瓣花、中国结），设计加工参数主要有六项，分别为：木板尺寸、桌面边缘线、桌脚边缘线、桌子高度、开槽长度以及金属杆位置。具体数据见正文。

我们可以看到，问题二是在问题一的基础上放宽平板尺寸条件进行优化，问题三是在问题二的基础上进一步放宽，在遵循平板折叠为桌子的原则下进行自定义设计。本题中，我们主要利用几何学相关的知识建立空间直角坐标系，得出各个变量之间的关系表达式，利用Matlab软件进行求解、优化、模拟设计，利用人体工学，材料力学等跨学科知识对题目中的条件进行合理的约束，全面的考虑了在优化、规划过程中可能出现的问题，模型简洁明了，题解生动美观，交叉学科的引用使得本文充满了可读性和趣味性。

关键词：多目标规划极限承载量剪应力空间动态模型三维仿真模拟

1、问题重述

本题主要探讨了一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。所给的视频展示了折叠桌的动态变化过程。

我们建立了建立数学模型讨论下列问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽

2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

2、模型假设

1.用于制作该平板折叠桌的木板质地均匀，对于木板上任取的相同大小的木板质量相

等且重心位于其几何中心处；

2.对于长宽高的测量准确，没有误差；

3.在切割过程中不会对木料造成任何的损耗，切割完全符合最优的假设；

4.在第一问中，假设木条和金属管为线段，即，忽略木条的厚度，金属管的径长；

5.假设作为桌腿的木条与其开口处桌面紧密相联，即：坐标一致。

6.在空间直角坐标系中，木条的厚度对木条坐标的影响记为0，即忽略；

7.忽略挖槽对木板质量分布的影响。

3、符号定义与说明

0 1

0:作为桌腿的木条长度；

:最外侧四条桌腿的长度；

:木条上金属杆所在位置到木条上端点的距离；:位于最外侧的钢筋在桌腿位置的比例系数；

:折叠形成的桌子的高度（不包括桌面厚度）；:原木板的宽的一半；

:原木板的长的一半；

:木板的厚度；

:木板截得桌面的半径；

l l l c h a b d r

11(1)1()2:每条桌腿上的开槽长度；（x ,y ,0）:桌面边缘上点的坐标；:最外侧木条的横坐标；:最内侧木条的横坐标；:木料所受的剪应力；:木料的加工量；:木板的体积；

:折叠桌最大的承重；

:金属杆到木板下端的安全距离i i

n i s A x x T Q V G dm

4、

模型的建立与求解

4.1本题中木板的切割方法

因为最外边的木条的切割长度没有固定的大小，而其不同的取值会对问题的研究产生影响，所以我们通过计算比较不同等比分点，如：二等分点，三等分点等，切割时的桌面形状以及所成折叠桌的其他性质，决定采用如图一所示的切割方式。对于纵向，采取等距平行切割；对于横向，取桌面边缘线与木条两边交点连线的上三等分位点平行于y 轴切割。 4.2问题一的模型建立与求解 4.2.1问题一的模型预处理

由木板折叠形成的桌子是三维空间中的立体图形，图形具有明显的对称性。为了使模型更加的清晰明了并且简化计算，我们建立了空间直角坐标系Oxyz ，折叠后的桌子在该坐标系中的位置如图二所示。这里忽略桌子的厚度，认为桌面为平面，且与xoy 平面重合，桌面所在圆的圆心即为坐标轴的中心O ，垂直于桌面且经过中心O 的直线为

z 轴。

4.2.2问题一的模型分析和建立 （1）桌子上的点的坐标的确立

如图三所示，假设任意一块木板的长和宽分别为2,2b a ，桌面所在圆的半径为r ，由题意可知：r a =；对于桌面边缘上的任意一点1111(,,)A x y z ，1A 为所有在圆上的点的集合，有：

22211()x y r +=；10z =

其中另设最外侧木条所连接桌面边缘点位置为000(,,)x y z 。

最外侧的四根桌子腿长为0l ，其余各点所在桌子腿长分别为l ，则根据几何关系，有：

1||l b x =-，

钢筋在最外侧桌子腿上位置的比例系数为c ，桌子的高度为h ，因为最外侧两根桌子腿对称，且钢筋的位置始终保持不变，在桌子腿转动过程中钢筋所在直线始终经过最外侧两点

、P Q ,且则金属杆所在直线一定平行于xoy 平面，所以在竖直

方向直线方程为为：z c h =-?；

如图四所示，在折叠后的桌子中，通过几何关系我们得到

、P Q 两点的坐标：

00（,-y ,-ch ）,P

00Q （,y ,-ch ），0(0,2,0)PQ y =

综上，可得金属杆在空间直角坐标系Oxyz 中方程为：

20

210

12

，(为方程参数)x c x

y t y t z c h ?=?+??

=???

=-??? （2）桌子腿上槽的范围的确立

各个木条上金属杆所在位置到木条上端点的距离为：

1l ==对1l 关于h 求导，得到：

1

1

h dl dh ==

根据这个数学表达式，可以清楚的看到，当

21

(20c -

≥时随着桌面与

最外侧木条下端点垂直距离的增加，除最外侧木条以外的其余木条的1l 随之增大。即：金属杆会在内部的木条上的槽内向下滑动。当金属杆滑动到某一根木条的槽底部时，桌面与最外侧木条下端点垂直距离达到最大，即为此时桌子的高。

由1l 的表达式可知，金属杆在最内侧的木条上的滑动距离最大，即这根木条上的槽最长。因此，在桌面最终高度一直的情况下，可以反推出金属杆在各个木条上的滑动距离，即槽的长度。表达式为：

11500h h s l l ===-

（3）桌脚边缘线的确定

已知木条上端点的坐标和木条上金属杆所在位置的坐标，可以利用两点法求木条的直线方程为：

1221122121221()(),(为方程参数）()x x t x x y y t y y t z z t z z ?=+?-?

=+?-??

=+?-?

由几何关系，当21l

t l

=

时，由上式得到的坐标为木条下端点的坐标，这一类连续点的集合即为桌脚边缘线，点的参数方程即为曲线方程。

1x y y z ??=+???

=??

?

=

??

?

4.2.3问题一的模型求解

利用Matlab 软件对上述模型进行求解，算法如下： Step1：输入题目中已知的参数如平板长、宽等。

Step2：根据桌面边缘曲线方程以及题目中给定的切割方式，求切割点坐标

Step3：根据切割点、金属杆位置、木条末端之间的几何关系，求出滑槽末端坐标和木条末端坐标。利用坐标求木杆长度，利用比例关系求出滑槽长度和桌角边缘曲线。 Step4：作桌子三维立体图案。改变桌面高度h ，模拟桌子三维立体图案的动态变化过程。 Matlab 程序见附件一。

我们以距离xoy 平面的距离，即折叠桌的高度为观测变量，截取其中的9个点得到了如图五所示的折叠桌的动态变化过程。

求解得到此折叠桌的设计加工参数为：

度对应相等。

离对应相等。

（3） 当h 达到最终状态，即53h cm =s 时，桌脚边缘线的数学描述为：

1

x y y z ??=+???

=??

?

=

??

?

（4） 边缘线拟合效果如图六所示

4.2问题二的模型建立与求解 4.2.1问题二的问题分析

对于给定高度和圆形桌面直径的折叠桌，最优设计需要考虑产品稳固性好、加工方便、用材最少三个方面，这是一个多目标规划问题。所以在设计过程中我们需要对这三个条件设计相应的指标并根据它们对折叠桌的影响的大小进行加权处理，以达到最优的设计，从而计算出最优设计加工参数。

4.2.2问题二的模型准备

4.3问题二的模型建立与求解 4.3.1问题二的模型预处理

制作折叠木桌的材料的选取——水曲柳[2]

水曲柳——为木犀科梣属的植物，呈黄白色（边材）或褐色略黄（心材）。年轮明显但不均匀，木质结构粗，纹理直，硬度较大，适用于制作大件家具。相比松木要坚硬耐磨。相比红木，它价格适中。水曲柳是落叶大乔木，普通树干高大通直，树高25~30余米，直径40~100厘米，满足题目中桌面的直径要求。 在家具制造方面具有以下显著的优点：

【加工性能】水曲柳加工性能良好，能用钉、螺丝及胶水良好固定，可经染色及抛光而取得良好表面。适合干燥气候，且老化极轻微，性能变化小。

【物理性能】与其重量相对，水曲柳具有极良好的总体强度性能，良好的抗震力和蒸汽弯曲强度。

【耐用性】水曲柳没有心材抗腐力，白木质易受留粉甲虫及常见家具甲虫蛀食。心木对防腐处理剂有中等抗渗透力，白木质具渗透力。

【实用性】良好的地板及家具材料。可仿白元、橡木等珍贵木种，使用价值极高。

综上，我们决定选择水曲柳作为主要的加工木料，查阅国家相关林木资料得到以下4.3.2 模型的分析与建立

（1）决策变量

问题二和问题一模型相似，问题二的模型是在问题一的模型基础上，将几个参数变为决策变量：木板尺寸、钢管位置，加上原有的决策变量：开槽长度，共同构成问题二模型的决策变量。

符号表示为：木板长度b ，宽度a ，厚度0d ；钢管位置参数c ，其含义同问题一；

开槽长度s 。 （2）目标函数

题目中要求圆桌设计要考虑产品稳固性、加工方便、用料最少三个方面，即三个指标综合考虑来确定最优方案。

① 稳固性

从使木桌不旋转的最大垂直加载量和使木桌不毁坏的最大承重量两方面进行考察。桌面在不反转的情况下边缘承受的物体重量越大，圆桌在木条不毁坏的情况下所能承受的重物越重，其稳固性就越好。但是经过查阅标准得，桌面在不翻转的情况下边缘承受的物体重量是有临界下限的，因此我们认为只要这个不翻转的极限重量符合国家标准即很稳固，就能放入市场，而且翻转不会毁坏圆桌本身，注意即可；但是圆桌承载的物体重量一旦超过极限就会毁坏圆桌本身，对于衡量圆桌稳固性具有更好的刻画度。因此我们就主要通过圆桌的最大承载量来刻画圆桌稳定性，而桌面在不反转的情况下边缘承受

的最大物体重量只需大于国家标准[3]

即可。

针对使木桌不旋转的最大垂直加载量，对照相应的国家标准后，我们进行产品稳固性进行垂直加载稳定性试验：

试验过程为：把试件放在试验基面上。在其最不稳定桌边中心离边沿向内 50mm 桌面处通过加载垫垂直向下逐渐加力(见图 七)至表A1的规定值或者直至试件至少有一个

M 应大于600N 。在此我们就取M 为最低标准600，一旦所设计的可折叠桌椅发生偏转，我们就认为不合格，不采用。

由于圆桌为对称物体，为了便于进行受力分析，我们求解圆桌的质心，圆桌质量为

0m ，质心坐标为00

000

(,,)(,,)

i i i i i i x m y m z m x y z m m m =

∑∑∑

因为木条质量对于整个圆桌质量来说很小，5%左右，因此我们就把充当杠杆的最外侧木条视为轻杆，其质量影响忽略不计。

由图可知，质心力矩为1L ，10(1)L m g x =?重物力矩为2L , 21()(1)[]n L M x x =?-, 其中（1）x 为最外侧木条的横坐标，1(n)x 为最内侧木条的横坐标。 则木桌要符合标准应满足 12L L ≥

针对使木桌不毁坏的最大承重量的求解过程。

圆桌的最大承重量，用符号G 来表示。 稳固性指标——剪应力[4]：

作用在截面上的内力是一个连续分布力系。应用力系简化的基本方法，可以将其向一点（例如截面形心）简化，得到一内力主矢量R F 和主矩M 。再将主矢量和主矩分别

向,,x y z 三个坐标轴投影（其中x 轴沿杆件轴线方向，,y z 轴为截面内的特定方向），便得到该截面上的6个内力分量：,,N Qy Qz F F F 和,,x y z M M M ，如图八所示。其中：

N F 引起杆件的轴向变形（拉伸或压缩），称为“轴向力”或“应力”；

,Qy Qz F F 则使截面两侧分别产生沿,y z 方向的剪切变形，称为“剪力”或“横向力”

。

G 的求解

我们首先忽略圆桌自身重力对最外侧金属感铆接处剪切力的影响，即认为圆桌没有质量。

当圆桌完全立起时，假设重物在圆桌中心且木条均匀受力，则每跟木条受力如图九,F 为重物通过桌面传递给木条的力，大小为

4G F n

=

, 对于除最外侧木条的其余木条i 来说，它们还受到金属管对它们的支持力从而平衡，因此其支持力与F 大小相同方向相反，从而木条对于金属管的反作用力仍为F 。我们将分F 为沿最外侧木条方向的2i N 和垂直于最外侧木条方向的2i T 。最外侧木条所受所有其余木条通过金属管传递过来的2N 合力极限为木材所能承受最大应力，而2T 合力极限为所

能承受最大剪应力。 查阅资料得[5]，抗剪强度K1为1.5 N/mm2，抗弯强度K2为ISO 91.8MPa [6]，σ为横截面积。

而由取得的数据比较，最大应力远大于最大剪应力。因此我们现在只考虑剪应力合力达到最大值时圆桌的极限载重量。1K 为抗剪强度，

当载重为极限载重时，则木材所受剪应力达到最大剪应力

221cos(90),

i i i i T F T K αβσ

=+-=?∑

对于稳固性优化的目标函数为： max G ② 用材量

而材料的用量我们用木板的体积进行衡量，在这里我们假设木板的质量时均匀的。即0V a b d =??,即在其他条件不变的情况下，木板的体积越小，其材料用量就越节省。 对于材料用量的优化目标函数为： min V ③ 加工便宜程度

加工方便我们选取了加工量Q 为衡量指标。而加工量与木条个数n 、平板厚度、开槽长度有关系。

对于加工量的优化目标函数为： minQ （3）约束条件

此处的约束条件与问题一中1A 、l 、1l 、s 、金属杆的坐标方程、木条的直线方程表达式相同且具有相同的意义。

① 金属杆位置约束：

由题可知，在平板状态下时，金属杆的位置坐标不能高于最短杆的上端点坐标，且为实用和美观考虑，两点之间应保持一定距离，即为

00x c l a +?≥

在完全立起状态下，金属杆的不能滑出木条，且金属杆在任意木条上的位置应与木条最下端保持安全距离dm ，定 1.5dm =。

1

i i l l dm -

② 木条位置约束：

在完全立起状态下，任意两根沿yoz 平面对称的木条不得相接触。即为：0i x ≥

由问题一21

(20c -

≥

式得约束为，其含义与问题一相同：21c ≥

综上，可以得出问题二的模型如下所示： max G ；min V ；

minQ

20212.i i i

x c x s t y y z c h ?=?+??=??

=-???

1211

11211

().()

i

i i i i i

i i i i i i i i l x x x x l s t y y l z z z z l ?=+?-???=??

?=+?-??

22211111500221()||.4cos(90),i i i i i

i h i h i i i i x y a l b x s l l s t G

F n T F T K αβσ==?+=?

=-??=-???=??

?=+-?=???∑

001

1.210i

i i i V a b d x c l a l l dm s t c x l ?=???

+?≥??-??≥??≥??=?

4.2.4 模型的求解

首先当圆桌为平板状态时，由于题目中已经给出圆桌的直径为80cm ，为不浪费材料，

可知木板的宽度80b cm =。木板的厚度0d 主要影响材料的稳定性，我们在网上查阅资料得知，一般桌子的厚度为2

2.5cm ，基于实际情况和用料损耗性考虑，桌子厚度0

d 定为2.5cm 。所以 0V a b d =??只与b 有关，且对于优化目标min V 可知，b 越小越好。

因为对于max G 优化求解知，b 在一定范围后越大越好，因此与目标min V 相冲突。故我们考虑加权优化的方法考虑这两个指标，定为第一指标。而加工简单的重要性相比其余两个指标来说更低，且主要由加工技术来决定，因此我们将其视为第二指标。

对于第一指标，优化后的目标函数为max 0.9

W V P =-? 其中P 为水曲柳的价格，P=1282.9元/立方米。通过主观赋权法，我们对G 和V 进

行赋权。由于考虑到、G V 量纲不同，又因为W 为厂家效用函数，其圆桌价格受多方面因素影响，而成本则受材料因素影响较大，我们认为，承重量对于圆桌效益的影响程度应该远小于材料体积对于成本的影响程度。所以我们对G 赋权0.1，对V 赋权0.9。同时，由于单位承重量所带来的效益的增加应该符合边际效用递减的原则，因此我们对G 做开根处理，从而使得处理后的G 的变化符合边际效用递减原则。

对于第二指标，我们应该尽量使切割的木条根数但同时又要保持一定的美观度；对于槽长度的优化，因为每根木棍需要的槽长度是不同的，这无疑会加大加工难度，因此我们对于相邻两个且槽长相差很近的两根木棍挖取同样的长度，值为较大值；同时减小槽长度的精度，使加工更方便。

利用Matlab 软件求解优化指标，算法如下：

Step1：将b 与c 的组合在一定范围内[7]

进行不定长搜索；

Step2：对于特定的b ，c 用第一题的算法算出圆桌各个位置的坐标； Step3：判断是否满足约束条件，不满足则返回step1； Step4：计算优化的目标函数，记录求最优。 Matlab 程序见附件二。

得到对于桌高为70cm ，桌面直径80cm 时的最优设

1

4

桌面对应桌腿木条开槽的长度（单位：cm ）

4.3问题三的模型建立与求解 4.3.1问题三的模型分析

要开发一种折叠桌设计软件，可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，则我们需要建立数学模型进行拟合，针对不同的图形要求给出确定的最优设计加工参数。

4.3.2问题三的模型建立

此处模型也与前文类似，1A 、l 、1l 、s 、金属杆的坐标方程、木条的直线方程表达式相同且具有相同的意义。

但其中因为桌面边缘曲线由客户决定，则1111(,,)A x y z 满足客户的曲线表达式：

1

11(,)0,z 0;f x y ==

因为平板尺寸情况与客户需要的桌腿边缘曲线有关，即各根木条距桌面边缘长度不定，故腿长关系为

1

111(x ,y )||y l b x =-

故桌角边缘线为：

111211

12

111211

1211121112(x ,y )

()(x ,x ,c)(x ,y )()(x ,x ,c)(x ,y )

()

(x ,x ,c)l x x x x l l y y y y l l z z z z l ?=+?-????=+?-??

??=+?-??

则将此方程与顾客所给边缘曲线对比，则可得符合度最优的未知参数1

y b 与c 。故其

余加工参数如槽长木条切割位置都已知，因此设计出来的折叠桌椅和顾客期望的形状匹配度较高。 但是如果顾客给予的桌腿边缘性状是大致图像，则我们先画出三维坐标的大致图像的曲线P 。在一定1

y b 和c 条件下，可计算在满足客户桌面高度和桌面形状的要求下各个

桌腿的位置，计算在相同y 值下曲线P 上的点与对应y 值的桌腿之间的距离，记为(p)i e 。

px y 表示曲线上点的y 轴坐标为y 时x 的坐标，pz y 表示曲线上点的y 轴坐标为y 时z 的坐标，则

(p)i e =当i e ∑最小时即最优,即

min

(p)i e ∑

。

综合可得在给出大致桌腿情况下的优化模型： min

(p)i e ∑

1

1111211

121112*********

11220

2121111

1

1121

150(x ,y )

()(x ,x ,c)(x ,y )

()

(x ,x ,c)(x ,y )()

(x ,x ,c).(,)0z 0(x ,y )||

(x ,x ,c)i i i y i

i h i l x x x x l l y y y y l l z z z z l x c x

y y s t z c h f x y l b x l s l l ==+?-=+?-=+?-=?+==-?===-==

-0(p)h i

e =???

???

?

???

?????

??

???????

???=??

利用Matlab 软件进行设计得到不同的设计模型。

Matlab 程序见附件三。

4.3.3问题三的模型设计

通过查阅网络上大量的现代桌子，尤其是创意型桌子的主要形状，结合本题的设计思路，我们给出了以下4种主要的设计类型，可以根据顾客的不同要求进行调整和设计。

开槽长度：0，12.00

上述方案具体的图形动态变化过程如下方图形所示：（1）正方形

（2）正六边形

（3）椭圆形

（4）体育场型

（5）花瓣形（四瓣）

（6）中国结型

5、模型的结果分析与检验

针对问题一，题目要求我们建立模型来描述桌子展开的动态过程。我们运用几何的方法，建立空间三维直角坐标系，将圆桌各点用坐标表示，并根据题目中已给定的参数，找到桌上各点和木条上的点之间的几何关系，利用各点之间的几何关系建立数学模型，以桌子的高度为变量，观察高度变化时圆桌各条桌腿随着高度变化的状态变化，并利用matlab软件进行求解，最终得到题目中所要求得的桌脚边缘曲线的参数方程，以及开槽长度等参数。

我们通过求解得到的曲线方程，取一定数量的曲线上的点，利用matlab软件进行拟合，得到了桌脚边缘曲线，同动态变化中圆桌的桌脚边缘曲线进行比较，发现几乎没有差别，说明我们的结果准确性较高，较为可靠。

针对问题二，问题二和问题三中圆桌的结构大致相同。由于题目中要求在设计时兼顾考虑三个方面的因素，即为多目标规划问题。我们建立了一个多目标规划模型，采用加权法给不同决策变量赋予不同的权重，进行求解。求解时，为三个目标设定指标，通过指标的变化和最优来实现规划的目标。

由于桌子是一个实用性较强的物品，所以现实中存在桌子的物理性能标准。我们分别从网络、书籍等渠道得知标准，并将其作为约束条件加入到模型中，加上原有的约束。最终求解得到一组参数。

利用matlab软件，将求解得到的参数代入问题一中的模型里，观察圆桌的状态，发现拟合出来的圆桌状态较为合理，所以我们认为该结果较为准确。

6、模型的评价与改进

6.1模型的优点

（1）将第一问立体动态问题转换成空间坐标系的方程问题，通过金属杆的位置参数、木条滑槽加工参数与桌面高度之间的关系，很好地对折叠桌的动态变化过程进行了刻画。

（2）对于第二问的三目标规划，每个目标都确定了具体的指标衡量。特别是对于稳固性指标进行了科学有效的分析，对使木桌不旋转的最大垂直加载量和使木桌不毁坏的最大承重量两方面的考察能与实际情况较好的符合。

（3）对于第三问的模型，根据实际分了两种情况，考虑的很全面。给出的创意平板折叠桌考察了图形的对称性、桌子的实用性、以及创意桌子的美观性等因素，使得设计结果更具说服力。

（4）不仅利用Matlab软件进行了模型求解，还合理利用其模拟功能对于模型结果进行验证。

6.2模型的缺点

（1）第二问在三目标规划时，对于稳固性指标和用材量指标进行了主观赋权，具有一定的缺陷性。

（2）在求稳固性指标的使木桌不毁坏的最大承重量时，对圆桌自身的质量进行了忽略，会使得最后结果与实际情况出现偏差。

6.3模型的改进：

对于缺点一，因为是三目标规划，所以找到一个合理的方法较为困难，而且难以判断方法的优劣性。所以我们主要对缺点2进行改进：

改进方法：对于F 应该加上木条的重力，因为木条上有槽，设槽的厚度为d s ，则木条质量应为原木条体积减去空槽体积

0()i d l d d s d s ρ??-???

因此

0(****)**4i

d G F l d d s d s g n

ρ=

+-∑

然后再对G 进行优化求解。

7、模型的推广

1．本文第一问建立了的可折叠边桌的动态变化过程的模型，对于动态变化过程方程描述可以推广应用到物体的三维空间的简单运动，也可以用来模拟物体的运动轨迹，并且，我们可以利用matlab 软件将物体外观形状的改变很好的运用模型进行模拟、求解，这对于一些物理问题的解决具有实际意义和可操作性。

2．本文提出的平板折叠边桌的设计模型具有较高的使用推广价值。在本文中，只在空间直角坐标系的基础上运用了少量的空间几何关系，利用难度不高算法，容易理解的解题过程，就可以设计出多种多样的折叠模型，同时利用matlab 软件进行模拟，使得结果具有真是可信度，因此对于大部分可折叠家具的设计来说，是具有很强的指导作用的。而对于复杂的建筑设计，则可以将其化整为零，对其中部分简单构造运用此模型求解或设计。

3．本文第三问中提到的对于大致形状的拟合匹配度指标，对于图形设计有很好的参考价值，辅之以美学指标和人体工程学指标，就可以模拟出很多既美丽又实用的的曲线设计图形，对于现代化家具的发展、个性化家具的制作都是具有很高的指导意义的。

HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题

HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题 Problem A: Unloading Commuter Trains Trains arrive often at a central Station, the nexus for many commuter trains from suburbs of larger cities on a “commuter” line. Most trains are long (perhaps 10 or more cars long). The distance a passenger has to walk to exit the train area is quite long. Each train car has only two exits, one near each end so that the cars can carry as many people as possible. Each train car has a center aisle and there are two seats on one side and three seats on the other for each row of seats.To exit a typical station of interest, passengers must exit the car, and then make their way to a stairway to get to the next level to exit the station. Usually these trains are crowded so there is a “fan” of passengers from the train trying to get up the stairway. The stairway could accommodate two columns of people exiting to the top of the stairs.Most commuter train platforms have two tracks adjacent to the platform. In the worst case, if two fully occupied trains arrived at the same time, it might take a long time for all the passengers to get up to the main level of the station.Build a mathematical model to estimate the amount of time for a passenger to reach the street level of the station to exit the complex. Assume there are n cars to a train, each car has length d. The length of the platform is p, and the number of stairs in each staircase is q. Use your model to specifically optimize (minimize) the time traveled to reach street level to exit a station for the following: 问题一:通勤列车的负载问题 在中央车站,经常有许多的联系从大城市到郊区的通勤列车“通勤”线到达。大多数火车很长(也许10个或更多的汽车长)。乘客走到出口的距离也很长，有整个火车区域。每个火车车厢只有两个出口,一个靠近终端, 因此可以携带尽可能多的人。每个火车车厢有一个中心过道和过道两边的座椅，一边每排有两个座椅，另一边每排有三个座椅。走出这样一个典型车站,乘客必须先出火车车厢,然后走入楼梯再到下一个级别的出站口。通常情况下这些列车都非常拥挤,有大量的火车上的乘客试图挤向楼梯，而楼梯可以容纳两列人退出。大多数通勤列车站台有两个相邻的轨道平台。在最坏的情况下,如果两个满载的列车同时到达,所有的乘客可能需要很长时间才能到达主站台。建立一个数学模型来估计旅客退出这种复杂的状况到达出站口路上的时间。假设一列火车有n个汽车那么长,每个汽车的长度为d。站台的长度是p，每个楼梯间的楼梯数量是q。使用您的模型具体来优化(减少)前往主站台的时间，有如下要求: Requirement 1. One fully occupied train's passengers to exit the train, and ascend the stairs to reach the street access level of the station. 要求1.一个满载乘客的火车，所有乘客都要出火车。所有乘客都要出楼梯抵达出主站台的路上。 Requirement 2. Two fully occupied trains' passengers (all passengers exit onto a common platform) to exit the trains, and ascend the stairs to reach the street access level

2020年高职高考数学模拟试题一

2018年高职高考数学模拟试题一 数 学 本试卷共4页，24小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形 码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共15题，每小题5分，共75分） 1. 设集合{}2,0,1M =-，{}1,0,2N =-,则=M N ( ). A.{}0 B. {}1 C. {}0,1,2 D. {}1,0,1,2- 2．设x 是实数，则 “0>x ”是“0||>x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角 4．函数21 )1lg(-+-=x x y 的定义域为（ ） A ． B. C. D. 5．已知点)33,1(),3,1(- B A ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．3π B ．6 π C ．32π D ． 65π 6．双曲线22 1102 x y -=的焦距为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．设函数()???≤+->=0 , 10 ,x log 2x x x x f ，则()[]=1f f （ ） A ．5 B ．1 C ．2 D ．2- }2|{≤x x }12|{≠≤x x x 且}2|{>x x } 12|{≠-≥x x x 且

2014年四川高考文科数学试卷(word版)和答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（文史类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B =（ ） A 、{1,0}- B 、{0,1} C 、{2,1,0,1}-- D 、{1,0,1,2}- 2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ） A 、总体B 、个体 C 、样本的容量 D 、从总体中抽取的一个样本 3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度 4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：1 3 V Sh = ，其中S 为底面面积，h 为高）学科网 A 、3B 、2C 、3D 、1 5、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A 、 a b d c >B 、a b d c < C 、a b c d >D 、a b c d < 6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最 侧视图 俯视图 11 2 2 2 21 1

数学建模练习试题

2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数； 法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组 （1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；

职高高考数学模拟试题

2001年某省普通高校对口升学 考试数学模拟试题（三） 一、选择题（本大题共15小题；每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U = ｛0，1，2，3｝，集合M =｛0，1，2｝N =｛0，2，3｝，则U M N U e（ ） A ．空集 B ．｛1｝ C ．｛0，1，2｝ D ．｛2，3｝ 2．设x ，y 为实数，则x 2 = y 2的充分必要条件是（ ） A ．x = y B ．x = –y C ．x 3 = y 3 D ．| x | = | y | 3．点P (0, 1)在函数y = x 2 + ax + a 的图像上，则该函数图像的对称轴方程为（ ） A ．x = 1 B ．12x = C ．x = –1 D ．12 x =- 4．不等式x 2 + 1>2x 的解集是（ ） A ．｛x |x 1，x ∈R ｝ B ．｛x |x >1，x ∈R ｝ C ．｛x |x –1，x ∈R ｝ D ．｛x |x 0，x ∈R ｝ 5．点(2, 1)关于直线y = x 的对称点的坐标为（ ） A ．(–1, 2) B ．(1, 2) C ．(–1, –2) D ．(1, –2) 6．在等比数列｛a n ｝中，a 3a 4 = 5，则a 1a 2a 5a 6 =（ ） A ．25 B ．10 C ．–25 D ．–10 7．8个学生分成两个人数相等的小组，不同分法的种数是（ ） A ．70 B ．35 C ．280 D ．140 8．1tan151tan15+?=-? （ ） A ．3- B 3 C 3 D ．3 9．函数31()31 x x f x -=+（ ） A ．是偶函数 B ．是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，也不是偶函数 10．掷三枚硬币，恰有一枚硬币国徽朝上的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．38 D ．34 11．通过点(–3, 1)且与直线3x – y – 3 = 0垂直的直线方程是（ ） A ．x + 3y = 0 B ．3x + y = 0 C ．x – 3y + 6 = 0 D ．3x – y – 6 = 0 12．已知抛物线方程为y 2 = 8x ，则它的焦点到准线的距离是（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．6 13．函数y = x 2 – x 和y = x – x 2的图像关于（ ） A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称

西南大学2016年春《数学建模》作业及答案(已整理)(共5次)

西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概

2014年高考数学(理)试题(四川卷)(有答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷） 参考答案 第I 卷（选择题 共50分） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ． a b d c > D ．a b d c < 【答案】D 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B 7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

数学建模作业

习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？

4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890

2014年美国数学建模大赛(MCM)试题译文

2014年美国数学建模大赛（MCM）试题译文 王景璟大连理工大学 问题A：超车之外靠右行原则 在一些开车必须靠右行驶的国家（比如：美国，中国，以及其他除了英国，澳大利亚，和一些前英国殖民地的国家），行驶在多车道高速路必须遵循一个规则，那就是要求驾驶员在超车之外的情况下，必须在最靠右的车道行驶，超车时，他们向左变道，超车，然后再回到之前行驶的车道。 构建一个数学模型来分析该规则在车流量很少和很大的时候的执行情况。你最好能考察车流量与安全的之间的相互关系，过低或是过量的速度限制的作用（速度设置过低或是过高），以及/或者其他在该问题陈述中没有明确提到的因素。该原则是否能有效促进更好的车流量？如果无效，请建议和分析其他更有助于提高车流量、安全、以及其他你认为重要的因素的其他方案（可以完全不包括该原则）。 在开车靠左行的国家，讨论一下你的方案在经过对方向的简单修改之后或是添加额外的要求之后是否也适用。 最后，以上原则取决于人们遵循交通规则的判断力。如果道路上的车流完全在智能系统（要么是道路体系的一部分，要么是包含在使用道路的所有车辆的设计之中）的控制之下，该改变在多大程度上会影响你先前分析的结果？ 问题B: 大学教练联盟 《体育画报》，一本体育爱好者的杂志，正在寻找上世纪“最好的大学教练”，包括男性和女性。建立一个数学模型以从诸如大学曲棍球，曲棍球，橄榄球，棒球，垒球，篮球，或足球等运动的男性或女性教练中选出最好的一个教练或几个教练（过去的或现在的）。分析中使用的时间分界线是否有影响？即在1913执教和在2013年执教有不同吗？清晰地表达你们模型中的评判标准。讨论你们的模型如何能广泛地应用于两种性别及所有可能的体育运动。分别选出你模型中3种不同运动的前5位教练。 除了MCM格式及要求，准备一篇1-2页的文章给《体育画报》以解释你们的结论并包括一份能让体育迷们看懂的对你们数学模型的非技术性解释。 问题C：使用网络模型测量影响力

2016年高职高考数学试卷

2016年高职高考数学试卷 注意：本试卷共2页，第1页为选择题和填空题，第2页为答题卡，解答题在答题卡上，满分为150分,考试时间为120分钟。所有答案必须写在答题卡上，否则不予计分。 一、选择题：共15小题,每小题5分,共75分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求。 1.已知集合A={1,2,3},B={x ︱032 =-x x }，则=B A A.φ B.{3} C.{0,3} D.{0,1,2,3} 2.已知向量)5,2(),1,3(-==b a ，则=-23 A.（2，7） B.（13，-7） C.（2，-7） D.（13，13） 3.函数y =)4 3sin(2π + x 的最小正周期为 A.π B.2π C.4 π D.32π 4.函数x x x f --= 3) 2(log )(3的定义域是 A.)3,2( B.)3,(-∞ C.]3,2( D.),3[∞+ 5.在等差数列{}n a 中，已知前11项之和等于44，则=++++108642a a a a a A.10 B.15 C.40 D.20 6.已知x x x f -+-=3)113(log )(2，则=)9(f A.10 B.14 C.2 D.-2 7.设}{n a 是等比数列，如果12,442==a a ，则=6a A.36 B.12 C.16 D.48 8.设函数13)(2 ++=x x x f ,则=+）1 (x f A.232++x x B.532++x x C.552 ++x x D.632 ++x x 9.已知三点A （-1，-1），B （4，-2），C （2，6），D 为线段BC 的中点，则=?BC AD A.4 B.8 C.16 D.24 10.若直线m y x =+与圆m y x =+22 ）0(>m 相切，则m 等于 A. 21 B.2 C.2 D.2 2 11.不等式01682 ≤+-x x 的解集是 A.R B.{ x ︱x=4} C.φ D.{ x ︱x ≠4} 12.经过点(1,﹣1)且与直线2x -y+5=0平行的直线方程是 A.012=++y x B.032=-+y x C.032=--y x D.062=+-y x 13.直线3x -4y+12=0与圆 x 2+y 2+10x -6y -2=0的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交且过圆心 14.若θ是第二象限角，则=-θ2sin 1 A.θθcos sin -- B.θθcos sin + C.θθcos sin - D.θθsin cos - 15.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为 3 1 ，则椭圆的方程是 A.1442x +1282 y =1 B.362x +202y =1 C .322x +36 2y =1 D .362x +32 2y =1 二、填空题：共5小题, 每小题5分,共25分.答案请写在答题卡上. 16.设向量a =(-1，2)，b =(2，x)，且a ⊥b ，则a +b = . 17.方程x x )3 1 (3 34=-的解集是___________. 18.在△ABC 中，已知∠A=120o ，c=3，a=7，则b=____________. 19.已知 2 4 π απ < <，若5 32sin = α，则α2 cos 的值是 . 20.直线012=++y x 被圆14)1()2(2 2 =-+-y x 所截得的线段长等于 .

2014年四川省高考文综卷地理试题及解析

2014年四川省地理高考试题及解析 第Ⅰ卷 （选择题 共48分） 第Ⅰ卷共12题，每题4分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。 我国嫦娥三号月球探测器于北京时间2013年12月2日1时30分，在四川西昌卫星发射中心成功发射。据此回答1—2题。 1.发射时刻的国际标准时间（世界时）是2013年12月： A.1日17时30分 B.1日21时30分 C.2日1时30分 D.2日9时30分 2.发射时，发射场及其周围地区可能处于： A.冷锋过境时 B.暖锋过境 C.低压控制下 D.高压控制下 下图为高速铁路和甲运输方式两者间客运市场占有率随运距变化图。读图回答3—4题。 3.图中两种运输方式的市场占有率变化幅度最大在： A.700—900km B.600—800km C.500—700km D.400—600km 4.甲运输方式应该是： A.高速公路 B.普通铁路 C.航空 D.水路 风功率密度等级可以放映风能资源丰富程度，等级数越大风能资源越丰富。图2为南海全年风功率密度等级图。读图回答5—6题。 5.结合南海风功率密度等级冬季高于夏季判断，对该海域风能资源总量形成作用最大的风是： A.东北风 B.东南风 C.西南风 D.西北风 6.从资源利用角度考虑，目前在下列四地建大型风力发电站最合理的是： A.①地 B.②地 C.③地 D.④地 图3所示区域受西风影响，年降水量多在50—300毫米。读图回答7—8题。 200 400 600 800 1000 1200 运距（Km ） 高速铁路 甲 0 20 40 60 80 100 市场占有率（%） 图1 108° 120° 20° 4° 广州 ② ① ④ ③ 城市 国界 Ⅰ级 Ⅱ级 Ⅲ级 Ⅳ级 Ⅴ级 图2

最新全国各省职高数学高考模拟试卷

职高数学高考模拟试题 一、 单项选择题： 1．设集合A={-3，0，3}，B={0}，则（ ） A ． B=? B. B ∈A C. A ?B D. B ?A 2.函数y=lg(x+1)的定义域是 （ ） A ．()+∞∞-, B.[0,+∞] C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 3．已知函数2()2f x x x =-+，则=)3(f （ ） A.8 B.6 C.4 D.2 4．已知一个圆的半径是2，圆心点是A （1，0），则该圆的方程是（ ） A ．（x-1）2+ y 2=4 B.(x+1)2+y 2=4 C. (x-1)2+y 2=2 D. (x+1)2+y 2=2 5．已知a=4, b=9,则a 与b 的等比中项是（ ） A ．±61 B. ± 6 C. 6 D.-6 6．同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两个反面的概率是（ ） A ．21 B.31 C.41 D.51 7．下列命题中正确的是（ ） A.平行于同一平面的两直线平行 B.垂直于同一直线的两直线平行 C.与同一平面所成的角相等的两直线平行 D.垂直于同一平面的两直线平行 8．若a 、b 是任意实数，且a b >，则（ ）． A ．22 a b > B ．1a b < C ．lg()0a b -> D ．1122a b ????< ? ????? 9．下列函数中，在区间(0,)+∞上是增函数的是（ ）． A ．3 2y x -= B ．23log y x = C ．32x y ??= ??? D ．23x y ??= ???

10．平面内一点A 和平面外一点B 的连线AB 与平面内任意一条直线的位置关系是（ ）． A ．平行 B ．相交 C ．异面或平行 D ．相交或异面 11．若命题甲：a = b ，命题乙：| a | = | b |，那么（ ）． A ．甲是乙的必要条件 B ．甲是乙的充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 12．过点P (1，2)且与直线310x y -+=平行的直线方程是（ ）． A ．350x y -+= B ．360x y -+= C ．310x y --= D ．350x y -+= 13．下列各命题中是假命题的为（ ）． A ．平行于同一个平面的两条直线平行 B ．平行于同一条直线的两条直线平行 C ．过平面外一点有无数条直线和该平面平行 D ．过直线外一点有无数个平面和该直线平行 14．在y 轴上的截距为5，且与x –3y +1=0垂直的直线方程为（ ） A ．3x +y –5=0 B ．x –3y +15=0 C ．x –3y +5=0 D ．3x –y –5=0 15．一圆锥的轴截面为正三角形，且底面半径为3cm 的圆锥的体积是（ ） A 3cm B ．3cm C ．3cm D ．3cm 16．（1）终边相同的角一定相等，（2）第一象限角都是锐角，（3）若a 在第一象限内，则2 a 也必在第一象限，（4）小于90°的角是锐角，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 17．根据sin θ 与cos θ 异号，可确定θ 所在的象限为（ ） A ．一或二 B ．二或三 C ．二或四 D ．三或四 18．设M =｛x |x ≤2，x ∈R ｝，P =｛x |x 2–x –2=0，x ∈R ｝，则M P 是（ ） A ．? B ．M C ．M ∪{–1} D ．P 19．已知sin cos 1x x -，则x 所在的象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 20．两条直线垂直于同一条直线，这两条直线（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面直线 D ．相交、异面或平行 21．已知4sin 52ααπ??=<<π ??? ，那么tan α的值等于（ ） A ．43- B ．34- C ．3 4 D ．43

2014年四川高考理科数学试题含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川 卷） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A 【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ?={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C 【解析】含3x 项为24 236(1)15x C x x ?= 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A 【解析】因为1sin(21)sin[2()]2 y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左 平行移动1 2 个单位长度得到 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 【答案】D 【解析】由1100c d d c <->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以 a b d c < 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】当001x y x y ≥?? ≥??+≤? 时，函数2S x y =+的最大值为2，否则，S 的值为1. 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B 【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 4 4 A 种。 共有55A +14C 4 4 A 924216=?=种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m =

2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8

2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8 1．轮船的甲板成近似半椭圆面形为了得到甲板的面积。首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。 【1】命令： x=0:0.711:8.534; y2=[0,0.914^2,5.060^2,7.772^2,8.717^2,9.083^2,9.144^2,9.083^2,8.992^2, 8.687^2,7.376^2,2.073^2,0]; %plot(x,y2,'*'); a=polyfit(x,y2,2) 【2】结果： a = -5.2832 46.5248 -16.7465 得y^2=-5.2832*x^2+46.5248*x-16.7465,即y^2/85.68+(x-4.4031)^2/16.2175=1 故面积=0.5*a*b*pi=58.56. 2．物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。测得位移与受力如表8.1 表8.1 X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 F 20 21 21 20 19 18.5 18.0 13.5 9 4.5 0 求(a) 物体从位移为0到0.4所做的功； (b) 位移为0.4时的速度是多少？ 【1】命令： x=0:0.1:1.0; f=[20,21,21,20,19,18.5,18.0,13.5,9,4.5,0]; plot(x,f,'*');hold on; a=polyfit(x,f,2) f2=-34.4988*x.*x+14.8625*x+19.5979; plot(x,f2); syms t y=-34.4988*t.*t+14.8625*t+19.5979; w=vpa(int(y,t,0,0.4),8) V=diff(y);t=2;v=eval(V)

2014高职高考数学试题及答案

数学 第1页（共8页） 机密★启用前 2014年湖北省高职统考 数 学 本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分） 在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其选出。未选，错选 或多选均不得分。 1．集合2{9}A x x =<与{|1|2}B x x =-<之间的关系为 A ．B ≠?A B ．A B ? C ．B A ∈ D ．A B ? 2．若,a b ∈R ，则33log log a b >是55a b >成立的 A ．充要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分条件但不是必要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件 3．若2()()41f x x a x =+++为偶函数，则实数a 的值为 A ．2 B ．1 C ．1- D ．2- 4．下列各点中在角5 π6 -终边上的是 A ．(1,- B ．(1)- C ． D ．

2014年四川高考数学试卷分析

2014年四川高考数学试卷分析 今年四川数学高考的试卷结构、题目数量、分值分布、主干知识的考查 都保持了去年的总体风格，10道选择、5道填空、6道解答题。相比与去年，很多考生考下来的第一反应是题目难度有所增加，下面就以下几方面对本试题实行分析。 一、紧扣考纲，突出导向 今年新发的考纲和2013年相比有一些变化，对数的运算和性质从B级提升到C级，在选择题第9题、填空题第15题级解答题第19题都有所体现。在今的考纲中新增了数列与函数的关系、增强了基本初等函数的导数公式，在解答题19题中体现出来了数列、函数、导数的综合应用。因为数列解答题和去年相比的大幅变化，加上本道题中对数及求导公式的应用，使得很多考生没有很大把握，这也算考生下来说试题难的一个重要原因。 二、重视基础，突出主干 全卷重视基础知识的全面考查，所涉及的知识点覆盖了整个高中数学的所有知识板块；试题突出主干知识的重点考查，对高中数学中的函数与导数、三角函数、概率统计、解析几何、立体几何、数列、向量、不等式等实行了重点考查。重视对基础知识和通性通法的考查，保证了试卷的内容效度，有利于引导高中数学教学在注重基础知识的同时突出核心和主干、回归数学本质。 三、重视思想，突出水平 数学全卷注重考查学生对数学基本概念、重要定理等的理解与应用，注意控制和减少繁琐的运算，体现了“多想少算”的命题理念。尤其是17题以一款击鼓游戏为背景设置问题情境，考查概率统计的基础知识，特别是第（Ⅲ）题要求使用概率统计知识分析并说明若干盘游戏后积分减少的原因，引导考生用数学的眼光审视游戏过程，通过概率和数学期望的计算，对游戏及其规则实行理性分析，真切体会“用数据说话”的统计思想方法。21题体现了数学学科的抽象性和科学性，解答时需要考生借助几何直观发现解题思路和结论，用严谨的逻辑推理实行证明，整个解答过程需经历“画图-观察-探究-发现-证明”的过程。 总体来说，今年的高考题紧扣了教学大纲和考纲，体现了水平立意，具有很好的信度效度和区分度，对一线的数学教学具有很好的指导性。

2014年四川省高考数学试卷(理科)

2014年四川省高考数学试卷（理科）

2014年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2 63 个单位长度向右平行移动 ． ＞＜C ＞ D． ＜ 5．（5分）（2014?四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（） 7．（5分）（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角， 8．（5分）（2014?四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）

，[[，[ 9．（5分）（2014?四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题： ①f（﹣x）=﹣f（x）； ②f（）=2f（x） ③|f（x）|≥2|x| 10．（5分）（2014?四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，?=2（其 D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014?四川）复数=_________． 12．（5分）（2014?四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x） =，则f（）=_________． 13．（5分）（2014?四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73） 14．（5分）（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是_________． 15．（5分）（2014?四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B． 其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）